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@ -211,3 +211,13 @@
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#tab 解得 $dim range T = 2$,即 $dim range T = dim FF^2$,根据“某空间中与之维数相同的子空间即为该空间本身”(原书2.39),$range T = FF^2$,即 $T$ 是满射。
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#tab 解得 $dim range T = 2$,即 $dim range T = dim FF^2$,根据“某空间中与之维数相同的子空间即为该空间本身”(原书2.39),$range T = FF^2$,即 $T$ 是满射。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $U$ 是 $RR^8$ 的 $3$ 维子空间,$T$ 是 $RR^8 -> RR^5$ 的线性映射,使得 $null T = U$。证明:$T$ 是满射。
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根据线性映射基本定理(原书3.21),有
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$ dim RR^8 = dim null T + dim range T $
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#tab 由于 $null T = U$,因此 $dim null T = 3$。解得 $dim range T = 5$。根据“某空间中与之维数相同的子空间即为该空间本身”(原书2.39),$range T = RR^5$,即 $T$ 是满射。
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