1C p18

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sections/1C.typ

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 #exercise_sol(type: "answer")[
 	设 $U$ 是 $V$ 的子空间，那么 $U + U$ 是什么？
 ][
-	由子空间加法封闭性可知，$U + U = U$。
+	由子空间加法封闭性可知，$U + U subset.eq U$，另一方面，对于 $u in U$，我们有 $u + 0 = u$，因此 $U subset.eq U + U$。综上所述，$U + U = U$。
 ]
 
 #exercise_sol(type: "answer")[
@@ -452,3 +452,13 @@
 
 	#tab 这说明 $(V_1 + V_2) + V_3 = V_1 + (V_2 + V_3)$ 成立。
 ]
+
+#exercise_sol(type: "answer")[
+	$V$ 的“子空间求和”运算有没有加法单位元？哪些子空间有加法逆元？
+][
+	“子空间求和”运算的加法单位元是 ${0}$。设 $U$ 是 $V$ 的子空间，对于任意 $u in U$,都有 $u + 0 = u$，故 $U + {0} = U$。
+
+	#tab 由于 ${0} + {0} = {0}$，故 ${0}$ 有加法逆元 ${0}$。我们下面说明，除此之外，没有任何子空间有加法逆元。使用反证法，假设 $U$ 是 $V$ 的子空间，满足 $U != {0}$ 且 $W$ 是 $U$ 的加法逆元，注意到 $U subset.eq U + W = {0}$，矛盾，故假设不成立。
+
+	#tab 综上所述，“子空间求和”运算的加法单位元是 ${0}$，而只有 ${0}$ 有加法逆元。
+]