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方而静 2025-07-28 21:50:53 +08:00
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@ -270,3 +270,15 @@
#tab 因此 $phi$ 不满足线性映射的齐次性要求。 #tab 因此 $phi$ 不满足线性映射的齐次性要求。
] ]
#exercise_sol(type: "answer")[
证明或证伪:如果 $q in Poly(RR)$$T: Poly(RR) -> Poly(RR)$ 定义为 $T p = q compose p$,那么 $T$ 是线性映射。
#note[这里定义的函数 $T$不同于原书3.3中最后一个例子定义的函数 $T$,区别在于复合的次序。]
][
$x in RR$。令 $q: Poly(RR)$ $ x |-> x^2$。注意到,取 $p: Poly(RR)$ $x |-> x$,则
$ (T 2p)(x) = q(2 p(x)) = 4 x^2 != 2 x^2 = 2 q(p(x)) = 2 T p $
#tab 这违反了线性映射的齐次性要求。因此 $T$ 不是线性映射。
]