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Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/2A.typ

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 	#tab 所以，在 $Poly_4(FF)$ 上不存在由六个多项式组成的线性无关组。
 ]
+
+#exercise_sol(type: "explain")[
+	解释为什么由四个多项式构成的向量组不可能张成 $Poly_4(FF)$。
+][
+	对于 $k in {0, dots, 4}$，令
+
+	$ p_k:& FF -> FF \ &z |-> z^k $
+
+	#tab 我们现在论证向量组 $p_0, dots, p_4$ 是线性无关的：设 $a_0, dots, a_4 in FF$，满足
+
+	$ a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + a_3 p_3 + a_4 p_4 = 0 $
+
+	#tab 即对于任意 $z in FF$，有
+
+	$ a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + a_4 z^4 = 0 $
+
+	#tab 分别取 $z in {0, dots, 4}$，得到方程组
+
+	$ cases(
+		a_0 = 0,
+		a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0,
+		a_0 + 2a_1 + 4a_2 + 8a_3 + 16a_4 = 0,
+		a_0 + 3a_1 + 9a_2 + 27a_3 + 81a_4 = 0,
+		a_0 + 4a_1 + 16a_2 + 64a_3 + 256a_4 = 0
+	) $
+
+	#tab 解得 $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此向量组 $p_0, dots, p_4$ 是线性无关的。
+
+	#tab 因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$Poly_4(FF)$ 上的张成组的长度不少于 $5$。因此，由四个多项式构成的向量组不可能张成 $Poly_4(FF)$。
+]