统一练习题中的编号设置,以保持与原书一致

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方而静 2025-07-11 21:42:32 +08:00
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@ -7,8 +7,6 @@
#exercise_sol(type: "answer")[
对于 $FF^3$ 的下列各个子集,判断其是否是 $FF^3$ 的子空间:
#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
+ ${(x_1,x_2,x_3) in FF^3 : x_1+2x_2+3x_3=0}$
+ ${(x_1,x_2,x_3) in FF^3 : x_1+2x_2+3x_3=4}$
+ ${(x_1,x_2,x_3) in FF^3 : x_1x_2x_3=0}$
@ -64,8 +62,6 @@
#exercise_sol(type: "explain")[
验证下面这些有关子空间的结论。
#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
+ 如果 $b in FF$,那么当且仅当 $b=0$ 时,
$ {(x_1,x_2,x_3,x_4) in FF^4 : x_3=5x_4 + b} $
$FF^4$ 的子空间;
@ -170,7 +166,6 @@
]
#exercise_sol(type: "proof")[
#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
+ ${(a,b,c) in RR^3 : a^3 = b^3}$ 是不是 $RR^3$ 的子空间?
+ ${(a,b,c) in CC^3 : a^3 = b^3}$ 是不是 $CC^3$ 的子空间?
][

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@ -97,7 +97,6 @@
]
#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-1-or-2-vecs-are-indep>)[
#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
+ 证明:向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关,当且仅当组中的该向量不是 $0$
+ 证明:向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关,当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
][
@ -175,7 +174,6 @@
]
#exercise_sol(type: "proof")[
#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
+ 证明:如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间,那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的;
+ 证明:如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间,那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。
][

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@ -20,7 +20,6 @@
#exercise_sol(type: "proof")[
验证下面这些的结论。
#set enum(numbering: "(a) ")
+ 向量组 $(1, 0, dots, 0), (0, 1, 0, dots, 0), dots, (0, dots, 0, 1)$ $FF^n$ 的基;
+ 向量组 $(1, 2), (3, 5)$ $FF^2$ 的基;
+ 向量组 $(1, 2, -4), (7, -5, 6)$ $FF^3$ 中是线性无关的,但不是 $FF^3$ 的基,因为它不张成 $FF^3$
@ -110,9 +109,9 @@
#tab 于是 $a_0 + a_1 z + dots.c + a_(ell-1)z^(ell-1) != -a_ell z^ell$,这表明
$ a_0 + a_1 z + dots.c + a_m z^m = != 0 $
$ a_0 + a_1 z + dots.c + a_m z^m != 0 $
#tab 矛盾,因此 $1, z, dots, z^m$ 是线性无关的。根据基的定义,$1, z, dots, z^m$ $Poly_m (FF)$ 的基。
]
#note[对于 (g)值得一提的是上面证明的核心部分表明多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文定理4.7),然而在原书第四版中被删除了。]
#note[对于 (g)值得一提的是上面证明的核心部分表明多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文定理4.7),然而在第四版中被删除了。]

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@ -218,6 +218,7 @@
show figure.where(kind: "exercise-problem"): it => {
let cat_display = "习题"
set align(left)
set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
problem_box({
context fancy_term_box(cat_display, it.counter.get().at(0))
h(0.5em)