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30
sections/1A.typ
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@ -5,7 +5,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：$alpha + beta = beta + alpha$ 对所有 $alpha,beta in CC$ 成立。 证明：$alpha + beta = beta + alpha$ 对所有 $alpha,beta in CC$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$（其中 $a,b,c,d in RR$），则根据实数的加法交换律，有： 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$（其中 $a,b,c,d in RR$），则根据实数的加法交换律，有：
$ alpha + beta &= (a + c) + (b + d) ii \ $ alpha + beta &= (a + c) + (b + d) ii \
&= (c + a) + (d + b) ii \ &= (c + a) + (d + b) ii \
&= beta + alpha $ &= beta + alpha $
@ -14,7 +14,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：$(alpha + beta) + lambda = alpha + (beta + lambda)$ 对所有 $alpha,beta,lambda in CC$ 成立。 证明：$(alpha + beta) + lambda = alpha + (beta + lambda)$ 对所有 $alpha,beta,lambda in CC$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$，$lambda = e + f ii$（其中 $a,b,c,d,e,f in RR$），则有： 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$，$lambda = e + f ii$（其中 $a,b,c,d,e,f in RR$），则有：
$ (alpha + beta) + lambda &= ((a + c) + (b + d) ii) + (e + f ii) \ $ (alpha + beta) + lambda &= ((a + c) + (b + d) ii) + (e + f ii) \
&= (a + c + e) + (b + d + f) ii \ &= (a + c + e) + (b + d + f) ii \
&= alpha + (beta + lambda) $ &= alpha + (beta + lambda) $
@ -23,7 +23,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：$(alpha beta) lambda = alpha (beta lambda)$ 对所有 $alpha,beta,lambda in CC$ 成立。 证明：$(alpha beta) lambda = alpha (beta lambda)$ 对所有 $alpha,beta,lambda in CC$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$，$lambda = e + f ii$（其中 $a,b,c,d,e,f in RR$），则有： 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$，$lambda = e + f ii$（其中 $a,b,c,d,e,f in RR$），则有：
$ (alpha beta) lambda &= ((a + b ii)(c + d ii))(e + f ii) \ $ (alpha beta) lambda &= ((a + b ii)(c + d ii))(e + f ii) \
&= (a c - b d + (a d + b c) ii)(e + f ii) \ &= (a c - b d + (a d + b c) ii)(e + f ii) \
&= (a c e - b d f - (a d + b c)f + (a d + b c)e) + ((a d + b c)e + (a c - b d)f) ii \ &= (a c e - b d f - (a d + b c)f + (a d + b c)e) + ((a d + b c)e + (a c - b d)f) ii \
@ -33,9 +33,9 @@
#note[复数乘法的交换律由原书例1.4给出。] #note[复数乘法的交换律由原书例1.4给出。]
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
#tab 证明：$lambda (alpha + beta) = lambda alpha + lambda beta$ 对所有 $lambda,alpha,beta in CC$ 成立。 证明：$lambda (alpha + beta) = lambda alpha + lambda beta$ 对所有 $lambda,alpha,beta in CC$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$，$lambda = e + f ii$（其中 $a,b,c,d,e,f in RR$），则有： 根据定义，令 $alpha = a + b ii$，$beta = c + d ii$，$lambda = e + f ii$（其中 $a,b,c,d,e,f in RR$），则有：
$ lambda (alpha + beta) &= (e + f ii)((a + c) + (b + d) ii) \ $ lambda (alpha + beta) &= (e + f ii)((a + c) + (b + d) ii) \
&= (e(a + c) - f(b + d)) + (f(a + c) + e(b + d)) ii \ &= (e(a + c) - f(b + d)) + (f(a + c) + e(b + d)) ii \
&= (e a - f b + e c - f d) + (f a + e b + f c + e d) ii \ &= (e a - f b + e c - f d) + (f a + e b + f c + e d) ii \
@ -45,7 +45,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：对于任一 $alpha in CC$，都存在唯一的 $beta in CC$ 使得 $alpha + beta = 0$。 证明：对于任一 $alpha in CC$，都存在唯一的 $beta in CC$ 使得 $alpha + beta = 0$。
][ ][
#tab 根据定义，令 $alpha = a + b ii$（其中 $a,b in RR$），则取 $beta = (-a) + (-b) ii$，则有： 根据定义，令 $alpha = a + b ii$（其中 $a,b in RR$），则取 $beta = (-a) + (-b) ii$，则有：
$ alpha + beta &= (a + b ii) + ((-a) + (-b) ii) \ $ alpha + beta &= (a + b ii) + ((-a) + (-b) ii) \
&= (a - a) + (b - b) ii \ &= (a - a) + (b - b) ii \
&= 0 $ &= 0 $
@ -60,7 +60,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：对于任一 $alpha in CC$（$alpha != 0$），都存在唯一的 $beta in CC$ 使得 $alpha beta = 1$。 证明：对于任一 $alpha in CC$（$alpha != 0$），都存在唯一的 $beta in CC$ 使得 $alpha beta = 1$。
][ ][
#tab 根据定义，令 $alpha = a + b ii$（其中 $a,b in RR$），则取 $beta = (a / (a^2 + b^2)) - (b / (a^2 + b^2)) ii$，则有： 根据定义，令 $alpha = a + b ii$（其中 $a,b in RR$），则取 $beta = (a / (a^2 + b^2)) - (b / (a^2 + b^2)) ii$，则有：
$ alpha beta &= (a + b ii)(a/(a^2 + b^2) - b/(a^2 + b^2) ii) \ $ alpha beta &= (a + b ii)(a/(a^2 + b^2) - b/(a^2 + b^2) ii) \
&= (a^2 + b^2)(a^2 + b^2) \ &= (a^2 + b^2)(a^2 + b^2) \
&= 1 $ &= 1 $
@ -84,7 +84,7 @@
#exercise_sol(type: "answer")[ #exercise_sol(type: "answer")[
求 $ii$ 的两个向异的平方根。 求 $ii$ 的两个向异的平方根。
][ ][
#tab 令 $x = a + b ii$（其中 $a,b in RR$），满足 $x^2 = ii$，即 $a^2 - b^2 + 2 a b ii = 0 + 1 ii$。因此，我们有两个方程： 令 $x = a + b ii$（其中 $a,b in RR$），满足 $x^2 = ii$，即 $a^2 - b^2 + 2 a b ii = 0 + 1 ii$。因此，我们有两个方程：
$ cases(a^2-b^2=0, 2 a b = 1) $ $ cases(a^2-b^2=0, 2 a b = 1) $
#tab 解这两个方程组，我们得到 $a = sqrt(2)/2$ 和 $b = sqrt(2)/2$ 或者 $a = -sqrt(2)/2$ 和 $b = -sqrt(2)/2$。因此，$ii$ 的两个向异的平方根是： #tab 解这两个方程组，我们得到 $a = sqrt(2)/2$ 和 $b = sqrt(2)/2$ 或者 $a = -sqrt(2)/2$ 和 $b = -sqrt(2)/2$。因此，$ii$ 的两个向异的平方根是：
$ x_1=sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2 ii, x_2=-sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2 ii $ $ x_1=sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2 ii, x_2=-sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2 ii $
@ -94,7 +94,7 @@
求 $x in RR^4$，使得 求 $x in RR^4$，使得
$ (4, -3, 1, 7) + 2x = (5, 9, -6, 8) $ $ (4, -3, 1, 7) + 2x = (5, 9, -6, 8) $
][ ][
#tab 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$，则 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$，则
$ (4, -3, 1, 7) + 2x = (4 + 2 x_1, -3 + 2 x_2, 1 + 2 x_3, 7 + 2 x_4) $ $ (4, -3, 1, 7) + 2x = (4 + 2 x_1, -3 + 2 x_2, 1 + 2 x_3, 7 + 2 x_4) $
#tab 令其等于 $(5, 9, -6, 8)$，则我们有四个方程： #tab 令其等于 $(5, 9, -6, 8)$，则我们有四个方程：
$ cases(4 + 2 x_1 = 5, -3 + 2 x_2 = 9, 1 + 2 x_3 = -6, 7 + 2 x_4 = 8) $ $ cases(4 + 2 x_1 = 5, -3 + 2 x_2 = 9, 1 + 2 x_3 = -6, 7 + 2 x_4 = 8) $
@ -106,7 +106,7 @@
解释为什么不存在 $lambda in CC$，使得 解释为什么不存在 $lambda in CC$，使得
$ lambda (2 - 3 ii, 5 + 4 ii, -6 + 7 ii) = (12 - 5 ii, 7 + 22 ii, -32 - 9 ii) $ $ lambda (2 - 3 ii, 5 + 4 ii, -6 + 7 ii) = (12 - 5 ii, 7 + 22 ii, -32 - 9 ii) $
][ ][
#tab 注意到， 注意到，
$ (12 - 5 ii)/(2 - 3 ii) = 3 + 2 ii $ $ (12 - 5 ii)/(2 - 3 ii) = 3 + 2 ii $
#tab 而 #tab 而
$ (-32 - 9 ii)/(-6 + 7 ii) != 3 + 2 ii $ $ (-32 - 9 ii)/(-6 + 7 ii) != 3 + 2 ii $
@ -118,7 +118,7 @@
#note[沿用原书记号1.6与记号1.10，即 $FF$ 表示 $RR$ 或 $CC$，$n$ 表示某一固定的正整数。下文不再赘述。] #note[沿用原书记号1.6与记号1.10，即 $FF$ 表示 $RR$ 或 $CC$，$n$ 表示某一固定的正整数。下文不再赘述。]
][ ][
#tab 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$，$z = (z_1, z_2, dots, z_n)$，则有： 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$，$z = (z_1, z_2, dots, z_n)$，则有：
$ (x+y)+z &= ((x_1+y_1, x_2+y_2, dots, x_n+y_n) + (z_1, z_2, dots, z_n)) \ $ (x+y)+z &= ((x_1+y_1, x_2+y_2, dots, x_n+y_n) + (z_1, z_2, dots, z_n)) \
&= (x_1+y_1+z_1, x_2+y_2+z_2, dots, x_n+y_n+z_n) \ &= (x_1+y_1+z_1, x_2+y_2+z_2, dots, x_n+y_n+z_n) \
&= ((x_1, x_2, dots, x_n) + (y_1+z_1, y_2+z_2, dots, y_n+z_n)) \ &= ((x_1, x_2, dots, x_n) + (y_1+z_1, y_2+z_2, dots, y_n+z_n)) \
@ -130,7 +130,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：$(a b)x = a(b x)$ 对所有 $x in FF^n$ 和 $a,b in FF$ 成立。 证明：$(a b)x = a(b x)$ 对所有 $x in FF^n$ 和 $a,b in FF$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，则有： 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，则有：
$ (a b)x &= (a b)(x_1, x_2, dots, x_n) \ $ (a b)x &= (a b)(x_1, x_2, dots, x_n) \
&= (a b x_1, a b x_2, dots, a b x_n) \ &= (a b x_1, a b x_2, dots, a b x_n) \
&= a(b x_1, b x_2, dots, b x_n)) \ &= a(b x_1, b x_2, dots, b x_n)) \
@ -140,7 +140,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：$1 x=x$ 对所有 $x in FF^n$ 成立。 证明：$1 x=x$ 对所有 $x in FF^n$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，则有： 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，则有：
$ 1 x &= 1(x_1, x_2, dots, x_n) \ $ 1 x &= 1(x_1, x_2, dots, x_n) \
&= (1 dot x_1, 1 dot x_2, dots, 1 dot x_n) \ &= (1 dot x_1, 1 dot x_2, dots, 1 dot x_n) \
&= (x_1, x_2, dots, x_n) \ &= (x_1, x_2, dots, x_n) \
@ -150,7 +150,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：$lambda (x+y) = lambda x + lambda y$ 对所有 $lambda in FF$ 和 $x,y in FF^n$ 成立。 证明：$lambda (x+y) = lambda x + lambda y$ 对所有 $lambda in FF$ 和 $x,y in FF^n$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$，则有： 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$，则有：
$ lambda (x+y) &= lambda ((x_1+y_1, x_2+y_2, dots, x_n+y_n)) \ $ lambda (x+y) &= lambda ((x_1+y_1, x_2+y_2, dots, x_n+y_n)) \
&= (lambda(x_1+y_1), lambda(x_2+y_2), dots, lambda(x_n+y_n)) \ &= (lambda(x_1+y_1), lambda(x_2+y_2), dots, lambda(x_n+y_n)) \
&= (lambda x_1 + lambda y_1, lambda x_2 + lambda y_2, dots, lambda x_n + lambda y_n) \ &= (lambda x_1 + lambda y_1, lambda x_2 + lambda y_2, dots, lambda x_n + lambda y_n) \
@ -160,7 +160,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
证明：$(a+b)x = a x + b x$ 对所有 $a,b in FF$ 和 $x in FF^n$ 成立。 证明：$(a+b)x = a x + b x$ 对所有 $a,b in FF$ 和 $x in FF^n$ 成立。
][ ][
#tab 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，则有： 根据定义，令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，则有：
$ (a+b)x &= (a+b)(x_1, x_2, dots, x_n) \ $ (a+b)x &= (a+b)(x_1, x_2, dots, x_n) \
&= (a x_1 + b x_1, a x_2 + b x_2, dots, a x_n + b x_n) \ &= (a x_1 + b x_1, a x_2 + b x_2, dots, a x_n + b x_n) \
&= (a x_1, a x_2, dots, a x_n) + (b x_1, b x_2, dots, b x_n) \ &= (a x_1, a x_2, dots, a x_n) + (b x_1, b x_2, dots, b x_n) \

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styles.typ
View File

@ -220,7 +220,19 @@
#let exercise_sol(e, s, type: "proof", label: none) = { #let exercise_sol(e, s, type: "proof", label: none) = {
figure(e, kind: "exercise-problem", supplement: "习题") figure(e, kind: "exercise-problem", supplement: "习题")
let splt = (
"proof": "证明",
"answer": "解答",
"explain": "说明",
)
tab
text(splt.at(type), font: zhfont_sans, weight: "medium", fill: theme_color.darken(40%))
h(0.5em)
s s
if type == "proof" {
h(1fr)
text(sym.square.filled, fill: theme_color)
}
} }
#let ploting-styles = ( #let ploting-styles = (