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sections/1C.typ

@@ -215,7 +215,7 @@
 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
-	证明或推翻：如果 $U$ 是 $RR^2$ 的非空子集，满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭（即 $u in U$ 意味着 $-u in U$），那么 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间。
+	证明或证伪：如果 $U$ 是 $RR^2$ 的非空子集，满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭（即 $u in U$ 意味着 $-u in U$），那么 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间。
 ][
 	取 $U = {(1, 0), (0, 0), (-1, 0)}$，容易验证 $U$ 满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭。但是，取 $u = (1, 0) in U$, $2u = (2, 0) in.not U$，这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。
 

sections/2B.typ

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 	#tab 这表明 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则，向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 是 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 的基。
 
-	#tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.12），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有
+	#tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有
 
 	$ a_0 + a_1 z + dots + a_m z^m = 0 $
 
@@ -114,7 +114,7 @@
 	#tab 矛盾，因此 $1, z, dots, z^m$ 是线性无关的。根据基的定义，$1, z, dots, z^m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
 ]
 
-#note[对于 (g)，值得一提的是，上面证明的核心部分表明，多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文（定理4.7），然而在第四版中被删除了。]
+#note[对于 (g)，值得一提的是，上面证明的核心部分表明，多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文（定理4.7），然而在第四版中被删除了，取而代之的是不那么直接的原书定理4.8。]
 
 #exercise_sol(type: "answer")[
 	+ 设 $U$ 为 $RR^5$ 的子空间，定义为
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 	#tab 由于每个张成组都包含基（原书定理2.30），因此 $V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。 
 ]
+
+#exercise_sol(type: "answer")[
+	证明或证伪：如果 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 是 $Poly_3(FF)$ 中的向量组，该组中的每个多项式次数都不为 $2$，那么 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 不是 $Poly_3(FF)$ 的基。
+][
+	取 $FF -> FF$ 上的函数 $p_0, dots, p_3$
+
+	$ p_0:& z -> 1 \
+		p_1:& z -> z \
+		p_2:& z -> z^2 + z^3 \
+		p_3:& z -> z^3 $
+
+	#tab 设 $p in Poly_3(FF)$，则根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），存在 $a_0, dots, a_3 in FF$，使得对于任意 $z in FF$，有
+
+	$ p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 $
+
+	#tab 于是，
+
+	$ p = a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + (a_3 - a_2) p_3 $
+
+	#tab 这表明 $p$ 可以被表示为向量组 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 的线性组合，即 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 张成 $Poly_3(FF)$。
+
+	#tab 设 $a_0, a_1, a_2, a_3 in FF$，满足
+
+	$ a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + a_3 p_3 = 0 $
+
+	#tab 即对于任意 $z in FF$，有
+
+	$ a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + (a_2 + a_3) z^3 = 0 $
+
+	#tab 根据多项式系数的唯一性，我们有 $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0$。这表明向量组 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 是线性无关的。
+
+	#tab 综上所述，$p_0, p_1, p_2, p_3$ 是 $Poly_3(FF)$ 的基，故原命题不成立。
+]