szTom/LADRSolutions
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@ -338,3 +338,17 @@
#tab 这表明 $v$ 可以唯一地被表示为向量组 $v_1 + v_2, v_2 + v_3, v_3 + v_4, v_4$ 的线性组合。因此，向量组 $v_1 + v_2, v_2 + v_3, v_3 + v_4, v_4$ 是 $V$ 的基。 #tab 这表明 $v$ 可以唯一地被表示为向量组 $v_1 + v_2, v_2 + v_3, v_3 + v_4, v_4$ 的线性组合。因此，向量组 $v_1 + v_2, v_2 + v_3, v_3 + v_4, v_4$ 是 $V$ 的基。
] ]
#exercise_sol(type: "answer")[
证明或证伪：设向量组 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是 $V$ 的基，且子空间 $U$ 满足 $v_1, v_2 in U$，而 $v_3 in.not U$ 和 $v_4 in.not U$，则 $v_1, v_2$ 是 $U$ 的基。
][
令 $V = RR^4$，且
$ v_1 = (1, 0, 0, 0), quad v_2 = (0, 1, 0, 0), quad v_3 = (0, 0, 1, 0), quad v_4 = (0, 0, 0, 1) $
#tab 注意到，集合
$ U = {(x, y, z, z) in RR^4 : x, y, z in RR} $
#tab 是 $RR^4$ 的子空间,且满足 $v_1, v_2 in U$，而 $v_3 in.not U$ 和 $v_4 in.not U$。然而，$v_1, v_2$ 不是 $U$ 的基，因为向量 $(0, 0, 1, 1) in U$ 不是 $span(u_1, u_2)$ 中的元素。由此可知，原命题不成立。
]