2A p4

Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/1B.typ

@@ -9,7 +9,7 @@
 	根据定义 $v + (-v) = 0$，由可交换性，得 $(-v) + v = 0$，即 $v$ 是 $-v$ 的加法逆元。由加法逆元的唯一性（原书定理1.27），得 $-(-v) = v$。
 ]
 
-#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky")[
+#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: <1B-vec-zero-product-property>)[
 	设 $a in FF$，$v in V$ 且 $a v=0$，证明：$a=0$ 或 $v=0$。
 ][
 	我们使用反证法，假设 $a != 0$ 且 $v != 0$，同时 $a v = 0$。由于 $a != 0$ 故存在 $a^(-1) in FF$（$a^(-1) != 0$），使得 $a^(-1) a = 1$。因此有

sections/2A.typ

@@ -1,4 +1,4 @@
-#import "../styles.typ": exercise_sol, tab
+#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref
 #import "../math.typ": span
 
 #exercise_sol(type: "answer")[
@@ -92,3 +92,33 @@
 	
 	#tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。	
 ]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
+	+ 证明：向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关，当且仅当组中的该向量不是 $0$；
+	+ 证明：向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关，当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
+][
+	设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref(<1B-vec-zero-product-property>)，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。
+
+	#tab 然后说明必要性，如果 $v = 0$，则我们有
+
+	$ 0v = 1v = 0 $
+
+	#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $0$ 不是线性无关的。
+
+	#tab 对于第二个命题，设 $v_1, v_2 in V$。首先说明充分性：使用反证法，假设 $v_1$ 和 $v_2$ 不是线性无关的，即存在 $a_1, a_2 in FF$，使得
+		
+	$ a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0 $
+
+	#tab 其中 $a_1$ 和 $a_2$ 中至少有一个向量不为 $0$。不妨设 $a_1 != 0$，那么，可以整理得
+
+	$ v_1 = - a_2/a_1 v_2 $
+
+	#tab 这表明 $v_1$ 是 $v_2$ 的标量倍，与题目条件矛盾。这说明，$v_1$ 和 $v_2$ 线性无关。
+
+	#tab 然后说明必要性：假设 $v_1$ 和 $v_2$ 线性无关，使用反证法，假设 $v_1$ 和 $v_2$ 中有一个向量是另一个向量的标量倍，不妨设 $v_1 = k v_2$，其中 $k in FF$。注意到，
+
+	$ v_1 + (-k) v_2 = 0 $
+
+	#tab 这与线性无关的定义矛盾。因此，$v_1$ 和 $v_2$ 线性无关当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
+]

styles.typ

@@ -252,6 +252,19 @@
 	place.flush()
 }
 
+#let exercise_ref(l) = {
+	context {
+		let el = query(selector(l))
+		if el.len() == 0 {
+			return text("Error: 未找到习题", fill: color.red)
+		}
+		let e = el.first()
+		numbering("1A", counter("chapter_N").at(e.location()).at(0), counter("section_N").at(e.location()).at(0))
+		"节"
+		ref(l)
+	}
+}
+
 #let ploting-styles = (
 	mark: (fill: theme_color_set.at("10"), stroke: theme_color_set.at("80")),