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64
sections/2A.typ
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@ -14,7 +14,7 @@
#tab 综上所述，题目要求的四个不同的向量可以是
$ (1, 0, -1)"，" wide (0, 1, -1)"，" wide (2, 0, -2)"，" wide (0, 2, -2) $
$ (1, 0, -1)"，" (0, 1, -1)"，" (2, 0, -2)"，" (0, 2, -2) $
]
#exercise_sol(type: "proof")[
@ -24,7 +24,7 @@
也张成 $V$。
][
证明：设 $v_1$，$v_2$，$v_3$ 和 $v_4$ 张成 $V$，则任意 $v in V$ 都可以表示为
设 $v_1$，$v_2$，$v_3$ 和 $v_4$ 张成 $V$，则任意 $v in V$ 都可以表示为
$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 $
@ -32,5 +32,63 @@
$ v = a_1 (v_1 - v_2) + (a_1 + a_2) (v_2 - v_3) + (a_2 + a_3) (v_3 - v_4) + (a_3 + a_4) v_4 $
#tab 这说明 $v$ 可以用 $v_1 - v_2$，$v_2 - v_3$，$v_3 - v_4$ 和 $v_4$ 线性表示，因此它们张成 $V$。
#tab 这说明 $v$ 可以用 $v_1 - v_2$，$v_2 - v_3$，$v_3 - v_4$ 和 $v_4$ 线性表示，这表明 $V subset.eq span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$。
#tab 另一方面，设 $v in span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$，则 $v$ 可以表示为
$ v = b_1 (v_1 - v_2) + b_2 (v_2 - v_3) + b_3 (v_3 - v_4) + b_4 v_4 $
#tab 其中 $b_i in FF$。我们可以将其改写为
$ v = (b_1 + b_2) v_1 + (b_2 + b_3) v_2 + (b_3 + b_4) v_3 + b_4 v_4 $
#tab 这说明 $v$ 可以用 $v_1$，$v_2$，$v_3$ 和 $v_4$ 线性表示，这表明 $span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4) subset.eq V$。
#tab 综上所述，$V = span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$，即向量组 $v_1 - v_2$，$v_2 - v_3$，$v_3 - v_4$ 也张成 $V$。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的一组向量。对于 $k in {1, dots, m}$，令
$ w_k = v_1 + dots.c + v_k $
证明：$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。
][
设 $u in span(v_1, dots, v_m)$，则 $u$ 可以表示为
$ u = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
#tab 其中 $a_i in FF$。我们可以将其改写为
$ u = b_1 w_1 + dots.c + b_m w_m $
#tab 其中对于 $k in {1, dots, m}$，$b_k = a_k - a_(k + 1)$（方便起见，我们设 $a_(m+1) = 0$。为了验证这一点，我们带入 $b_i$ 和 $w_i$ 的定义，得到
$ b_1 w_1 + dots.c + b_m w_m
&= sum_(i=1)^m (a_i - a_(i + 1))sum_(j=1)^i v_j \
&= sum_(i=1)^m sum_(j=1)^i (a_i - a_(i + 1))v_j \
&= sum_(j=1)^m sum_(i=j)^m (a_i - a_(i + 1))v_j \
&= sum_(j=1)^m (sum_(i=j)^m a_i - sum_(i=j)^m a_(i + 1)) v_j \
&= sum_(j=1)^m a_j v_j = u $
#tab 这说明 $u$ 可以用 $w_1, dots, w_m$ 线性表示，因此 $span(v_1, dots, v_m) subset.eq span(w_1, dots, w_m)$。另一方面，设 $u in span(w_1, dots, w_m)$，则 $u$ 可以表示为
$ u = a_1 w_1 + dots.c + a_m w_m $
#tab 其中 $a_i in FF$。我们可以将其改写为
$ u = b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m $
#tab 其中对于 $k in {1, dots, m}$，$b_k = a_k + dots.c + a_m$。为了验证这一点，我们带入 $b_i$ 和 $w_i$ 的定义，得到
$ b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m
&= sum_(i=1)^m (sum_(j=i)^m a_j) v_i \
&= sum_(i=1)^m sum_(j=i)^m a_j v_i \
&= sum_(j=1)^m sum_(i=1)^j a_j v_i \
&= sum_(j=1)^m a_j sum_(i=1)^j v_i \
&= sum_(j=1)^m a_j w_j = u $
#tab 这说明 $u$ 可以用 $v_1, dots, v_m$ 线性表示，因此 $span(w_1, dots, w_m) subset.eq span(v_1, dots, v_m)$。
#tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。
]