szTom/LADRSolutions
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/szdytom/LADRSolutions.git synced 2025-10-19 16:30:16 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

2A p6

Browse Source 
Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>
This commit is contained in:
方而静 2025-07-10 21:48:25 +08:00
parent f74ff3f228
commit e96bc139dd
Signed by: szTom
GPG Key ID: 072D999D60C6473C
1 changed files with 32 additions and 2 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

34
sections/2A.typ
View File

@ -134,5 +134,35 @@
$ (-3) (3, 1, 4) + 2 (2, -3, 5) + 1 (5, 9, 2) = 0 $
#tab 这表明向量组 $(3, 1, 4)$，$(2, -3, 5)$，$(5, 9, 2)$ 在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
]
#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $(3, 1, 4)$，$(2, -3, 5)$，$(5, 9, 2)$ 在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
证明：向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$7, 3, c$ 在 $FF^3$ 中线性相关，当且仅当 $c = 8$。
][
首先说明充分性：当 $c = 8$ 时，注意到
$ 16 (2, 3, 1) + 1 (1, -1, 2) + (-5) (7, 3, 8) = 0 $
#tab 根据线性相关的定义（原书定义2.17），这表明向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, 8)$ 在 $FF^3$ 中线性相关。
#tab 然后说明必要性：使用反证法，假设 $c != 8$ 且向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, c)$ 线性相关。根据定义，存在 $a_1, a_2, a_3 in FF$，使得
$ a_1 (2, 3, 1) + a_2 (1, -1, 2) + a_3 (7, 3, c) = 0 $
#tab 其中 $a_1, a_2, a_3 in RR$ 中至少有一个不为 $0$。将其展开，得到下面方程组
$ cases(
2 &a_1 &+ &a_2 &+ 7 &a_3 &= 0,
3 &a_1 &- &a_2 &+ 3 &a_3 &= 0,
&a_1 &+ 2 &a_2 &+ c &a_3 &= 0
) $
#tab 由前两个方程，我们可以得到 $a_2 = 3/2 a_1$ 且 $a_3 = -1/2 a_1$，代入第三个方程中，化简得
$ (c - 8) a_1 = 0 $
#tab 由于 $c!=8$，只能有 $a_1 = 0$，而这将给出 $a_1 = a_2 = a_3 = 0$，与反证假设矛盾，故假设不成立。
#tab 综上所述，向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, c)$ 在 $RR^3$ 中线性相关当且仅当 $c = 8$。
]