szTom/LADRSolutions
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修正向量空间定义中缺少的可结合性部分的证明

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方而静 2025-07-27 23:15:10 +08:00
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sections/1A.typ
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@ -149,7 +149,7 @@
#note[$FF^n$ 上向量的加法交换律由原书定理1.14给出。]
#exercise_sol(type: "proof")[
#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-ffn-mul-assoc>)[
证明：$(a b)x = a(b x)$ 对所有 $x in FF^n$ 和 $a,b in FF$ 成立。
][
根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，则有
@ -200,7 +200,7 @@
/ 可交换性: \
原书定理1.14
/ 可结合性: \
@E-ffn-add-assoc
@E-ffn-add-assoc 和@E-ffn-mul-assoc
/ 加法单位元: \
原书记号1.15定义了 $0$，其性质容易验证
/ 加法逆元: \

37
sections/1B.typ
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@ -101,39 +101,43 @@
#tab 我们现在证明 $V^S$ 是 $FF$ 上的向量空间。具体而言，我们逐条验证向量空间的定义（原书定义1.20）中的要求：
/ 可交换性: 对于任意 $f, g in V^S$，都有 $f + g = g + f$。 \
证明：对于任意 $x in S$，有
证明：设 $x in S$，有
$ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) $
因此 $f + g = g + f $。
/ 可结合性: 对于任意 $f, g, h in V^S$，都有 $(f + g) + h = f + (g + h)$。 \
证明：对于任意 $x in S$，有
$ ((f + g) + h)(x) &= (f + g)(x) + h(x) 、
/ 可结合性: 对于任意 $f, g, h in V^S$ 以及 $a, b in FF$，都有 $(f + g) + h = f + (g + h)$ 且 $(a b)f = a(b f)$。 \
证明：设 $x in S$，则对于加法的结合性，有
$ ((f + g) + h)(x) &= (f + g)(x) + h(x) \
&= f(x) + g(x) + h(x) \
&= f(x) + (g + h)(x) \
&= (f + (g + h))(x) $
因此 $(f + g) + h = f + (g + h)$。
因此 $(f + g) + h = f + (g + h)$。对于标量乘法的结合性，有
$ ((a b)f)(x) &= (a b)(f(x)) \
&= a(b f(x)) \
&= a((b f)(x)) = (a(b f))(x) $
因此 $(a b)f = a(b f)$。
/ 加法单位元: 存在 $0 in V^S$ 使得对于任意 $f in V^S$，都有 $f + 0 = f$。 \
证明：取 $0: x |-> 0$ 为 $V^S$ 中的加法单位元。对于任意 $f in V^S$，都有
证明：取 $0: x |-> 0$ 为 $V^S$ 中的加法单位元。设 $x in S$，对于任意 $f in V^S$，都有
$ (f + 0)(x) = f(x) + 0 = f(x) = (f)(x) $
因此 $f + 0 = f$。
/ 加法逆元: 对于任意 $f in V^S$，存在 $g in V^S$ 使得 $f + g = 0$。 \
证明：取 $g: x |-> -f(x)$ 为 $f$ 的加法逆元。对于任意 $x in S$，都有
证明：取 $g: x |-> -f(x)$ 为 $f$ 的加法逆元。设 $x in S$，都有
$ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = f(x) - f(x) = 0 $
因此 $f + g = 0$。
/ 乘法单位元: 对于任意 $f in V^S$，都有 $1f = f$。 \
证明：对于任意 $x in S$，都有
证明：设 $x in S$，都有
$ (1f)(x) = 1 f(x) = f(x) $
因此 $1f = f$。
/ 分配性质: 对于任意 $f, g in V^S$ 以及所有 $a, b in FF$，都有 $a(f + g) = a f + a g$ 且 $(a + b)f = a f + b f$。 \
证明：对于任意 $x in S$，有
证明：设 $x in S$，则对于第一个分配性质，有
$ (a(f + g))(x) &= a((f + g)(x)) = a(f(x) + g(x)) \
&= a f(x) + a g(x) = (a f)(x) + (a g)(x) \
&= (a f + a g)(x) $
因此 $a(f + g) = a f + a g$。另一方面，有
因此 $a(f + g) = a f + a g$。对于第二个分配性质，有
$ ((a + b)f)(x) &= (a + b) f(x) \
&= a f(x) + b f(x) \
&= (a f)(x) + (b f)(x) \
@ -168,14 +172,19 @@
&= (u_2 + u_1) + ii (v_2 + v_1) \
&= (u_2 + ii v_2) + (u_1 + ii v_1) $
/ 可结合性: 对于任意 $u, v, w in complexification(V)$，都有 $(u + v) + w = u + (v + w)$。 \
证明：设 $u_1,v_1,u_2,v_2,u_3,v_3 in V$，由加法的可结合性，$(u_1 + u_2) + u_3 = u_1 + (u_2 + u_3)$
且 $(v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)$，因此
/ 可结合性: 对于任意 $u, v, w in complexification(V)$ 以及 $a, b in CC$，都有 $(u + v) + w = u + (v + w)$ 且 $(a b)u = a(b u)$。 \
证明：设 $u_1,v_1,u_2,v_2,u_3,v_3 in V$，则对于加法的结合性，有
$ &((u_1 + ii v_1) + (u_2 + ii v_2)) + (u_3 + ii v_3) \
=& ((u_1 + u_2) + ii (v_1 + v_2)) + (u_3 + ii v_3) \
=& (u_1 + u_2 + u_3) + ii (v_1 + v_2 + v_3) \
=& (u_1 + ii v_1) + ((u_2 + ii v_2) + (u_3 + ii v_3)) \
=& (u_1 + ii v_1) + (u_2 + u_3) + ii (v_2 + v_3) $
另一方面，对于标量乘法的结合性，有
$ (a b)(u + ii v) &= (a b)(u_1 + ii v_1) \
&= (a b u_1 - a b v_1) + ii (a b v_1 + a b u_1) \
&= a(b u_1 - b v_1) + ii (a b v_1 + a b u_1) \
&= a(b(u_1 + ii v_1)) \
&= a(b(u + ii v)) $
/ 加法单位元: 存在 $0 in complexification(V)$，使得对于任意 $u in complexification(V)$，都有 $u + 0 = u$。 \
证明：取 $0 = 0 + ii 0$ 为 $complexification(V)$ 中的加法单位元。对于任意 $u,v in V$，都有
@ -201,7 +210,7 @@
=& (a(u_1 + u_2) - b(v_1 + v_2)) + ii (a(v_1 + v_2) + b(u_1 + u_2)) \
=& (a u_1 - b v_1 + a u_2 - b v_2) + ii (a v_1 + b u_1 + a v_2 + b u_2) \
=& (a + b ii)(u_1 + ii v_1) + (a + b ii)(u_2 + ii v_2) $
另一方面，对于任意 $u,v in V$ 和 $a, b, c, d in RR$
另一方面，对于任意 $u,v in V$ 和 $a, b, c, d in RR$，
$ &((a + b ii) + (c + d ii))(u + ii v) \
=& (a + c) u - (b + d) v + ii ((a + b) v + (c + d) u) \
=& ((a u - b v) + (c u - d v)) + ii ((a v + b u) + (c v + d u)) \

10
sections/3A.typ
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@ -128,6 +128,7 @@
$ (T + S)v &= T v + S v \
&= S v + T v \
&= (S + T)v $
因此 $T + S = S + T$。
/ 可结合性: 对任意 $T, S, R in LinearMap(V, W)$ 以及 $a, b in FF$，都有 $ (T + S) + R = T + (S + R)$，以及 $(a b)T = a(b T)$。\
证明：设 $v in V$，则对于加法的结合性，有
@ -136,16 +137,18 @@
&= T v + (S + R)v \
&= T v + S v + R v \
&= (T + (S + R))v $
对于乘法的结合性，有
因此 $(T + S) + R = T + (S + R)$。另一方面，对于标量乘法的结合性，有
$ ((a b)T)v &= (a b)(T v) \
&= a(b(T v)) \
&= a((b T)v) = (a(b T))v $
因此 $(a b)T = a(b T)$。
/ 加法单位元: 存在 $0 in LinearMap(V, W)$，使得对任意 $T in LinearMap(V, W)$，$T + 0 = T$。 \
证明：取 $0: v |-> 0$，设 $v in V$，则
$ (T + 0)v &= T v + 0 v \
&= T v + 0 \
&= T v $
因此 $T + 0 = T$。
/ 加法逆元: 对任意 $T in LinearMap(V, W)$，存在 $-T in LinearMap(V, W)$，使得 $T + (-T) = 0$。 \
证明：取 $-T: v |-> -T v$，设 $v in V$，则
@ -153,11 +156,13 @@
&= T v - T v \
&= 0 \
&= 0 v $
因此 $T + (-T) = 0$。
/ 乘法单位元: 对于任意 $T in LinearMap(V, W)$，$1 T = T$。 \
证明：设 $v in V$，则
$ (1 T)v &= 1(T v) \
&= T v $
因此 $1 T = T$。
/ 分配性质: 对于任意 $T, S in LinearMap(V, W)$ 和 $a, b in FF$，都有 $a(T + S) = a T + a S$，以及 $(a + b)T = a T + b T$。\
证明：设 $v in V$，则对于第一个分配性质，有
@ -165,9 +170,10 @@
&= a(T v + S v) \
&= a T v + a S v \
&= (a T + a S)v $
对于第二个分配性质，有
因此 $a(T + S) = a T + a S$。另一方面，对于第二个分配性质，有
$ ((a + b)T)v &= (a + b)(T v) \
&= a(T v) + b(T v) \
&= (a T)v + (b T)v \
&= (a T + b T)v $
因此 $(a + b)T = a T + b T$。
]