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sections/1C.typ
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@ -502,9 +502,79 @@
$ (a, a, b, b) = v = (c, 0, d, 0) $
#tab 这解得 $a = b = c = d = 0$，故 $U inter W = {0}$。
#tab 解得 $a = b = c = d = 0$，故 $U inter W = {0}$。
#tab 综上所述，$FF^4 = U plus.circle W$。
]
#note[这并不是 $W$ 唯一的构造方案。]
#note[$W$ 还有其他符合题意的构造方案，例如 $W = {(0, x, 0, y) in FF^4 : x,y in FF}$。]
#exercise_sol(type: "answer")[
令
$ U = {(x, y, x + y, x - y, 2x) in FF^5 : x,y in FF} $
求 $FF^5$ 的一个子空间 $W$，使得 $FF^5 = U plus.circle W$。
][
取
$ W &= {(x, y, z, 0, 0) in FF^5 : x,y,z in FF} $
#tab 我们首先说明，$FF^5 = U + W$。任取 $u = (a, b, c, d, e, f) in FF^5$，注意到 $u = w + v$，其中
$ w &= (e / 2, -d + e / 2, -d + e, d, e) \
v &= (a - e / 2, b + d - e / 2, c + d - e, 0, 0) $
#tab 进一步地，我们说明这个和是直和。我们将 $0$ 分解为两个向量的和，使得每个向量都来自于一个子空间。具体地，我们设
$ 0 = (a, b, a + b, a - b, 2a) + (c, d, e, 0, 0) $
#tab 其中 $a, b, c, d, e in FF$。这给出一个五元一次方程组
$ cases(
a + c = 0,
b + d = 0,
a + b + e = 0,
a - b = 0,
2a = 0
) $
#tab 这个方程组的唯一解是 $a = b = c = d = e = 0$，这说明 $0$ 只有唯一的表示方式。根据直和的条件（原书定理1.45），我们确认 $FF^5 = U plus.circle W$。
]
#exercise_sol(type: "answer")[
令
$ U = {(x, y, x + y, x - y, 2x) in FF^5 : x,y in FF} $
求 $FF^5$ 的三个都不为 ${0}$ 的子空间 $W_1$，$W_2$ 和 $W_3$，使得 $FF^5 = U plus.circle W_1 plus.circle W_2 plus.circle W_3$。
][
对于 $i in {1,2,3}$，取
$ W_1 &= {(x, 0, 0, 0, 0) in FF^5 : x in FF} \
W_2 &= {(0, x, 0, 0, 0) in FF^5 : x in FF} \
W_3 &= {(0, 0, x, 0, 0) in FF^5 : x in FF} $
#tab 我们首先说明，$FF^5 = U + W_1 + W_2 + W_3$。任取 $u = (a, b, c, d, e, f) in FF^5$，注意到 $u = w + v_1 + v_2 + v_3$，其中
$ w &= (e / 2, -d + e / 2, -d + e, d, e) \
v_1 &= (a - e / 2, 0, 0, 0, 0) \
v_2 &= (0, b + d - e / 2, 0, 0, 0) \
v_3 &= (0, 0, c + d - e, 0, 0) $
#tab 进一步地，我们说明这个和是直和。我们将 $0$ 分解为四个向量的和，使得每个向量都来自于一个子空间。具体地，我们设
$ 0 = (a, b, a + b, a - b, 2a) + (c, 0, 0, 0, 0) + (0, d, 0, 0, 0) + (0, 0, e, 0, 0) $
#tab 其中 $a, b, c, d, e in FF$。这给出一个五元一次方程组
$ cases(
a + c = 0,
b + d = 0,
a + b + e = 0,
a - b = 0,
2a = 0
) $
#tab 这个方程组的唯一解是 $a = b = c = d = e = 0$，这说明 $0$ 只有唯一的表示方式。根据直和的条件（原书定理1.45），我们确认 $FF^5 = U plus.circle W_1 plus.circle W_2 plus.circle W_3$。
]