3B 33

Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/3A.typ

@@ -394,7 +394,7 @@
 
 #let Es = $cal(E)$
 
-#exercise_sol(type: "proof", label: "hard")[
+#exercise_sol(type: "proof", label: "hard", ref: <E-two-sided-ideal>)[
 	设 $V$ 是有限维向量空间。
 
 	- $LinearMap(V)$ 的子空间 $Es$ 被称为*双边理想（two-sided ideal）*，是指 $T E in Es$ 和 $E T in Es$，对于任意 $E in Es$ 和 $T in LinearMap(V)$ 都成立。
@@ -403,8 +403,8 @@
 ][
 	验证 ${0}$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想是平凡的。现在假设 $Es$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想，且 $Es != {0}$。故存在 $E in Es$ 使得 $E != 0$，即可设 $w_0 in V$，使得 $E w_0 != 0$。令 $w = E w_0$。
 
-	#let Rr = $restricted(R, span(w))$
-	#tab 根据线性映射引理（原书3.4），可以找到线性映射#footnote[这里有时将 $FF$ 视为一个向量空间，即我们不对 $FF$ 和 $FF^1$ 进行明确地区分。] $Rr: span(w) -> FF$，满足 $Rr(w) = 1$。进一步地，根据@E-extend-linear-map，存在线性映射 $R in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $u in span(w)$，都有 $R u = Rr(u)$。
+	#let Rr = $restricted(R, W)$
+	#tab 令 $W = span(w)$。根据线性映射引理（原书3.4），可以找到线性映射#footnote[这里有时将 $FF$ 视为一个向量空间，即我们不对 $FF$ 和 $FF^1$ 进行明确地区分。] $Rr: W -> FF$，满足 $Rr(w) = 1$。再根据@E-extend-linear-map，存在线性映射 $R in LinearMap(V, FF)$，使得 $R w = Rr(w) = 1$。
 
 	#tab 现在，对于任意 $u in W$ 和 $f in LinearMap(V, FF)$，定义
 
@@ -421,15 +421,9 @@
 		&= f(v) R(w) u \
 		&= f(v) u $
 
-	#tab 现在，设 $T in LinearMap(V)$，$i, j in {1, dots, m}$。我们将 $T u_j$ 表示为
+	#tab 现在，设 $T in LinearMap(V)$，$i, j in {1, dots, m}$。我们将 $T u_j$ 表示为 $T u_j = A_(1, j) u_1 + dots.c + A_(m, j) u_m$，其中 $A_(i, j) in FF$。同时，将 $v$ 表示为 $v = a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m$，其中 $a_1, dots, a_m in FF$。
 
-	$ T u_j = A_(1, j) u_1 + dots.c + A_(m, j) u_m $
-
-	#tab 其中 $A_(i, j) in FF$。同时，对于任意 $v in V$，将其表示为
-
-	$ v = a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m $
-
-	#tab 其中 $a_1, dots, a_m in FF$。现在，对于任意 $i in {1, dots, m}$，根据线性映射引理（原书3.4），我们可以找到线性映射 $f_i in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $j in {1, dots, m}$，$f_i (v_j) = A_(i, j)$，即
+	#tab 现在，对于任意 $i in {1, dots, m}$，根据线性映射引理（原书3.4），我们可以找到线性映射 $f_i in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $j in {1, dots, m}$，$f_i (v_j) = A_(i, j)$，即
 
 	$ f_i (v) = sum_(j = 1)^m A_(i, j) a_j $
 

sections/3B.typ

@@ -1,5 +1,5 @@
 #import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref, math_numbering, note
-#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted, Poly
+#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted, Poly, complexification, ii
 
 #exercise_sol(type: "answer")[
 	给出一例：满足 $dim null T = 3$ 且 $dim range T = 2$ 的线性映射 $T$。
@@ -565,7 +565,7 @@
 ][
 	令 $Poly(RR)$ 上的映射 $T$ 为 $p |-> 5p'' + 3p'$，容易验证 $T$ 为线性映射，且对于任意 $p in Poly(RR)$，$deg T p = deg p - 1$。于是，根据@E-Poly-lower-const-degree-surj，$T$ 是满射。
 
-	#tab 这说明，对于任意 $p in Poly(RR)$，都存在$q in Poly(RR)$，使得 $T q = p$，即 $5 q'' + 3q' = p$。
+	#tab 这说明，对于任意 $p in Poly(RR)$，都存在 $q in Poly(RR)$，使得 $T q = p$，即 $5 q'' + 3q' = p$。
 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
@@ -615,3 +615,55 @@
 
 	#tab 综上所述，存在 $T in LinearMap(V, W)$ 使得 $null T = X$ 且 $range T = Y$，当且仅当，$dim X + dim Y = dim V$。
 ]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设 $V$ 是有限维向量空间，$dim V > 1$。证明：若 $phi: LinearMap(V) -> FF$ 是线性映射，使得对于任意 $S, T in LinearMap(V)$，$phi(S T) = phi(S) phi(T)$，则 $phi = 0$。
+
+	#note(supplement: "提示")[#exercise_ref(<E-two-sided-ideal>)中给出了关于 $LinearMap(V)$ 的双边理想的描述，或许有用。]
+][
+	设 $S in null T$，$T in LinearMap(V)$，则 $phi(S) = 0$，故 $phi (S T) = phi (T S) = phi(S)phi(T) = 0$，即 $S T, T S in null T$，故 $null T$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想。根据#exercise_ref(<E-two-sided-ideal>)，$null T = {0}$ 或 $null T = LinearMap(V)$。
+
+	#tab 由于 $dim V > 1$，容易验证 $dim LinearMap(V) > 1 = dim FF$，根据“映到更低维空间上的线性映射不是单射”（原书3.22），可知 $T$ 不是单射。再根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$”（原书3.15），$null T != {0}$，因此 $null T = LinearMap(V)$。这说明对于任意 $S in LinearMap(V)$，都有 $S in null T$，即 $phi(S) = 0$。故 $phi = 0$。
+]
+
+#let Tc = $complexification(T)$
+#let Vc = $complexification(V)$
+#let Wc = $complexification(W)$
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设 $V$ 和 $W$ 都是实向量空间，$T in LinearMap(V, W)$。定义 $Tc: Vc -> Wc$ 为对于任意 $u, v in V$，
+
+	$ Tc (u + ii v) = T u + ii T v $
+
+	+ 证明：$Tc$ 是 $Vc -> Wc$ 的（复）线性映射；
+	+ 证明：$Tc$ 是单射，当且仅当 $T$ 是单射；
+	+ 证明：$range Tc = Wc$，当且仅当 $range T = W$。
+
+	#note[复化 $Vc$ 定义于#exercise_ref(<E-vector-dspace-complexification>)，线性映射 $Tc$ 被称为线性映射 $T$ 的*复化（complexification）*。]
+][
+	对于（a），我们逐条验证线性映射的定义（原书3.1）中给出的要求：
+
+	/ 可加性: 对于任意 $u, v in Vc$，均有 $Tc (u + v) = Tc u + Tc v$。 \
+		证明：设 $u = u_1 + ii u_2$，$v = v_1 + ii v_2$，其中 $u_1, u_2, v_1, v_2 in V$。则
+		$ Tc (u + v) &= Tc ((u_1 + v_1) + ii (u_2 + v_2)) \
+			&= T (u_1 + v_1) + ii T (u_2 + v_2) \
+			&= T u_1 + ii T u_2 + T v_1 + ii T v_2 \
+			&= Tc u + Tc v $
+
+	/ 齐次性: 对于任意 $lambda in CC$，$u in Vc$，均有 $Tc (lambda u) = lambda Tc u$。 \
+		证明：设 $u = u_1 + ii u_2$，其中 $u_1, u_2 in V$。则
+		$ Tc (lambda u) &= Tc (lambda (u_1 + ii u_2)) \
+			&= T (lambda u_1) + ii T (lambda u_2) \
+			&= lambda T u_1 + ii lambda T u_2 \
+			&= lambda (T u_1 + ii T u_2) \
+			&= lambda Tc u $
+
+	#tab 这说明 $Tc$ 确实是 $Vc -> Wc$ 的线性映射。
+
+	#tab 对于（b），首先假设 $Tc$ 是单射。根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$”（原书3.15），可得 $null Tc = {0}$。设 $v in null T$，则根据“线性映射将 $0$ 映射为 $0$”（原书3.10），可得 $0 = T v = T v + ii T 0 = Tc (v + ii 0)$，因此 $v = 0$，即 $null T = {0}$，故 $T$ 是单射。
+
+	#tab 另一方面，假设 $T$ 是单射。设 $u + ii v in null Tc$，则 $0 = Tc (u + ii v) = T u + ii T v$，故 $T u = T v = 0$。又因为 $null T = {0}$，只能有 $u = v = 0$，即 $null Tc = {0}$，因此 $Tc$ 是单射。
+
+	#tab 对于（c），首先假设 $range Tc = Wc$。设 $w in W$，则存在 $u + ii v in Vc$，使得 $T (u + ii v) = w + ii 0$，即 $T u + ii T v = w + ii 0$，故 $T u = w$。于是 $W subset.eq range T$，即 $range T = W$。
+
+	#tab 另一方面，假设 $range T = W$。设 $w + ii v in Wc$，则存在 $u in V$，使得 $T u = w$。因此 $Tc (u + ii v) = T u + ii T v = w + ii T v$，即 $w + ii v in range Tc$。这说明 $Wc subset.eq range Tc$，即 $range Tc = Wc$。
+]