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#import "../styles.typ": exercise_sol, note, tab
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $b, c in RR$。定义
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$ T:& RR^3 -> RR^2 \ &(x, y, z) |-> (2x - 4y + 3z + b, 6x + c x y z) $
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证明：$T$ 是线性映射，当且仅当，$b = c = 0$。
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首先，假设 $b = c = 0$。则 $T(x, y, z) = (2x - 4y + 3z, 6 x)$，我们逐条验证线性映射的定义（原书3.1）中的要求：
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/ 可加性: 对任意 $u, v in RR^3$，$T(u + v) = T u + T v$。 \
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证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，$v = (v_1, v_2, v_3)$，则
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$ T(u + v) &= T(u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3) \
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&= (2(u_1 + v_1) - 4(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3), 6(u_1 + v_1)) \
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&= (2u_1 - 4u_2 + 3u_3, 6u_1) + (2v_1 - 4v_2 + 3v_3, 6v_1) \
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&= T u + T v $
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/ 齐次性: 对任意 $u in RR^3$ 和任意 $lambda in RR$，$T(lambda u) = lambda T u$。 \
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证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，则
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$ T(lambda u) &= T(lambda u_1, lambda u_2, lambda u_3) \
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&= (2(lambda u_1) - 4(lambda u_2) + 3(lambda u_3), 6(lambda u_1)) \
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&= lambda (2u_1 - 4u_2 + 3u_3, 6u_1) \
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&= lambda T u $
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#tab 综上，$T$ 满足线性映射的定义。
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#tab 另一方面，假设 $T$ 是线性映射。则根据线性映射将 $0$ 映射到 $0$（原书3.10），有
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$ T(0, 0, 0) &= (2 dot 0 - 4 dot 0 + 3 dot 0 + b, 6 dot 0 + c dot 0) \
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&= (b, 0) = (0, 0) $
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#tab 因此 $b = 0$。另一方面，设 $u = (1, 1, 1)$，则根据齐次性的要求，有
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$ T(2u) = (2, 12 + 8c) = (2, 12 + 2c) = 2 T(u) $
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#tab 于是，$c = 0$。
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#tab 综上所述，$T$ 是线性映射，当且仅当 $b = c = 0$。
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