为 9.11 又略微作了补充
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82d2a0dffe
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c2f75329b6
@ -438,45 +438,48 @@ $$
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设 $A,B$ 都有邻域。称 $A,B$ 是同号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相同。称 $A,B$ 是异号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相异。
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- **引理 9.10.7（极限算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域，且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空，$\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$ 且 $\lim\limits_{x\to c}g(x)=B$。那么：
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$$
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\begin{aligned}
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\lim_{x\to c}(f+g)(x)&=
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\begin{cases}
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A+B&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
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+\infty&+\infty\in\{A,B\}\land-\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
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-\infty&-\infty\in\{A,B\}\land+\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
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\infty&A,B\text{ 中一个为 }\infty\text{，一个属于 }\mathbb R\\
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\text{未定型}&A,B\text{ 是两个非同号的无穷大}
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\end{cases}\\
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\lim_{x\to c}(fg)(x)&=
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\begin{cases}
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AB&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
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+\infty&A,B\text{ 同号且包含无穷大}\\
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-\infty&A,B\text{ 异号且包含无穷大}\\
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\infty&A,B\text{ 其中一个非零，另一个为 }\infty\\
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\text{未定型}&A,B\text{ 其中一个为零，另一个为无穷大}
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\end{cases}
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\end{aligned}
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$$
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若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么：
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$$
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\lim_{x\to c}\frac{1}{f}(x)=
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\begin{cases}
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\frac{1}{A}&A\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}\\
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\infty(+\infty,-\infty)&A=0(0^+,0^-)\\
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0(0^+,0^-)&A=\infty(+\infty,-\infty)
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\end{cases}
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$$
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其中，当 $A,B\in\mathbb R^{\sigma}$ 和 $C\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}$ 时，$A+B,AB,\frac{1}{C}$ 的定义我们在此略去，它们根据该引理自然地成为合理的结果。例如：
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\begin{aligned}
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\lim_{x\to c}(f+g)(x)&=
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\begin{cases}
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A+B&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
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+\infty&+\infty\in\{A,B\}\land-\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
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-\infty&-\infty\in\{A,B\}\land+\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
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\infty&A,B\text{ 中一个为 }\infty\text{，一个属于 }\mathbb R\\
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\text{未定型}&A,B\text{ 是两个非同号的无穷大}
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\end{cases}\\
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\lim_{x\to c}(fg)(x)&=
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\begin{cases}
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AB&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
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+\infty&A,B\text{ 同号且包含无穷大}\\
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-\infty&A,B\text{ 异号且包含无穷大}\\
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\infty&A,B\text{ 其中一个非零，另一个为 }\infty\\
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\text{未定型}&A,B\text{ 其中一个为零，另一个为无穷大}
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\end{cases}
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\end{aligned}
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- 当 $A,B\in\mathbb R$ 时，$A+B$ 直接相容于实数的加法定义。
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- 当 $A=a^+,B=b^+$ 时，$A+B=(a+b)^+$。
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- 当 $A=a^+,B=b^-$ 时，$A+B=a+b$。
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- 当 $A=a^+,B=b^-$ 且 $a\geq 0,b\leq 0$ 时，$AB=(ab)^-$。
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- 当 $C=c^+$ 且 $c<0$ 时，$\frac{1}{C}=(\frac{1}{c})^-$。
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若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么：
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其中乘法和逆的判别方法一般是将绝对值和正负性结合考虑。
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\lim_{x\to c}\frac{1}{f}(x)=
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\begin{cases}
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\frac{1}{A}&A\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}\\
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\infty(+\infty,-\infty)&A=0(0^+,0^-)\\
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0(0^+,0^-)&A=\infty(+\infty,-\infty)
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\end{cases}
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其中，当 $A,B\in\mathbb R^{\sigma}$ 和 $C\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}$ 时，$A+B,AB,\frac{1}{C}$ 的定义我们在此略去，它们根据该引理自然地成为合理的结果。例如：
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- 当 $A,B\in\mathbb R$ 时，$A+B$ 直接相容于实数的加法定义。
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- 当 $A=a^+,B=b^+$ 时，$A+B=(a+b)^+$。
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- 当 $A=a^+,B=b^-$ 时，$A+B=a+b$。
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- 当 $A=a^+,B=b^-$ 且 $a\geq 0,b\leq 0$ 时，$AB=(ab)^-$。
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- 当 $C=c^+$ 且 $c<0$ 时，$\frac{1}{C}=(\frac{1}{c})^-$。
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其中乘法和逆的判别方法一般是将绝对值和正负性结合考虑。
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- **引理 9.10.8（极限复合）**：设 $X,Y\subseteq\mathbb R$，$f:X\to Y$，$g:Y\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域。若下面两者中任意一者成立：
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@ -500,6 +503,7 @@ $$
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大 $O$ 记号有很多显然的规则。
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- **引理 9.11.2（大 $O$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么：
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\begin{aligned}
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f&=O(f)\\
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@ -511,8 +515,6 @@ $$
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\end{aligned}
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在实际应用中，还会用到其他的一些大 $O$ 的运算法则（比如上面很多式子反过来也是成立的），就不再详细列举，因为它们往往都是根据定义不难证明的。下面介绍大 $\Theta$ 和小 $o$ 时也是类似的。
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- **定义 9.11.3（大 $\Theta$、同阶）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 同阶（也记为 $f=\Theta(g)$），当且仅当 $f=O(g)$ 且 $g=O(f)$。
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@ -527,9 +529,12 @@ $$
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**证明**：传递性：若 $f=O(g),g=O(h)$，那么 $f=O(g)=O(O(h))=O(h)$，反过来同理可证 $h=O(f)$。
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若两个函数的比值存在非零极限，那么这两个函数同阶，但注意这不是必要条件。
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- **定义 9.11.6（小 $o$）**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f=o(g)$，当且仅当对任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)|\leq \varepsilon|g(x)|$。
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- **引理 9.11.7（小 $o$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么：
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\begin{aligned}
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o(kf)&=o(f)\\
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@ -542,29 +547,41 @@ $$
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\end{aligned}
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- **引理 9.11.8**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面两个命题等价：
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1. 当 $x\to c$ 时，$f=o(g)$。
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2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$。
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从引理 9.11.8 可以看出，$f=o(g)$ 几乎和 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ 等价，这和 $f=\Theta(g)$ 不同。
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当我们在讨论两个函数 $f,g$ 在 $c$ 附近的阶的关系的时候，一般来说 $f,g$ 的函数值会涉及到无穷大或无穷小，因为若 $f$ 在 $c$ 附近有界且远离零，那么 $f=\Theta(1)$，从而讨论 $f$ 与其他函数的阶的关系是很平凡的。
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- **定义 9.11.8（等价）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，当且仅当 $f=g+o(g)$。
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- **定义 9.11.9（函数等价）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，当且仅当 $f=g+o(g)$。
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即对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。
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- **引理 9.11.9**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面两个命题等价：
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- **引理 9.11.10**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面几个命题等价：
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1. 当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 是等价的。
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2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
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3. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。
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4. 当 $x\to c$ 时，$g$ 与 $f$ 是等价的。
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2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
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3. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
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4. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。
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5. 当 $x\to c$ 时，$g$ 与 $f$ 是等价的。
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**证明**：1->2：存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，那么若 $f(x)=0$，则有 $|g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，则必有 $g(x)=0$；若 $g(x)=0$，则有 $|f(x)|\leq 0$ 即 $f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 从而对于任意 $x\in V\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$，即 $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|\leq \varepsilon$，从而 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
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**证明**：1<->2：利用引理 9.11.8。
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2->1：若存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交为空，那么对于任意 $x\in V$ 有 $f(x)=g(x)=0$，此时容易证明 $f,g$ 等价；否则，若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 有 $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|\leq \varepsilon$，那么 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$，同时对于 $V$ 中剩下的 $x$，一定有 $f(x)=g(x)=0$，从而也有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。
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1->3：存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，那么若 $f(x)=0$，则有 $|g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，则必有 $g(x)=0$。
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2->3：由于存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得邻域内有 $f(x)=0\iff g(x)=0$，所以对于 $c$ 的任意去心邻域 $W\subseteq V$，$W\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}=W\cap \{x\in X:f(x)\neq 0\}$，再根据极限的局部性，以及极限的算律，可以证明 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。
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3->2：显然。
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3<->4：利用 1<->2。
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3->4：由于存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得邻域内有 $f(x)=0\iff g(x)=0$，所以对于 $c$ 的任意去心邻域 $W\subseteq V$，$W\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}=W\cap \{x\in X:f(x)\neq 0\}$，再根据极限的局部性，以及极限的算律，可以证明 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。
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- **引理 9.11.10（等价是等价关系）**：定义 9.11.8 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。
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4->3：类似 3->4。
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4<->5：利用 1<->3。
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- **引理 9.11.11（函数等价是等价关系）**：定义 9.11.9 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。
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**证明**：传递性：若 $f=g+o(g),g=h+o(h)$，那么 $f=g+o(g)=h+o(h)+o(h+o(h))=h+o(h)+o(O(h))=h+o(h)+o(h)=h+o(h)$。反过来同理可证 $h=f+o(f)$。
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我们将在习题篇中看到阶的应用。
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我们将在习题篇中看到阶的具体应用。
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