src/第2章 从头开始：自然数.md

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-### 第 2 章 从头开始：自然数
+如果要按照尽可能严格的方式进行，我们不得不从最基础的内容开始讲起：数的概念及性质。什么是数，以及为什么代数法则总是起作用？这是一个值得探讨的问题。即使有的性质和命题看起来是十分显然的，但是证明它可能并不容易。下面我们将要介绍自然数系 $\mathbb N$。毫无疑问，这是所有数系中最基本的。因为随后我们将会使用自然数来构造整数，整数又被用来构造有理数，有理数被用于构造实数，而实数又被用来构造复数。于是，如果我们想要从最基本的内容开始，我们必须考察自然数。
 
-#### 2.1 Peano 公理
+## 2.1 皮亚诺公理
 
-Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后继，或 $n$ 增长后得到的结果，它是唯一的）的公理：
+皮亚诺公理是关于 $0$ 以及增长运算 $^+$（将 $n^+$ 称为 $n$ 的后继，或 $n$ 增长后得到的结果，它是唯一的）的公理：
 
-- **公理 2.1.1**：$0$ 是一个自然数。
+- **公理 2.1.1（零存在）**：$0$ 是一个自然数。
 
-- **公理 2.1.2**：若 $n$ 是自然数，则 $n++$ 也是自然数。
+- **公理 2.1.2（后继存在）**：若 $n$ 是自然数，则 $n^+$ 也是自然数。
 
-定义 $1$ 是数 $0++$，$2$ 是数 $(0++)++$，…… 这里只是自然数的一种表示方法。
+定义 $1$ 是数 $0^+$，$2$ 是数 $(0^+)^+$，…… 这里只是自然数的一种表示方法。
 
-- **公理 2.1.3**：$0$ 不是任何自然数的后继，即对于每个自然数 $n$，都有 $n++\neq 0$。
+- **公理 2.1.3（零不是任何数的后继）**：$0$ 不是任何自然数的后继，即对于每个自然数 $n$，都有 $n^+\neq 0$。
 
-- **公理 2.1.4**：不同的自然数有不同的后继。即，若 $n,m$ 为自然数且 $n\neq m$，则 $n++\neq m++$。
+- **公理 2.1.4（后继不相同）**：不同的自然数有不同的后继。即，若 $n,m$ 为自然数且 $n\neq m$，则 $n^+\neq m^+$。
 
-- **公理 2.1.5（数学归纳原理）**：设 $P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(0)$ 是真的，并假设有 “若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n++)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n$，$P(n)$ 都是真的。
+- **公理 2.1.5（数学归纳原理）**：设 $P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(0)$ 是真的，并假设有 “若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n^+)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n$，$P(n)$ 都是真的。
 
-公理 2.1~2.5 就是关于自然数的所谓的 Peano 公理。我们据此作出假设：
+公理 2.1~2.5 就是关于自然数的所谓的皮亚诺公理。我们据此作出假设：
 
 - **假设 2.1.6**：存在一个数系 $\mathbb{N}$，称其元素为自然数，公理 2.1.1~2.1.5 对于此数系成立。
 
 这样的数系可能有很多（比如每个元素可以是 $0,1,2,\cdots$，也可以是罗马数字），但这些集合都是同构（称为皮亚诺结构）的，或者说只有命名之分，所以我们仅仅单独使用一个自然数系。
 
-这里再插入一个 “更正式的定义”：
+这里再插入一个 “更正式的定义”（我们暂时没有采用这个公理，因为我们还没有定义集合）：
 
 > 一个皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组 $(X,x,f)$：
 > 
@@ -37,7 +37,7 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后
 
 1. 两种定义方式都是公理化的，而非构造性的。
    
-   即，都不是告诉你自然数是什么（它们代表数量吗、代表物理对象吗……）——这不是关键，关键是自然数满足的性质（如公理 2.5 就说明自然数满足数学归纳法）——这决定我们怎么利用自然数这一工具。
+   即，它都不是告诉你自然数是什么（它们代表数量吗、代表物理对象吗……）——这不是关键，关键是自然数满足的性质（如公理 2.5 就说明自然数满足数学归纳法）——这决定我们怎么利用自然数这一工具。
 
 2. 第一种定义方式，是直接地说明了运用自然数时所需要的种种性质。
 
@@ -45,7 +45,7 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后
    
    （不严谨的）证明：首先根据公理 2.1.1~2.1.4 可以看出，自然数中存在一条以 $0$ 开头的无限长的链的结构。那么我们只用说明，整个自然数结构中，除了这条链之外没有其他东西。
    
-   定义命题 $P(n)$ 表示 $n=0$ 或 $\exist_m,m++=n$。根据公理 2.1.5，可证对于任意自然数 $n$，$P(n)$ 都为真。
+   定义命题 $P(n)$ 表示 $n=0$ 或 $\exist_m,m^+=n$。根据公理 2.1.5，可证对于任意自然数 $n$，$P(n)$ 都为真。
    
    那么如果整个自然数结构中，除了那条链之外还存在其他东西，那么容易发现这些 “自然数” 的 $P$ 要么为假，要么是非良定义的（出现循环递归定义的情况），那么就和所有自然数的 $P$ 都为真矛盾了。
    
@@ -53,25 +53,25 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后
 
 公理化的一个结果是，我们可以通过递归的方法定义无限数列了：
 
-- **命题 2.1.7（递归定义）**：设对于每个自然数 $n$，都有某个函数 $f_n:\mathbb N\to \mathbb N$。设 $c$ 是一个自然数，那么可以对每个自然数 $n$ 指定唯一一个自然数 $a_n$，使得 $a_0=c$ 且 $a_{n++}=f_n(a_n)$。
+- **命题 2.1.7（递归定义）**：设对于每个自然数 $n$，都有某个函数 $f_n:\mathbb N\to \mathbb N$。设 $c$ 是一个自然数，那么可以对每个自然数 $n$ 指定唯一一个自然数 $a_n$，使得 $a_0=c$ 且 $a_{n^+}=f_n(a_n)$。
   
   **证明**：命题用意在于证明 $a_n$ “存在” 且 “唯一”。
   
-  首先，$a_0$ 存在，且有 ”若 $a_n$ 存在，那么由 $a_{n++}=f_n(a_n)$ 可知 $a_{n++}$ 也存在”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都存在。
+  首先，$a_0$ 存在，且有 ”若 $a_n$ 存在，那么由 $a_{n^+}=f_n(a_n)$ 可知 $a_{n^+}$ 也存在”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都存在。
   
-  其次，对于 $n=0$，除了初始给 $a_0$ 指定值 $c$ 之外，根据公理 2.1.3 没有其他的定义 $a_{n++}:=f_n(a_n)$ 再次定义 $a_0$ 的值，故 $a_0$ 唯一，且有 “若 $a_n$ 唯一，它将赋予 $a_{n++}$ 一个单一的值 $a_{n++}:=f_n(a_n)$，且根据公理 2.1.4 可知没有其他的定义 $a_{m++}:=f_m(a_m)$ 能再次定义 $a_{n++}$，则 $a_{n++}$ 唯一”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都唯一。
+  其次，对于 $n=0$，除了初始给 $a_0$ 指定值 $c$ 之外，根据公理 2.1.3 没有其他的定义 $a_{n^+}:=f_n(a_n)$ 再次定义 $a_0$ 的值，故 $a_0$ 唯一，且有 “若 $a_n$ 唯一，它将赋予 $a_{n^+}$ 一个单一的值 $a_{n^+}:=f_n(a_n)$，且根据公理 2.1.4 可知没有其他的定义 $a_{m^+}:=f_m(a_m)$ 能再次定义 $a_{n^+}$，则 $a_{n^+}$ 唯一”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都唯一。
 
 这是公理化结果中的一个较为模板性的结果。我们可以用递归定义的方法来定义加法和乘法。
 
-#### 2.2 加法
+## 2.2 加法
 
 让我们定义加法，定义 $n$ 加上 $m$ 表示将 $n$ 增长 $m$ 次的结果，其准确定义如下：
 
-- **定义 2.2.1（自然数的加法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0+m:=m$ 为一自然数。现归纳地假定已定义好 $n+m$ 为一自然数，那么定义 $(n++)+m:=(n+m)++$ 也为一自然数。
+- **定义 2.2.1（自然数的加法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0+m:=m$ 为一自然数。现归纳地假定已定义好 $n+m$ 为一自然数，那么定义 $(n^+)+m:=(n+m)^+$ 也为一自然数。
   
   根据命题 2.1.7，对于每个自然数 $n$， $n+m$ 都有定义且唯一。（为了方便，以后这句话以及上面过程中用于强调加法封闭性（递归定义要求封闭性）的相关语句可能省略）
 
-我们要证明加法的两个基本运算定律：交换律和结合律。为了较为清晰地显现出 $n+m$ 最初始的定义（且防止误用还未证明的交换律或结合律），我们暂时用 $f_m(n)$ 表示 $n+m$，那么 $f_m(0)=m,f_{m}(n++)=f_m(n)++$。
+我们要证明加法的两个基本运算定律：交换律和结合律。为了较为清晰地显现出 $n+m$ 最初始的定义（且防止误用还未证明的交换律或结合律），我们暂时用 $f_m(n)$ 表示 $n+m$，那么 $f_m(0)=m,f_{m}(n^+)=f_m(n)^+$。
 
 - **命题 2.2.2（加法交换律）**：对于任何自然数 $n$ 和 $m$，$n+m=m+n$。
   
@@ -83,13 +83,13 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后
   
   $$
   \begin{aligned}
-f_m(n++)&=f_{n++}(m)\\
-\iff f_m(n)++&=f_{n++}(m)\\
-\iff f_n(m)++&=f_{n++}(m)
+&f_m(n^+)=f_{n^+}(m)\\
+\iff &f_m(n)^+=f_{n^+}(m)\\
+\iff &f_n(m)^+=f_{n^+}(m)
 \end{aligned}
   $$
   
-  同样再对 $m$ 进行归纳即可：$\begin{cases}f_n(0)++=n++=f_{n++}(0)\\f_n(m++)++=(f_n(m)++)++=f_{n++}(m)++=f_{n++}(m++)\end{cases}$。
+  同样再对 $m$ 进行归纳即可：$\begin{cases}f_n(0)^+=n^+=f_{n^+}(0)\\f_n(m^+)^+=(f_n(m)^+)^+=f_{n^+}(m)^+=f_{n^+}(m^+)\end{cases}$。
 
 - **命题 2.2.3（加法结合律）**：对于任何自然数 $a,b,c$，$(a+b)+c=a+(b+c)$。
   
@@ -101,9 +101,9 @@ f_m(n++)&=f_{n++}(m)\\
   
   $$
   \begin{aligned}
-f_c((a++)+b)&=f_{b+c}(a++)\\
-\iff f_c((a+b)++)&=f_{b+c}(a)++\\
-\iff f_c(a+b)++&=f_{b+c}(a)++
+&f_c((a^+)+b)=f_{b+c}(a^+)\\
+\iff &f_c((a+b)^+)=f_{b+c}(a)^+\\
+\iff &f_c(a+b)^+=f_{b+c}(a)^+
 \end{aligned}
   $$
 
@@ -115,7 +115,7 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概
   
   当 $a=0$ 时，$0+b=0+c$，即 $b=c$。
   
-  归纳地假设 $a+b=a+c\to b=c$。若 $(a++)+b=(a++)+c$，那么 $(a+b)++=(a+c)++$，根据公理 2.1.4，可知 $a+b=a+c$，那么 $b=c$。
+  归纳地假设 $a+b=a+c\to b=c$。若 $(a^+)+b=(a^+)+c$，那么 $(a+b)^+=(a+c)^+$，根据公理 2.1.4，可知 $a+b=a+c$，那么 $b=c$。
 
 这样，我们就能做等式两边的化简了。
 
@@ -123,17 +123,19 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概
 
 - **定义 2.2.5（正自然数）**：一个自然数被称为正的，当且仅当它不等于 $0$。
 
-- **引理 2.2.6**：对于任意自然数 $n$，$n++$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。
+- **引理 2.2.6（后继是正数）**：对于任意自然数 $n$，$n^+$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。
 
-- **命题 2.2.7**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。**证明**：对 $b$ 归纳。
+- **命题 2.2.7（正数的传染性）**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。
 
-- **推论 2.2.8**：$a+b=0$ 当且仅当 $a=0$ 且 $b=0$。
+  **证明**：对 $b$ 进行数学归纳即可。
 
-- **引理 2.2.9**：设 $b$ 是正数，那么恰存在一个自然数 $a$，使得 $a++=b$。
+- **推论 2.2.8（零的非退化性）**：$a+b=0$ 当且仅当 $a=0$ 且 $b=0$。
+
+- **引理 2.2.9（正数的前驱的存在性）**：设 $b$ 是正数，那么恰存在一个自然数 $a$，使得 $a^+=b$。
   
-  **证明**：设命题 $P(b)$ 表示 $b=0$ 或恰存在一个自然数 $a$，使得 $a++=b$。
+  **证明**：设命题 $P(b)$ 表示 $b=0$ 或恰存在一个自然数 $a$，使得 $a^+=b$。
   
-  对 $b$ 归纳，$P(0)$ 显然成立。假设 $P(b)$ 成立，根据公理 2.1.4，恰存在一个自然数 $a=b$ 使得 $a++=(b++)$，故 $P(b++)$ 成立。则对于任意自然数 $b$，$P(b)$ 成立。
+  对 $b$ 归纳，$P(0)$ 显然成立。假设 $P(b)$ 成立，根据公理 2.1.4，恰存在一个自然数 $a=b$ 使得 $a^+=(b^+)$，故 $P(b^+)$ 成立。则对于任意自然数 $b$，$P(b)$ 成立。
   
   当 $b$ 为正数时，$P(b)$ 成立，而 $b\neq 0$，故原引理成立。
   
@@ -141,65 +143,67 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概
 
 一旦有了加法的概念，我们可以开始定义序的概念。
 
-- **定义 2.2.10（自然数的序）**：设 $n$ 和 $m$ 是自然数，称 $n$ 大于等于 $m$（记作 $n\geq m$ 或 $m\leq n$），当且仅当存在自然数 $a$，使得 $n=m+a$。
+- **定义 2.2.10（自然数的序）**：设 $n$ 和 $m$ 是自然数，称 $n$ 大于等于 $m$（记作 $n\geqslant m$ 或 $m\leqslant n$），当且仅当存在自然数 $a$，使得 $n=m+a$。
   
-  称 $n$ 严格大于 $m$（记作 $n>m$ 或 $m<n$），当且仅当 $n\geq m$ 且 $n\neq m$。
+  称 $n$ 严格大于 $m$（记作 $n>m$ 或 $m<n$），当且仅当 $n\geqslant m$ 且 $n\neq m$。
 
 - **引理 2.2.11**：$n>m$ 当且仅当存在正数 $a$ 使得 $n=m+a$。**证明**：根据定义可推得。
 
 - **命题 2.2.12（自然数的序的基本性质）**：设 $a,b,c$ 为自然数，那么：
   
-  - **反对称性**：若 $a\geq b$ 且 $b\geq a$，则 $a=b$。
+  - **反对称性**：若 $a\geqslant b$ 且 $b\geqslant a$，则 $a=b$。
     
     证明：根据定义，存在自然数 $n,m$ 满足 $a=b+n$ 且 $b=a+m$，代入得 $m+n=0$，根据推论 2.2.8，$m=n=0$，那么 $a=b$。
   
-  - **传递性**：若 $a\geq b$ 且 $b\geq c$，则 $a\geq c$。
+  - **传递性**：若 $a\geqslant b$ 且 $b\geqslant c$，则 $a\geqslant c$。
     
-    证明：根据定义，存在自然数 $n,m$ 满足 $a=b+n$ 且 $b=c+m$，代入得 $a=c+(m+n)$，那么 $a\geq c$。
+    证明：根据定义，存在自然数 $n,m$ 满足 $a=b+n$ 且 $b=c+m$，代入得 $a=c+(m+n)$，那么 $a\geqslant c$。
   
   - **三歧性**：$a<b,\ a=b,\ b>a$ 中恰有一个是真的。
     
     证明：根据定义和反对称性，可以证明三个命题中不可能有多个为真，下面证明三个命题中至少一个为真。
     
-    对 $b$ 进行归纳。当 $b=0$ 时，对于任意自然数 $a$，$a=a+0$，则 $a\geq b$，故 $a=b$ 或 $a>b$。
+    对 $b$ 进行归纳。当 $b=0$ 时，对于任意自然数 $a$，$a=a+0$，则 $a\geqslant b$，故 $a=b$ 或 $a>b$。
     
-    假设对 $b$ 我们已经证明了命题，现在要对 $b++$ 证明命题。
+    假设对 $b$ 我们已经证明了命题，现在要对 $b^+$ 证明命题。
     
-    对于 $a\leq b$，由于 $b\leq (b++)$，故仍然有 $a\leq (b++)$；
+    对于 $a\leqslant b$，由于 $b\leqslant (b^+)$，故仍然有 $a\leqslant (b^+)$；
     
-    对于 $a>b$，说明存在正数 $k$ 满足 $a=b+k$，根据引理 2.2.9，存在一个自然数 $k'$ 满足 $a=b+(k'++)=(b++)+k'$，故 $a\geq (b++)$。
+    对于 $a>b$，说明存在正数 $k$ 满足 $a=b+k$，根据引理 2.2.9，存在一个自然数 $k'$ 满足 $a=b+(k'^+)=(b^+)+k'$，故 $a\geqslant (b^+)$。
 
-其实也是全序的基本性质。作为补充的是，三歧性等价于完全性（$a\geq b$ 或 $b\geq a$），完全性蕴含自反性（$a\geq a$）；以及自然数的序还满足加法保序。
+其实也是全序的基本性质。作为补充的是，三歧性等价于完全性（$a\geqslant b$ 或 $b\geqslant a$），完全性蕴含自反性（$a\geqslant a$）；以及自然数的序还满足加法保序。
 
 序的性质使得我们得到数学归纳原理的若干更强的形式：
 
-- **命题 2.2.13（向前数学归纳原理）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geq n_0$ 时，若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n++)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geq n_0$，$P(n)$ 都是真的。
+- **命题 2.2.13（向前数学归纳原理）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geqslant n_0$ 时，若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n^+)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geqslant n_0$，$P(n)$ 都是真的。
   
   **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $n<n_0$ 或 $P(n)$ 成立。利用序的三歧性，再用回初始的数学归纳原理 2.1.5 即可证明。
 
-- **命题 2.2.14（向后数学归纳原理）**：设 $n_0$ 是自然数，$P(m)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $m<n_0$ 时，若 $P(m++)$ 是真的，则 $P(m)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $m\leq n_0$，$P(m)$ 都是真的。
+- **命题 2.2.14（向后数学归纳原理）**：设 $n_0$ 是自然数，$P(m)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $m<n_0$ 时，若 $P(m^+)$ 是真的，则 $P(m)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $m\leqslant n_0$，$P(m)$ 都是真的。
   
-  **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $n>n_0$ 或 “假设 $P(n)$ 是真的，那么对于每个自然数 $m\leq n$，$P(m)$ 都是真的” 成立。类似地利用序的三歧性和原始的数学归纳原理证明即可。
+  **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $n>n_0$ 或 “假设 $P(n)$ 是真的，那么对于每个自然数 $m\leqslant n$，$P(m)$ 都是真的” 成立。类似地利用序的三歧性和原始的数学归纳原理证明即可。
 
-可见，利用序的性质，现在数学归纳法已经不局限于从 $0$ 开始推知整个自然数系了，它可以应用于更紧的要求内。
+由此可见，利用序的性质，现在数学归纳法已经不局限于从 $0$ 开始推知整个自然数系了，它可以应用于更紧的要求内。
 
 那么，当我们以后使用数学归纳原理的“能较为显然地用类似方法证明的”其他拓展形式时，将不再作证明。
 
-- **命题 2.2.15（强归纳法原理/第二数学归纳法）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geq n_0$ 时，若 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leq n'\leq n$ 都是真的，则 $P(n++)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geq n_0$，$P(n)$ 都是真的。
+- **命题 2.2.15（强归纳法原理/第二数学归纳法）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geqslant n_0$ 时，若 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leqslant n'\leqslant n$ 都是真的，则 $P(n^+)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geqslant n_0$，$P(n)$ 都是真的。
   
-  **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leq n'\leq n$ 都是真的。
+  **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leqslant n'\leqslant n$ 都是真的。
   
-  对 $n$ 归纳。当 $n=n_0$ 时，$Q(n)$ 是真的。当 $n\geq n_0$ 时，归纳地假设 $Q(n)$ 是真的，那么 $P(n++)$ 是真的，$Q(n++)$ 也是真的。根据数学归纳原理，对于任意 $n\geq n_0$，$Q(n)$ 都是真的。则原命题亦得证。
+  对 $n$ 归纳。当 $n=n_0$ 时，$Q(n)$ 是真的。当 $n\geqslant n_0$ 时，归纳地假设 $Q(n)$ 是真的，那么 $P(n^+)$ 是真的，$Q(n^+)$ 也是真的。根据数学归纳原理，对于任意 $n\geqslant n_0$，$Q(n)$ 都是真的。则原命题亦得证。
 
 补充一个性质：
 
-- **命题 2.2.16（加法保序）**：设 $a,b,c$ 为自然数，$a\geq b$ 当且仅当 $a+c\geq b+c$。**证明**：根据定义可知。
+- **命题 2.2.16（加法保序）**：设 $a,b,c$ 为自然数，$a\geqslant b$ 当且仅当 $a+c\geqslant b+c$。
 
-#### 2.3 乘法
+  **证明**：根据定义可知。
+
+## 2.3 乘法
 
 就像加法是重复的增长运算一样，乘法是重复的加法。
 
-- **定义 2.3.1（自然数的乘法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0\times m:=m$。现归纳地假定已定义好 $n\times m$，那么定义 $(n++)\times m:=(n\times m)+m$。
+- **定义 2.3.1（自然数的乘法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0\times m:=m$。现归纳地假定已定义好 $n\times m$，那么定义 $(n^+)\times m:=(n\times m)+m$。
 
 - **命题 2.3.2（乘法交换律）**：对于任何自然数 $n$ 和 $m$，$n\times m=m\times n$。
   
@@ -210,10 +214,12 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概
   归纳地假设 $f_m(n)=f_n(m)$，欲证：
   
   $$
-  \begin{aligned}f_m(n++)&=f_{n++}(m)\\\iff f_m(n)+m&=f_{n++}(m)\\\iff f_n(m)+m&=f_{n++}(m)\end{aligned}
+  \begin{aligned}&f_m(n^+)=f_{n^+}(m)\\\iff &f_m(n)+m=f_{n^+}(m)\\\iff &f_n(m)+m=f_{n^+}(m)\end{aligned}
   $$
   
-  同样再对 $m$ 进行归纳即可：$\begin{cases}f_n(0)+0=0=f_{n++}(0)\\f_n(m++)+(m++)=(f_n(m)+n)+(m++)=f_{n++}(m)+(n++)=f_{n++}(m++)\end{cases}$。
+  同样再对 $m$ 进行归纳即可：
+
+  $$\begin{cases}f_n(0)+0=0=f_{n^+}(0)\\f_n(m^+)+(m^+)=(f_n(m)+n)+(m^+)=f_{n^+}(m)+(n^+)=f_{n^+}(m^+)\end{cases}$$
 
 为了简便，我们现在将 $n\times m$ 简写为 $nm$，并按习惯规定先乘后加。
 
@@ -223,15 +229,15 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概
 
 - **命题 2.3.4（乘法分配律）**：对于任何自然数 $a,b,c$，有 $a(b+c)=ab+ac$。
   
-  **证明**：乘法的定义中 $(n++)\times m=n\times m+m$ 其实奠定了乘法分配律的基本情形。然后对 $a$ 归纳即可。
+  **证明**：乘法的定义中 $(n^+)\times m=n\times m+m$ 其实奠定了乘法分配律的基本情形。然后对 $a$ 归纳即可。
 
 - **命题 2.3.5（乘法结合律）**：对于任何自然数 $a,b,c$ 有 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$。
   
   **证明**：和加法类似，对 $a$ 归纳。过程中需要用到乘法分配律。
 
-- **命题 2.3.6（乘法保序）**：设 $a,b$ 为自然数。若 $c$ 为自然数且 $a\leq b$，则 $ac\leq bc$；若 $c$ 为正数且 $a<b$，则 $ac<bc$。
+- **命题 2.3.6（乘法保序）**：设 $a,b$ 为自然数。若 $c$ 为自然数且 $a\leqslant b$，则 $ac\leqslant bc$；若 $c$ 为正数且 $a<b$，则 $ac<bc$。
   
-  **证明**：若 $c$ 为自然数且 $a\leq b$，那么存在自然数 $d$ 使得 $a+d=b$，那么 $(a+d)c=bc$ 即 $ac+dc= bc$，由于 $dc$ 为自然数，故 $ac\leq bc$。另一者的证明类似。
+  **证明**：若 $c$ 为自然数且 $a\leqslant b$，那么存在自然数 $d$ 使得 $a+d=b$，那么 $(a+d)c=bc$ 即 $ac+dc= bc$，由于 $dc$ 为自然数，故 $ac\leqslant bc$。另一者的证明类似。
 
 - **推论 2.3.7（乘法消去律）**：设 $a,b$ 为自然数，$c$ 是正数。若满足 $ac=bc$，则 $a=b$。
   
@@ -241,44 +247,44 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概
 
 我们拓展一个后面将会用到的定理：
 
-- **命题 2.3.8（欧几里得算法）**：设 $n$ 是自然数且 $q$ 是正数，那么存在唯一的自然数 $m,r$，使得 $0\leq r<q$ 且 $n=mq+r$。
+- **命题 2.3.8（欧几里得算法）**：设 $n$ 是自然数且 $q$ 是正数，那么存在唯一的自然数 $m,r$，使得 $0\leqslant r<q$ 且 $n=mq+r$。
 
-  **证明**：用 $(m,r)$ 表示一组解。
+  **证明**：用 $(m,r)$ 表示一组解。（同一法）
 
-  存在性：
+  - 存在性：
 
-  设命题 $Q_n(q)$ 表示原命题，设命题 $P(n)$ 表示对于任意正数 $q$ 满足 $Q_n(q)$ 成立。证明思路是外层对 $n$ 归纳证明 $P(n)$ ，内层 $n$ 固定时对所有 $q$ 证明 $Q_n(q)$。
+    设命题 $Q_n(q)$ 表示原命题，设命题 $P(n)$ 表示对于任意正数 $q$ 满足 $Q_n(q)$ 成立。证明思路是外层对 $n$ 归纳证明 $P(n)$ ，内层 $n$ 固定时对所有 $q$ 证明 $Q_n(q)$。
 
-  设 $Q_n(q)$ 表示原命题，$P(n)$ 表示对于任意正数 $q$ 满足 $Q_n(q)$ 成立。证明思路是外层对 $n$ 归纳证明 $P(n)$，内层 $n$ 固定时对 $q$ 归纳证明 $Q_n(q)$。
+    设 $Q_n(q)$ 表示原命题，$P(n)$ 表示对于任意正数 $q$ 满足 $Q_n(q)$ 成立。证明思路是外层对 $n$ 归纳证明 $P(n)$，内层 $n$ 固定时对 $q$ 归纳证明 $Q_n(q)$。
 
-  对于 $n=0$，对于任意正数 $q$，$(0,0)$ 即为一组使命题 $Q_0(q)$ 成立的合法解，于是 $P(0)$ 成立。
+    对于 $n=0$，对于任意正数 $q$，$(0,0)$ 即为一组使命题 $Q_0(q)$ 成立的合法解，于是 $P(0)$ 成立。
 
-  设 $n$ 为正数，归纳地假设对于任意的 $0\leq n'< n$，$P(n')$ 成立。现在欲证明 $P(n)$ 成立，即对于任意正数 $q$ 证明 $Q_n(q)$ 成立。
+    设 $n$ 为正数，归纳地假设对于任意的 $0\leqslant n'< n$，$P(n')$ 成立。现在欲证明 $P(n)$ 成立，即对于任意正数 $q$ 证明 $Q_n(q)$ 成立。
 
-  - 对于 $q>n$，$(0,n)$ 即为一组合法解。
+    - 对于 $q>n$，$(0,n)$ 即为一组合法解。
 
-  - 对于 $0<q\leq n$，设 $Q'_n(q)$ 表示 $Q_n(q)$ 成立且对应解 $(m,r)$ 中的 $m>0$。考虑使用命题 2.2.14 证明：
+    - 对于 $0<q\leqslant n$，设 $Q'_n(q)$ 表示 $Q_n(q)$ 成立且对应解 $(m,r)$ 中的 $m>0$。考虑使用命题 2.2.14 证明：
 
-    当 $q=n$ 时，$(1,0)$ 即为一组合法解。
+      当 $q=n$ 时，$(1,0)$ 即为一组合法解。
 
-    当 $0<q<n$ 时，归纳地假设 $Q'_n(q++)$ 成立，那么存在一组 $(m,r)$（其中 $m>0$），使得 $n=(q++)m+r=qm+(m+r)$。
+      当 $0<q<n$ 时，归纳地假设 $Q'_n(q^+)$ 成立，那么存在一组 $(m,r)$（其中 $m>0$），使得 $n=(q^+)m+r=qm+(m+r)$。
 
-    该等式蕴含了 $n>m+r$，因为 $q>0,m>0$。那么根据归纳，$P(m+r)$ 成立，$Q_{m+r}(q)$ 成立，不妨设对应解为 $(m',r')$。
+      该等式蕴含了 $n>m+r$，因为 $q>0,m>0$。那么根据归纳，$P(m+r)$ 成立，$Q_{m+r}(q)$ 成立，不妨设对应解为 $(m',r')$。
 
-    那么 $n=qm+(m+r)=qm+(qm'+r')=q(m+m')+r'$，于是我们构造出了一组解 $(m+m',r')$，同时 $m+m'\geq m>0$。那么 $Q'_n(q)$ 成立。
+      那么 $n=qm+(m+r)=qm+(qm'+r')=q(m+m')+r'$，于是我们构造出了一组解 $(m+m',r')$，同时 $m+m'\geqslant m>0$。那么 $Q'_n(q)$ 成立。
 
-    于是对于任意 $0<q\leq n$，$Q'_n(q)$ 成立，那么 $Q_n(q)$ 也成立。
+      于是对于任意 $0<q\leqslant n$，$Q'_n(q)$ 成立，那么 $Q_n(q)$ 也成立。
 
-  于是 $P(n)$ 成立。于是根据命题 2.2.15，对于任意自然数 $n$，$P(n)$ 都成立。
+    于是 $P(n)$ 成立。于是根据命题 2.2.15，对于任意自然数 $n$，$P(n)$ 都成立。
 
-  唯一性：
+  - 唯一性：
 
-  反证。设对于 $n,q$ 找到了两组解 $(m,r),(m',r')$，那么 $n=mq+r=m'q+r'$，那么可知 $m\neq m'$（否则 $r=r'$），那么不妨设 $m<m'$，于是存在正数 $a$ 使得 $m'=m+a$。
+    反证。设对于 $n,q$ 找到了两组解 $(m,r),(m',r')$，那么 $n=mq+r=m'q+r'$，那么可知 $m\neq m'$（否则 $r=r'$），那么不妨设 $m<m'$，于是存在正数 $a$ 使得 $m'=m+a$。
 
-  那么 $n=m'q+r'=(m+a)q+r'=mq+(aq+r')$，结合 $n=mq+r$ 可知 $r=aq+r'\geq q$，矛盾，故不可能存在两组不同的解。
+    那么 $n=m'q+r'=(m+a)q+r'=mq+(aq+r')$，结合 $n=mq+r$ 可知 $r=aq+r'\geqslant q$，矛盾，故不可能存在两组不同的解。
 
 我们姑且先把指数运算也一起定义了：
 
-- **定义 2.3.9（自然数的指数运算）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $m^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $m^n$，那么定义 $m^{n++}:=m^n\times m$。
+- **定义 2.3.9（自然数的指数运算）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $m^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $m^n$，那么定义 $m^{n^+}:=m^n\times m$。
 
-我们暂时不更深入地建立指数运算的理论，等到第 4 章中我们定义了比例数后再探讨。
+我们暂时不更深入地建立指数运算的理论，等到我们定义了比例数（即有理数）后再探讨。

src/第3章 集合论.md

@@ -1,54 +1,63 @@
-### 第 3 章 集合论
 
-#### 3.1 基本事项
+我们现在介绍集合论中的一些概念和记号，他们通常广泛而频繁地被用到。几乎所有数学分支领域都将集合论作为其基础。因此在学习高级的数学领域之前，学习集合论中的一些基础概念是非常重要的。我们下面给出公理集合论中的部分（较为初等）的内容，可以证明，我们将要建立的集合公理体系是等价于ZF公理集合论的。
 
-首先，集合是一个不加定义的原始概念。
+## 3.1 基本事项
+
+首先，集合是一个不加定义的原始概念，这意味着我们不打算构造出集合这个概念，而是使用公理来规范化它。我们并不会知道什么是集合，我们只是列出集合可以进行的运算和性质。我们认为，一个集合始终是一个对象。
 
 然后我们定义一个对象 $o$ 和集合 $A$ 之间的二元关系 $\in$，且称 $o\in A$ 为 “$o$ 属于 $A$” 或 “$A$ 包含 $o$” 或 “$o$ 是 $A$ 的元素”。特别地，由于集合是对象，询问一个集合是否属于另一个集合是有意义的。
 
 注：根据定义，“集合内不能有重复的元素” 这种说法是荒谬的。而下文中，“$A$ 的每个元素都……” 的含义是 “对于任意的对象 $x$ 满足 $x$ 是 $A$ 的元素，$x$ 都满足……”。即，我想强调的是，“元素”描述的是一种关系，而不是一个对象。
 
-纯粹集合论认为一切对象都是集合（例如，可以把数 $0$ 看做 $\varnothing$，$1$ 看做 $\left\{\varnothing\right\}$，$2$ 看做 $\left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$，以此类推）。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易理解。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知论者的立场。
+纯粹集合论认为一切对象都是集合。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易（例如，纯粹集合论可以把 $0$ 看做 $\varnothing$，$1$ 看做 $\left\{\varnothing\right\}$，$2$ 看做 $\left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$，以此类推）。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知的态度。即我们既不添加公理确认这一点，也不添加公理否认这一点，而在现在的公理体系中，命题“一切对象都是集合”是未决的（不能证明也不能推翻）。
 
 我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些集合间的二元关系。
 
-- **定义 3.1.1（子集）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A\subseteq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的子集” 或 “$A$ 包含于 $B$” 或 “$B$ 包含 $A$"），当且仅当 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素。
+- **定义 3.1.1（子集）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A\subseteq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的子集” 或 “$A$ 包含于 $B$” 或 “$B$ 包含 $A$"），当且仅当 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素。形式化地说 $A\subseteq B\iff\forall_{x\in A}x\in B$。
   
-  定义 $A\subsetneq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的真子集” 或 “$A$ 真包含于 $B$” 或 “$B$ 真包含 $A$"），当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B\not\subseteq A$。
+  定义 $A\subsetneq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的真子集” 或 “$A$ 真包含于 $B$” 或 “$B$ 真包含 $A$"），当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B\nsubseteq A$。
 
 - **命题 3.1.2（集合的包含关系的基本性质）**：设 $A,B,C$ 为集合，那么：
   
-  - **自反性**：$A\subseteq A$。证明：根据定义可得。
+  - **自反性**：$A\subseteq A$。
+
+  **证明**：根据定义可得。
   
   - **传递性**：若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。
     
-    证明：根据定义，$A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，$B$ 的每个元素都是 $C$ 的元素，那么 $A$ 的每个元素都是 $C$ 的元素。
+    **证明**：根据定义，$A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，$B$ 的每个元素都是 $C$ 的元素，那么 $A$ 的每个元素都是 $C$ 的元素。
     
-    若 $A\subsetneq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subsetneq C$；若 $A\subseteq B$ 且 $B\subsetneq C$，则 $A\subsetneq C$。
+  - **混合传递性**：若 $A\subsetneq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subsetneq C$；若 $A\subseteq B$ 且 $B\subsetneq C$，则 $A\subsetneq C$。
     
-    证明：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\not\subseteq A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C\not\subseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。
+    **证明**：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\nsubseteq A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C\nsubseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。
+
+集合的真包含关系显然是一种**偏序关系**，因为我们知道对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，不可能同时成立 $A\subsetneq B$ 和 $B\subsetneq A$。但是真包含关系与我们定义在自然数上的小于关系 $<$ 的不同之处在于，后者是一种**全序关系**。在满足偏序性质的基础上，我们还知道对于两个不相等的数 $a$ 和 $b$，要么成立 $a>b$，要么成立 $b>a$。对于集合的真包含关系而言，这一条性质是不满足的。考虑集合 $A=\left\{1,2\right\}$ 和 $B=\left\{2,3\right\}$，它们既不相等，也没有哪一个是另一个的真子集。我们将在第8章更正式地讨论偏序集。
 
 - **定义 3.1.3（集合之相等）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A=B$（称为 $A,B$ 相等），当且即当 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。
 
 - **命题 3.1.4（集合的相等关系的基本性质）**：设 $A,B,C$ 为集合，那么：
   
-  - **自反性**：$A=A$。证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
-  
-  - **对称性**：若 $A=B$，则 $B=A$。证明：根据定义可知。
-  
-  - **传递性**：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq C$ 且 $C\subseteq A$。
+  - **自反性**：$A=A$。
 
-这里的定义顺序和书上是反着的，但我个人认为这个顺序更好些（除非会出现漏洞）。
+    **证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
+  
+  - **对称性**：若 $A=B$，则 $B=A$。
+
+    **证明**：根据定义可知。
+  
+  - **传递性**：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。
+
+    **证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq C$ 且 $C\subseteq A$。
 
 可以证明 “若 $A=B$，则 $x\in A\iff x\in B$”，即集合关于命题 “某个对象 $x$ 是否属于该集合 ” 遵从代入公理。
 
-- **引理 3.1.5**：若存在集合 $S$，满足 $x\in S\iff P(x)$，其中 $P(x)$ 是某个关于任意对象 $x$ 的命题，那么 $S$ 唯一。
+- **引理 3.1.5（集合构造的唯一性）**：若存在集合 $S$，满足 $x\in S\iff P(x)$，其中 $P(x)$ 是某个关于任意对象 $x$ 的命题，那么 $S$ 唯一。
   
   **证明**：若存在两个集合 $S,S'$ 都满足条件，那么 $x\in S\iff P(x)\iff x\in S'$，于是 $S=S'$。
 
 接下来运用公理构建集合时，我们都使用该引理来说明构建的集合的唯一性。
 
-类似自然数，我们将从空集开始，然后借助各种运算建造更多的集合。
+类似自然数，我们将从空集开始，然后借助几个运算公理化更多的集合。
 
 - **公理 3.1.6（空集）**：存在一个集合 $\varnothing$（空集），对于任意的 $x$，$x\not\in \varnothing$。
 
@@ -58,7 +67,7 @@
   
   $$
   x\in A\cup B\iff (x\in A \lor x\in B)
-  $$
+ $$
 
 容易证明并运算满足交换律和结合律。容易证明 $A\cup \varnothing=A$。
 
@@ -79,12 +88,15 @@
 现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 $y$ 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：
 
 - **公理 3.1.11（分类公理）**：设 $A$ 是一个集合，并对于每个 $x\in A$，设 $P(x)$ 是一个关于 $x$ 的命题。那么存在一个集合 $\{x\in A:P(x)\}$（或 $\{x\in A|P(x)\}$），它的元素恰恰是 $A$ 中使 $P(x)$ 成立的 $x$。即，对于任意对象 $y$，
+  
   $$
   y\in\{x\in A:P(x)\}\iff (y\in A\land P(y))
   $$
 
 分类可以看成关于集合 $A$ 和命题 $P$ 的运算。可以证明 “若 $A=B$，则 $\{x\in A:P(x)\}=\{x\in B:P(x)\}$”，即集合关于分类运算遵从代入公理。
 
+为了方便指明一个数集的连续一段，我们使用记号 $A_{l..r}$ 表示 $\{x\in A:l\leqslant x\leqslant r\}$，特别地，我们记 $A_{l..}:=\{x\in A:l\leqslant x\},A_{..r}:=\{x\in A:x\leqslant r\}$。
+
 利用分类运算和分类公理，我们可以定义集合的其他一些运算。
 
 - **定义 3.1.12（交）**：两个集合 $A$ 和 $B$ 的交 $A\cap B$ 定义为集合 $\{x\in A:x\in B\}$。根据分类公理，$A\cap B$ 存在。
@@ -93,68 +105,62 @@
 
 - **定义 3.1.13（差集）**：两个集合 $A$ 和 $B$ 的差 $A\setminus B$ 定义为集合 $\{x\in A:x\not\in B\}$。根据分类公理，$A\setminus B$ 存在。
 
-- **命题 3.1.14（集合构成一个 Boole 代数）**：设 $A,B,C,X$ 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。
+- **命题 3.1.14（集合构成一个布尔代数）**：
 
-  1. **最小元**：$A\cup\varnothing=A$ 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$。
+  设 $A,B,C,X$ 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。
 
-  2. **最大元**：$A\cup X=X$ 以及 $A\cap X=A$。
-  
-  3. **恒等式**：$A\cup A=A$ 以及 $A\cap A=A$。
-
-  4. **交换律**：$A\cup B=B\cup A$ 以及 $A\cap B=B\cap A$。
-  
-  5. **结合律**：$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 以及 $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$。
-  
-  6. **分配律**：$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 以及 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$。
-  
-  7. **分差法则**：$A\cup(X\setminus A)=X$ 以及 $A\cap(X\setminus A)=\varnothing$。
-  
+  1. **最小元**：$A\cup\varnothing=A$ 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$；
+  2. **最大元**：$A\cup X=X$ 以及 $A\cap X=A$；
+  3. **恒等式**：$A\cup A=A$ 以及 $A\cap A=A$；
+  4. **交换律**：$A\cup B=B\cup A$ 以及 $A\cap B=B\cap A$；
+  5. **结合律**：$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 以及 $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$；
+  6. **分配律**：$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 以及 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$；
+  7. **分差法则**：$A\cup(X\setminus A)=X$ 以及 $A\cap(X\setminus A)=\varnothing$；
   8. **摩根定律**：$X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B)$。
 
-  **证明**：把集合用命题的形式表示出来（即类似 “$x\in S\iff P(x)$”），再用逻辑语言验证。
+这些公理还不能满足我们的要求，比如我们不能定义一个集合，满足 $\{0\},\{1\},\cdots$ 都属于这个集合，这又需要一个新的公理：
 
-但我们还是不满足，比如我们不能定义一个集合，满足 $\{0\},\{1\},\cdots$ 都属于这个集合，这又需要一个新的公理：
-
-- **公理 3.1.15（替换公理）**：设 $A$ 是一个集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in A$ 和任意对象 $y$ 的命题，且满足对于每个 $x\in A$ 存在至多一个 $y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么存在一个集合 $\{y:\exist_{x\in A},P(x,y)\}$，使得对于任何对象 $z$
-  $$
-  z\in\{y:\exist_{x\in A},P(x,y)\}\iff \exist_{x\in A},P(x,z)
-  $$
+- **公理 3.1.15（替换公理）**：设 $A$ 是一个集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in A$ 和任意对象 $y$ 的命题，且满足对于每个 $x\in A$ 存在至多一个 $y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么存在一个集合 $\{y:\exists_{x\in A},P(x,y)\}$，使得对于任何对象 $z$
   
-  我们常把形如 $\{y:\exist_{x\in A},y=f(x)\}$ 的集合简写成 $\{f(x):x\in A\}$。
+  $$
+  z\in\{y:\exists_{x\in A},P(x,y)\}\iff \exists_{x\in A},P(x,z)
+ $$
+  
+  我们常把形如 $\{y:\exists_{x\in A},y=f(x)\}$ 的集合简写成 $\{f(x):x\in A\}$。
 
 注意到，替换公理蕴含分类公理，我们只需令 $P(x,y)\iff x=y\land Q(x)$ 即可构造出集合 $\{x\in A:Q(x)\}$。
 
-#### 3.2 万有分类公理（选读）
+## 3.2 万有分类公理
 
 从分类公理更进一步，我们考虑拓展出一个新的公理并将其加入集合论公理之中：
 
 - **公理 3.2.1（万有分类公理）**：设 $P(x)$ 是关于任意对象 $x$ 的命题，那么存在一个集合 $\{x:P(x)\}$，使得对于任何对象 $y$，
-
-$$
+  
+  $$
   y\in\{x:P(x)\}\iff P(y)
-$$
+  $$
 
 该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理不能被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：
 
-> Russell 悖论：
->
+> 罗素悖论：
+> 
 > 根据万有分类公理，有集合：
->
+> 
 > $$
 > \Omega:=\{x:\text{$x$是集合且$x\not\in x$}\}
 > $$
->
+> 
 > 即一切不以自己为元素的集合的集合。那么现在问 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，发现不管 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，都会引出矛盾。
 
-为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是原始对象（不是集合的对象），在下一层次中则是一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了正则公理。
+为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是原始对象（不是集合的对象），在下一层次中则存在一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了正则公理。
 
 - **公理 3.2.2 （正则公理）** ：对于一个非空的集合 $A$，$A$ 中至少存在一个元素 $x$ 满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$。
 
-- **命题 3.2.3（不存在以自身为元素的集合）**：设 $A$ 为一个集合，那么 $A\not\in A$。
+正则公理的一个重要推论是一个集合不能包含其本身，但是可以包含其他（更低层次的）集合。这使得我们排除了罗素悖论中定义的集合 $\Omega$。
 
-  **证明**：反证。假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left\{A\right\}$。根据正则公理，应有 $B\cap A=\varnothing$，但 $A\in B,A\in A$ 有 $A\in B\cap A$，矛盾。
-
-命题 3.2.3 排除了罗素悖论中定义的集合 $\Omega$。（注意我们并没有将万有分类公理引入集合论中，所以不存在公理矛盾）
+- **命题 3.2.3（集合不能包含其本身）**：设 $A$ 为一个集合，那么 $A\not\in A$。
+  
+  **证明**：（反证法）假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left\{A\right\}$。$B$ 是一个非空的集合，因此根据正则公理，应该存在 $x\in B$，满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$，但是集合 $B$ 作为单元素集，只有 $A\in B$，而 $A$ 是一个集合，且 $A\cap B=A$，故 $B$ 集合违反正则公理，矛盾，假设不成立。原命题得证。
 
 但正则公理跟我们刚刚的设想 “层次结构” 有什么关系呢？可以这么理解：若我们刚刚所述的 “层次结构” 存在，那么对于一个集合 $A$，设其所有元素中，所在层次最小的那个元素为 $x$，它所在的层次为 $k$，那么考虑 $x\cap A$ 中的元素，它们所在的层次一定小于 $x$ 所在的层次（即 $k$），那么 $x\cap A$ 一定为空（即正则公理成立），否则与 “$x$ 是 $A$ 中层次最小的元素” 矛盾。
 
@@ -166,7 +172,7 @@ $$
 
 事实上，命题 3.2.4 蕴含了正则公理，感性的证明就是我们上面的那一大段话，严谨的证明需要用到选择公理，我们暂且搁置。
 
-#### 3.3 函数
+## 3.3 函数
 
 - **定义 3.3.1（函数/映射/变换）**：设 $X,Y$ 是集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in X$ 和任意对象 $y\in Y$ 的命题，使得对于每个对象 $x\in X$ 存在恰好一个 $y\in Y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么我们定义由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数 $f:X\to Y$ 是这样的对象，它对于任意的输入 $x\in X$，将指定一个输出 $f(x)\in Y$，满足
   
@@ -178,7 +184,7 @@ $$
   
   定义函数 $f$ 的定义域为 $X$，对应域为 $Y$，值域为 $f(X):=\{f(x):x\in X\}$，那么值域为对应域的子集。
 
-有时我们在定义函数时，为了方便，在确定完其定义域 $X$ 后，直接指定从输入 $x$ 得到输出 $f(x)$ 的过程 procedure（即如何从 $x$ 得到 $f(x)$）来定义 $f$。其真正的过程如下：在确定完定义域 $X$ 之后，先定义 $P(x,y)$ 表示命题 “$y$ 是 $x$ 经过 procedure 过程得到的结果”，若未给出对应域，再令对应域为 $Y:=\{y:\exist_{x\in X},P(x,y)\}$（可以发现此时对应域和值域相等），然后再定义 $f$ 为由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数。
+有时我们在定义函数时，为了方便，在确定完其定义域 $X$ 后，直接指定从输入 $x$ 得到输出 $f(x)$ 的过程（_procedure_）（即如何从 $x$ 得到 $f(x)$）来定义 $f$。其真正的过程如下：在确定完定义域 $X$ 之后，先定义 $P(x,y)$ 表示命题 “$y$ 是 $x$ 经过 procedure 过程得到的结果”，若未给出对应域，再令对应域为 $Y:=\{y:\exists_{x\in X},P(x,y)\}$（可以发现此时对应域和值域相等），然后再定义 $f$ 为由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数。
 
 易证对象关于函数遵从代入公理：如果 $x=x'$，那么 $f(x)=f(x')$。当然前提是 $x$ 关于 $P(x,y)$ 遵从代入公理。
 
@@ -212,7 +218,7 @@ $$
   
   该定义也等价于，对于每个 $y\in Y$，恰有一个 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$（至多一个意味着单射，至少一个意味着满射），记为 $f^{-1}(y)$，那么 $f^{-1}$ 就是一个从 $Y$ 到 $X$ 的函数。此时称 $f^{-1}$ 为 $f$ 的逆。
 
-#### 3.4 象和逆象
+## 3.4 象和逆象
 
 - **定义 3.4.1（集合的象）**：设函数 $f:X\to Y$，设 $S$ 是 $X$ 的一个子集，定义 $S$ 在映射 $f$ 下的象为
   
@@ -232,7 +238,7 @@ $$
 
 此公理的一个结果是：
 
-- **引理 3.4.9**：设 $X$ 是一个集合，那么存在集合 $\{Y:Y\subseteq X\}$（也记作 $2^X$，称为 $X$ 的幂集），使得对于任意对象 $Z$
+- **引理 3.4.9（幂集存在性）**：设 $X$ 是一个集合，那么存在集合 $\{Y:Y\subseteq X\}$（也记作 $2^X$，称为 $X$ 的幂集），使得对于任意对象 $Z$
   
   $$
   Z\in\{Y:Y\subseteq X\}\iff Z\subseteq X
@@ -244,18 +250,18 @@ $$
   
   根据引理 3.1.5，容易证明，对于每个 $f\in Y^X$，都恰好存在唯一的 $S:=\{x\in X:f(x)=1\}$ 使得 $P(f,S)$ 为真。
   
-  根据替换公理，存在集合 $A:=\{S:\exist_{f\in Y^X},P(f,S)\}$。那么 $Z\in A\implies Z\subseteq X$。
+  根据替换公理，存在集合 $A:=\{S:\exists_{f\in Y^X},P(f,S)\}$。那么 $Z\in A\implies Z\subseteq X$。
   
-  为证 $Z\subseteq X\implies(Z\in A\iff \exist_{f\in Y^X},P(f,Z))$，我们构造函数 $f(x):=[x\in Z]$ 即可。
+  为证 $Z\subseteq X\implies(Z\in A\iff \exists_{f\in Y^X},P(f,Z))$，我们构造函数 $f(x):=[x\in Z]$ 即可。
   
   于是 $Z\in A\iff Z\subseteq X$，得证。
 
 为了完整起见，我们现在再往集合论中添加一条公理，它扩充了双并公理而允许做出更大的并集。
 
-- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集合，且它的每个元素都是一个集合。那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$
+- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集族（即它的每个元素都是一个集合），那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$
   
   $$
-  x\in \bigcup A\iff \exist_{S\in A},x\in S
+  x\in \bigcup A\iff \exists_{S\in A},x\in S
   $$
 
 该公理的一个重要的结果是：
@@ -267,7 +273,7 @@ $$
   定义集族 $\{A_{\alpha}:\alpha\in I\}$ 的并为集合 $\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}:=\bigcup\{A_{\alpha}:\alpha\in I\}$。那么对于任意对象 $y$
   
   $$
-  y\in\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}\iff \exist_{\alpha\in I},y\in A_{\alpha}
+  y\in\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}\iff \exists_{\alpha\in I},y\in A_{\alpha}
   $$
   
   注意到，当 $I$ 为空集时，集族的并也为空集。
@@ -284,9 +290,9 @@ $$
   
   注意，该定义不依赖于 $\beta$ 的选择。
 
-集合论的这些我们已经引入的公理统称为集合论的 Zermelo-Fraenkel 公理。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的 Zermelo-Fraenkel 选择公理。
+集合论的这些我们已经引入的公理统称为ZF公理集合论（_Zermelo-Fraenkel Set Theory_，策梅洛-弗兰克尔集合论）。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的ZFC公理集合论（_Zermelo-Fraenkel-Choise Set Theory_，策梅洛-弗兰克尔-选择集合论）。
 
-#### 3.5 笛卡尔积
+## 3.5 笛卡尔积
 
 - **定义 3.5.1（序偶/有序对）**：设 $x$ 和 $y$ 是两个对象（可以相等），定义序偶 $(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$，定义 $x$ 为它的第一个分量而 $y$ 为它的第二个分量。
   
@@ -295,56 +301,54 @@ $$
 - **定义 3.5.2（笛卡尔积）**：设 $X$ 和 $Y$ 是集合，定义它们的笛卡尔积为集合 $X\times Y$（或记作 $\{(x,y):x\in X,y\in Y\}$），使得对于任意的对象 $a$
   
   $$
-  a\in X\times Y\iff \exist_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)
+  a\in X\times Y\iff \exists_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)
   $$
   
   **证明**：首先，对于每个 $x\in X$，存在一个集合 $A_x:=\{(x,y):y\in Y\}$。
   
-  再构造集合 $B=\bigcup_{x\in X}A_x$。发现对于任意对象 $a$，$a\in B\iff \exist_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)$，得证。
+  再构造集合 $B=\bigcup_{x\in X}A_x$。发现对于任意对象 $a$，$a\in B\iff \exists_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)$，得证。
 
 设 $f:X\times Y\to Z$ 是一个函数。我们认为，$f$ 即是以 $X\times Y$ 为定义域的单变元函数，也是以 $X$ 和 $Y$ 同为定义域的两个变元的函数。
 
 现在我们扩展序偶的概念。
 
-- **定义 3.5.3（有序 $n$ 元组/$n$ 元序列）**：设 $n$ 是自然数，定义一个有序 $n$ 元组为一个函数 $x:\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq n\}\to X$，其中 $X$ 是任意的某个集合，满足 $x$ 是满射。我们把 $x(i)$ 写成 $x_i$，称为第 $i$ 个分量，并把 $x$ 写成 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$。
+- **定义 3.5.3（有序 $n$ 元组/$n$ 元序列）**：设 $n$ 是自然数，定义一个有序 $n$ 元组为一个函数 $x:\mathbb{N}_{1..n}\to X$，其中 $X$ 是任意的某个集合，满足 $x$ 是满射。我们把 $x(i)$ 写成 $x_i$，称为第 $i$ 个分量，并把 $x$ 写成 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$。
   
-  那么可以证明，两个有序 $n$ 元组 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ 和 $(y_i)_{1\leq i\leq n}$ 是相等的，当且仅当对于任意自然数 $1\leq i\leq n$，$x_i=y_i$。
+  那么可以证明，两个有序 $n$ 元组 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 和 $(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是相等的，当且仅当对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i=y_i$。
 
-- **定义 3.5.4（$n$ 重笛卡尔积）**：设 $(X_i)_{1\leq i\leq n}$ 是一个集合的有序 $n$ 元组，我们定义此组的诸分量的笛卡尔积为集合 $\prod_{1\leq i\leq n}X_i$（或记作 $\prod_{i=1}^n X_i$ 或 $X_1\times\cdots\times X_n$ 或 $\{(x_i)_{1\leq i\leq n}:\forall_{1\leq i\leq n},x_i\in X_i\}$），使得对于任意的对象 $a$
+- **定义 3.5.4（$n$ 重笛卡尔积）**：设 $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是一个集合的有序 $n$ 元组，我们定义此组的诸分量的笛卡尔积为集合 $\prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i$（或记作 $\prod_{i=1}^n X_i$ 或 $X_1\times\cdots\times X_n$ 或 $\{(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}:\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i\}$），使得对于任意的对象 $a$
   
   $$
-  a\in \prod_{1\leq i\leq n}X_i\iff \bigg(a=(x_i)_{1\leq i\leq n}\land (\forall_{1\leq i\leq n},x_i\in X_i)\bigg)
+  a\in \prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\iff \bigg(a=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\land (\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i)\bigg)
   $$
   
-  **证明**：考虑集合 $A:=\left(\bigcup_{1\leq i\leq n}X_i\right)^{\{i\in\mathbb N:1\leq i\leq n\}}$，$B:=\{x\in A:\forall_{1\leq i\leq n},x_i\in X_i\}$，容易发现集合 $B$ 即为所求。
+  **证明**：考虑集合 $A:=\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\right)^{\mathbb{N}_{1..n}}$，$B:=\{x\in A:\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i\}$，容易发现集合 $B$ 即为所求。
 
 设 $f:X_1\times X_2\times X_3\to Y$ 是一个函数。我们认为，$f$ 可以被看做是一个变元 $(x_1,x_2,x_3)\in X_1\times X_2\times X_3$ 的函数，或三个变元 $x_1\in X_1,x_2\in X_2,x_3\in X_3$ 的函数，或两个变元 $x_1\in X_1,(x_2,x_3)\in X_2\times X_3$ 的函数，诸如此类。我们将不在乎这些不同的看法，而假装它们实际上是相同的。
 
-- **引理 3.5.5（有限选择）**：设 $(X_i)_{1\leq i\leq n}$ 是一个非空集合的 $n$ 元序列，那么 $\prod_{1\leq i\leq n}X_i$ 也非空，即存在一个 $n$ 元序列 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ 使得对于任意自然数 $1\leq i\leq n$，$x_i\in X_i$。
+- **引理 3.5.5（有限选择）**：设 $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是一个非空集合的 $n$ 元序列，那么 $\prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i$ 也非空，即存在一个 $n$ 元序列 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 使得对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i\in X_i$。
   
-  **证明**：对 $n$ 归纳。每次选择一个 $a\in X_{n++}$ 并令 $x_{n++}=a$。
+  **证明**：对 $n$ 归纳。每次选择一个 $a\in X_{n^+}$ 并令 $x_{n^+}=a$。
 
-#### 3.6 集合的基数
+## 3.6 集合的基数
 
-为了方便，我们用 $\mathbb N_{l}^r$ 表示 $\{i\in\mathbb N:l\leq i\leq r\}$。
+- **定义 3.6.1（相同的基数）**：称两个集合 $X$ 和 $Y$ 具有相同基数当且仅当存在一个 $X$ 与 $Y$ 间的双射 $f:X\rightarrow Y$。
 
-- **定义 3.6.1（相同的基数）**：称两个集合 $X$ 和 $Y$ 具有相同基数当且仅当存在一个 $X$ 与 $Y$ 间的双射。
+容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。对于一个有限集，我们可以用一个自然数来表示其集合的大小，即其所含元素的个数。
 
-容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。
+- **定义 3.6.2（基数）**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素，记作 $\operatorname{card}X$），当且仅当它与集合 $\mathbb{N}_{1..n}$ 具有相同的基数。
 
-- **定义 3.6.2**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素），当且仅当它与集合 $\mathbb N_1^n$ 具有相同的基数。
+- **引理 3.6.3（基数的非退化性）**：$X=\varnothing\iff\operatorname{card}X=0$，即一个集合 $X$ 具有基数 $0$ 当且仅当 $X$ 为空集，且若 $X$ 为空集，则 $X$ 仅具有基数 $0$。
 
-- **引理 3.6.3**：一个集合 $X$ 具有基数 $0$ 当且仅当 $X$ 为空集。且若 $X$ 为空集，则 $X$ 仅具有基数 $0$。
+  **证明**：证明不存在空集与非空集间的双射即可。
 
-  **证明**：容易证明不存在空集与非空集间的双射。
+- **引理 3.6.4（基数的可减性）**：设集合 $X$ 具有基数 $n^+$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。
 
-- **引理 3.6.4**：设集合 $X$ 具有基数 $n++$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。
+  **证明**：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\mathbb{N}_{1..n^+}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus\{x\}$ 到 $\mathbb{N}_{1..n}$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：
 
-  **证明**：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\mathbb N_{1}^{n++}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus\{x\}$ 到 $\mathbb N_1^n$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：
+  - 若 $f(x)=n^+$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，定义 $g(y):=f(y)$。
 
-  - 若 $f(x)=n++$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，定义 $g(y):=f(y)$。
-
-  - 若 $f(x)\neq n++$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，若 $f(y)\neq n++$，则定义 $g(y):=f(y)$；若 $f(y)=n++$，则定义 $g(y):=f(x)$。
+  - 若 $f(x)\neq n^+$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，若 $f(y)\neq n^+$，则定义 $g(y):=f(y)$；若 $f(y)=n^+$，则定义 $g(y):=f(x)$。
 
   可以证明，按上述定义的函数 $g$ 存在且唯一，且 $g$ 是双射。
 
@@ -352,80 +356,80 @@ $$
 
   **证明**：对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，根据引理 3.6.3 可知命题成立。
 
-  归纳地假设命题对 $n$ 成立。设集合 $X$ 具有基数 $n++$（则 $X$ 非空），反证地设其又具有基数 $m++\neq n++$，$X$ 非空意味着存在 $x\in X$，那么对于集合 $X\setminus\{x\}$，它既具有基数 $n$，有具有基数 $m\neq n$，矛盾，故命题对 $n++$ 成立。故命题对任意自然数 $n$ 成立，得证。
+  归纳地假设命题对 $n$ 成立。设集合 $X$ 具有基数 $n^+$（则 $X$ 非空），反证地设其又具有基数 $m^+\neq n^+$，$X$ 非空意味着存在 $x\in X$，那么对于集合 $X\setminus\{x\}$，它既具有基数 $n$，有具有基数 $m\neq n$，矛盾，故命题对 $n^+$ 成立。故命题对任意自然数 $n$ 成立，得证。
 
 - **定义 3.6.6（有限集）**：称一个集合是有限的，当且仅当它具有基数 $n$（那么 $n$ 唯一）；否则称该集合为无限的。
 
-  注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 $X$ 的基数为 $\#(X)=n$。
+注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 $X$ 的基数为 $\operatorname{card}X=n$。
 
 - **定理 3.6.7**：$\mathbb N$ 是无限集。
 
-  **证明**：反证法。若 $\mathbb N$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\mathbb N_1^n$ 到 $\mathbb N$ 的双射 $f$。
+  **证明**：反证法。若 $\mathbb N$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\mathbb{N}_{1..n}$ 到 $\mathbb N$ 的双射 $f$。
 
-  通过对 $n$ 归纳，可以证明序列 $f(1),\cdots,f(n)$ 是有界的：存在一个自然数 $M$，使得 $\forall_{1\leq i\leq n},f(i)\leq M$。
+  通过对 $n$ 归纳，可以证明序列 $f(1),\cdots,f(n)$ 是有界的：存在一个自然数 $M$，使得 $\forall_{1\leqslant i\leqslant n},f(i)\leqslant M$。
 
   那么自然数 $M+1$ 就不等于任何 $f(i)$，这与 $f$ 是双射矛盾。
 
 应用到集合论公理和定义上，我们给出关于有限集的基数的一些基本性质：
 
-- **命题 3.6.8（基数算术）**：我们给出如下性质，及简略的证明：
+- **命题 3.6.8（基数算术）**：基数满足如下性质：
 
-  1. 设 $X$ 是有限集，并设 $x$ 是一个不属于 $X$ 的对象。那么 $X\cup\{x\}$ 为有限集且 $\#(X\cup\{x\})=\#(X)+1$。
+  1. 设 $X$ 是有限集，并设 $x$ 是一个不属于 $X$ 的对象。那么 $X\cup\{x\}$ 为有限集且 $\operatorname{card}X\cup\{x\}=\operatorname{card}X+1$。
 
-     证明：在原来映射的基础上，再将 $x$ 映射到 $\#(X)+1$ 即可。
+     **证明**：在原来映射的基础上，再将 $x$ 映射到 $\operatorname{card}(X)+1$ 即可。
 
-  2. 设 $X$ 是有限集，并设 $Y$ 是 $X$ 的子集。那么 $Y$ 是有限集且 $\#(Y)\leq \#(X)$，当且仅当 $X=Y$ 时取等号。
+  2. 设 $X$ 是有限集，并设 $Y$ 是 $X$ 的子集。那么 $Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}Y\leqslant \operatorname{card}X$，当且仅当 $X=Y$ 时取等号。
 
-     证明：设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n$，上述命题成立。我们只需证明对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立即可。对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，$X$ 为空集，命题显然成立。
+     **证明**：设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n$，上述命题成立。我们只需证明对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立即可。对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，$X$ 为空集，命题显然成立。
 
-     归纳地假设 $P(n)$ 成立。对于任意有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n++$ 及任意 $Y\subseteq X$，
+     归纳地假设 $P(n)$ 成立。对于任意有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n^+$ 及任意 $Y\subseteq X$，
 
-     - 若 $Y=X$，则 $Y$ 是有限集且 $\#(Y)=\#(X)$。
+     1. 若 $Y=X$，则 $Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}Y=\operatorname{card}X$。
 
-     - 若 $Y\neq X$ 即 $X\not\subseteq Y$，则存在 $x\in X$ 满足 $x\not\in Y$，考虑集合 $X\setminus\{x\}$，根据引理 3.6.4，该集合是有限集且其基数为 $n$。容易证明 $Y\subseteq X\setminus\{x\}$，那么根据归纳，$Y$ 是有限集且 $\#(Y)\leq \#(X\setminus\{x\})<\#(X)$。
+     1. 若 $Y\neq X$ 即 $X\not\subseteq Y$，则存在 $x\in X$ 满足 $x\not\in Y$，考虑集合 $X\setminus\{x\}$，根据引理 3.6.4，该集合是有限集且其基数为 $n$。容易证明 $Y\subseteq X\setminus\{x\}$，那么根据归纳，$Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}Y\leqslant \operatorname{card}(X\setminus\{x\})<\operatorname{card}X$。
 
-     于是 $P(n++)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。
+     于是 $P(n^+)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。
 
-  3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\#(X\cup Y)\leq \#(X)+\#(Y)$，当且仅当 $X,Y$ 不交时取等。
+  3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant \operatorname{card}X+\operatorname{card}Y$，当且仅当 $X,Y$ 不交时等号成立。
 
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb{N}_{1..n}$ 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。
 
-     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \mathbb N_1^{n+m}$。
+     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \mathbb{N}_{1..n+m}$。
 
-     根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\#(Z)\leq n+m$，当且仅当 $Z=\mathbb N_1^{n+m}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\#(X\cup Y)\leq n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\mathbb N_1^{n+m}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时取等。
+     根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\operatorname{card}Z\leqslant n+m$，当且仅当 $Z=\mathbb{N}_{1..n+m}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\mathbb{N}_{1..n+m}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时等号成立。
 
-  4. 设 $X$ 是有限集，且 $f:X\to Y$ 是一个函数，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\#(f(X))\leq \#(X)$，当且仅当 $f$ 为单射时取等。
+  4. 设 $X$ 是有限集，且 $f:X\to Y$ 是一个函数，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\operatorname{card}f(X)\leqslant \operatorname{card}X$，当且仅当 $f$ 为单射时取等。
 
-     证明：仍用与 3.6.8.2 类似的证明方法。设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n$，上述命题成立。当 $n=0$ 时，$X,f(X)$ 为空集，命题显然成立。
+     **证明**：仍用与 3.6.8.2 类似的证明方法。设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n$，上述命题成立。当 $n=0$ 时，$X,f(X)$ 为空集，命题显然成立。
 
-     归纳地假设 $P(n)$ 成立。欲对于有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n++$ 和函数 $f:X\to Y$ 证明命题。
+     归纳地假设 $P(n)$ 成立。欲对于有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n^+$ 和函数 $f:X\to Y$ 证明命题。
 
-     一定存在一个元素 $x\in X$，设 $X'=X\setminus \{x\}$。设函数 $f':X'\to Y$，使得 $\forall_{x\in X'},f'(x):=f(x)$。根据归纳，$f'(X')$ 为有限集且 $\#(f'(X'))\leq \#(X')=n$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等。
+     一定存在一个元素 $x\in X$，设 $X'=X\setminus \{x\}$。设函数 $f':X'\to Y$，使得 $\forall_{x\in X'},f'(x):=f(x)$。根据归纳，$f'(X')$ 为有限集且 $\operatorname{card}f'(X')\leqslant \operatorname{card}(X')=n$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等。
 
-     - 若 $f(x)\in f'(X')$，则 $f'(X')=f(X)$，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\#(f(X))<n++$。
+     - 若 $f(x)\in f'(X')$，则 $f'(X')=f(X)$，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\operatorname{card}f(X)<n^+$。
 
-     - 若 $f(x)\not\in f'(X')$，则 $f(X)=f'(X')\cup \{f(x)\}$ 为有限集，且 $\#(f(X))=\#(f'(X'))+\#(\{f(x)\})\leq n+1$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等，结合 $f(x)\not\in f'(X')$，可知等价于 $f(X)$ 为单射。
+     - 若 $f(x)\not\in f'(X')$，则 $f(X)=f'(X')\cup \{f(x)\}$ 为有限集，且 $\operatorname{card}f(X)=\operatorname{card}f'(X')+\operatorname{card}\{f(x)\}\leqslant n+1$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等，结合 $f(x)\not\in f'(X')$，可知等价于 $f(X)$ 为单射。
 
-     于是 $P(n++)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。
+     于是 $P(n^+)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。
 
-  5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\#(X\times Y)=\#(X)\times \#(Y)$。
+  5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(X\times Y)=\operatorname{card}X\times \operatorname{card}Y$。
 
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb{N}_{1..n}$ 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。
 
-     构造映射 $h:X\times Y\to \mathbb N_1^{nm}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。
+     构造映射 $h:X\times Y\to \mathbb{N}_{1..nm}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。
 
      容易证明 $h$ 是个双射，证毕。
 
-  6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\#(Y^X)=(\#(Y))^{\#(X)}$。
+  6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(Y^X)=(\operatorname{card}Y)^{\operatorname{card}X}$。
 
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb{N}_{1..n}$ 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。
 
-     构造映射 $h:Y^X\to \mathbb N_1^{(m^n)}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^ng(p(f^{-1}(i)))\cdot Y^{i-1}$。
+     构造映射 $h:Y^X\to \mathbb{N}_{1..m^n}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^n(g\circ p\circ f^{-1})(i)\cdot Y^{i-1}$。
 
-     此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum_{i=1}^na(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\mathbb N_1^n\to \mathbb N$。
+     此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum_{i=1}^na(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\mathbb{N}_{1..n}\to \mathbb N$。
 
      容易证明 $h$ 是个双射，证毕。
 
 经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。
 
-至此，我们结束了对于有限集的讨论。
+至此，我们对于集合的讨论告一段落。

src/第4章 整数和比例数.md

@@ -1,16 +1,16 @@
-### 第 4 章 整数和比例数
+在之前对自然数的讨论中，我们已经得到了自然数系中的许多基本运算性质，但是这些性质只局限于加法和乘法运算。本章我们将引入这两个运算的逆运算，即减法和除法，并借此构建整数系 $\mathbb Z$ 和有理数系 $\mathbb Q$。
 
-#### 4.1 整数
+## 4.1 整数
 
-- **定义 4.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\overline\quad b$（注意中间不是减号，这只是一个形象的记号）。
+- **定义 4.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\ominus b$（注意中间不是减号，这只是一个形式记号）。
 
-  定义两个整数 $a\overline\quad b$ 和 $c\overline\quad d$ 相等，当且仅当 $a+d=b+c$。
+  定义两个整数 $a\ominus b$ 和 $c\ominus d$ 相等，当且仅当 $a+d=b+c$。
   
   全体整数的集合记作 $\mathbb Z$。
 
-事实上，整数的定义并不需要公理，我们可以用集合论的语言来构造整数：我们先对自然数的序偶建立一个等价关系 $\sim$，使得 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$，然后令整数 $a \overline\quad  b:=\{(c,d)\in\mathbb N\times \mathbb N:(a,b)\sim(c,d)\}$，表示一个关于 $\sim$ 的等价类。那么此时两个整数相等即为二者是同一个等价类。然后我们再利用替换公理构造出集合 $\mathbb Z:=\{a\overline\quad b:(a,b)\in \mathbb N\times \mathbb N\}$。但这种解释之后对于我们如何处理整数毫无用处，所以我们将不再提及此事。
+整数的定义并不需要公理，因为我们可以用集合论的语言来构造整数：我们先对自然数的序偶建立一个等价关系 $\sim$，使得 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$，然后令整数 $a \ominus  b:=\{(c,d)\in\mathbb N\times \mathbb N:(a,b)\sim(c,d)\}$，表示一个关于 $\sim$ 的等价类。那么此时两个整数相等即为二者是同一个等价类。然后我们再利用替换公理构造出集合 $\mathbb Z:=\{a\ominus b:(a,b)\in \mathbb N\times \mathbb N\}$。形象的说，所谓整数，就是可以写成两个自然数的形式差的数。
 
-可以证明，整数相等满足自反性、对称性和传递性。
+容易发现，整数相等满足自反性、对称性和传递性。
 
 - **定义 4.1.2（整数的加法和乘法）**：定义两个整数的和为 $(a\overline\quad b)+(c\overline\quad d):=(a+c)\overline\quad (b+d)$。
 
@@ -18,21 +18,21 @@
 
 可以证明，整数关于加法和乘法遵从代入公理。
 
-容易发现，整数 $n\overline\quad0$ 的代数系统与自然数 $n$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $n$ 和 $n\overline\quad 0$ 等同起来：$n\equiv n\overline\quad 0$（即把 $n$ 和 $n\overline\quad0$ 看成同一物）。此恒等关系保证了自然数的运算和整数的运算是相容的，于是，我们把自然数嵌入到了整数系当中。
+容易发现，整数 $n\ominus0$ 的代数系统与自然数 $n$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $n$ 和 $n\ominus 0$ 等同起来：$n\equiv n\ominus 0$（即把 $n$ 和 $n\ominus0$ 看成同一物）。此恒等关系保证了自然数的运算和整数的运算是相容的，于是，我们把自然数嵌入到了整数系当中。
 
-- **定义 4.1.3（整数的负运算）**：定义整数 $a\overline\quad b$ 的负数为整数 $b\overline\quad a$，记作 $-(a\overline\quad b)$。那么自然数 $n$ 的负数为 $-n:=0\overline\quad n$。
+- **定义 4.1.3（整数的负运算）**：定义整数 $a\ominus b$ 的负数为整数 $b\ominus a$，记作 $-(a\ominus b)$。那么自然数 $n$ 的负数为 $-n:=0\ominus n$。
 
   容易证明，整数关于负运算遵从代入公理。
 
 - **引理 4.1.4（整数的三歧性）**：设 $x$ 是一个整数，那么下述三个命题恰有一个成立：
 
-  - $x$ 等于 $0\overline\quad 0$，即自然数 $0$。
-  - $x$ 等于 $n\overline\quad0$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数 $n$。
-  - $x$ 等于 $0\overline\quad n$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数的负数 $-n$。
+  - $x$ 等于 $0\ominus 0$，即自然数 $0$；
+  - $x$ 等于 $n\ominus 0$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数 $n$；
+  - $x$ 等于 $0\ominus n$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数的负数 $-n$。
 
-  证明：先证上述三个命题中至少有一个成立：根据定义，存在两个自然数 $a,b$ 使得 $x=a\overline\quad b$。若 $a=b$，那么 $a\overline\quad b=0\overline\quad 0$；若 $a>b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $a=b+n$，那么 $a\overline\quad b=n\overline\quad 0$；若 $a<b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $b=a+n$，那么 $a\overline\quad b=0\overline\quad n$。
+  **证明**：先证上述三个命题中至少有一个成立：根据定义，存在两个自然数 $a,b$ 使得 $x=a\ominus b$。若 $a=b$，那么 $a\ominus b=0\ominus 0$；若 $a>b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $a=b+n$，那么 $a\ominus b=n\ominus 0$；若 $a<b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $b=a+n$，那么 $a\ominus b=0\ominus n$。
 
-  再证上述三个命题中不可能有两个同时成立：利用等于的传递性，即证 $0 \overline\quad 0$、$n\overline\quad 0$ 和 $0\overline\quad m$（其中 $n,m$ 为任意正自然数）两两不等，反证易证。
+  再证上述三个命题中不可能有两个同时成立：利用等于的传递性，即证 $0 \ominus 0$、$n\ominus 0$ 和 $0\ominus m$（其中 $n,m$ 为任意正自然数）两两不等，反证易证。
 
 对于正自然数 $n$，我们称 $-n$ 为负整数。于是每个整数恰好是零、正的、负的中的一种。
 
@@ -42,23 +42,20 @@
 
 我们现在总结一下整数的代数性质。
 
-- **命题 4.1.6（整数的代数算律）**：设 $x,y,z$ 是整数，那么
-  $$
-  \begin{aligned}
-  x+y&=y+x\\
-  (x+y)+z&=x+(y+z)\\
-  x+0&=x\\
-  x+(-x)&=0\\
-  xy&=yx\\
-  (xy)z&=x(yz)\\
-  x1&=x\\
-  x(y+z)&=xy+xz
-  \end{aligned}
-  $$
-  
-  **证明**：把整数都表示成 $a\overline\quad b$ 的形式，注意 $a$ 和 $b$ 此时是自然数，那么再运用自然数的性质即可。
+- **命题 4.1.6（整数构成交换环）**：设 $x,y,z$ 是整数，那么
 
-上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个交换环（如果去掉恒等式 $xy=yx$（当然需要补上 $1x=x$ 及右分配律），那么它们仅确定 $\mathbb Z$ 构成一个环）。
+  1. **加法交换律**：$x+y=y+x$；
+  2. **加法结合律**：$(x+y)+z=x+(y+z)$；
+  3. **加法单位元**：$x+0=x$；
+  4. **加法逆元**：$x+(-x)=0$；
+  5. **乘法交换律**：$xy=yx$；
+  6. **乘法结合律**：$(xy)z=x(yz)$；
+  7. **乘法单位元**：$x1=x$；
+  8. **分配律**：$x(y+z)=xy+xz$。
+
+  **证明**：把整数都表示成 $a\ominus b$ 的形式，注意 $a$ 和 $b$ 此时是自然数，那么再运用自然数的性质即可。
+
+满足上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个交换环（如果去掉恒等式 $xy=yx$ 并补上 $1x=x$ 及右分配律，那么仅能够确定 $\mathbb Z$ 构成一个环。如果你对相关知识感兴趣，可以参考一本抽象代数书籍）。
 
 至此，我们成功定义了整数并得到了一些关于整数的基本性质。
 
@@ -68,17 +65,17 @@
 
 - **定义 4.1.7（减法）**：定义两个整数 $x$ 和 $y$ 的减法操作：$x-y:=x+(-y)$。 
 
-那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是自然数，那么 $x-y=x\overline\quad y$，于是我们现在用减法符号代替 $\overline\quad$ 了。
+那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是自然数，那么 $x-y=x\ominus y$，于是我们现在用减法符号代替 $\ominus$ 了。
 
 既然减法是通过加法和负运算定义的，那么整数关于减法自然就遵从代入公理，它的一个直接推论是对于整数 $a,b,c$，$a=b\iff a-c=b-c$。
 
 除了命题 4.1.5 所述的之外，我们现在再将一些自然数的定义和性质推广到整数上：
 
-- **命题 4.1.8**：设 $a$ 和 $b$ 是整数，那么 $ab=0\iff (a=0\lor b=0)$。
+- **命题 4.1.8（乘法的非退化性）**：设 $a$ 和 $b$ 是整数，那么 $ab=0\iff (a=0\lor b=0)$。
 
   **证明**：只证 $ab=0\implies (a=0\lor b=0)$。首先有引理 $-n=(-1)\times n$。然后反证，分 $a,b$ 的正负性讨论，然后用回当 $a$ 和 $b$ 是正自然数时 $ab\neq 0$。
 
-- **推论 4.1.9**：设 $a,b,c$ 是整数，若满足 $ac=bc$ 且 $c\neq 0$，则 $a=b$。
+- **推论 4.1.9（乘法消去律）**：设 $a,b,c$ 是整数，若满足 $ac=bc$ 且 $c\neq 0$，则 $a=b$。
 
   **证明**：设 $a=b+d$，得到 $d=0$。
 
@@ -86,209 +83,198 @@
 
 - **定义 4.1.10（整数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是整数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正整数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负整数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x= y$。
 
-- **命题 4.1.11（比例数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数。
+- **命题 4.1.11（整数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数，那么
 
-  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$。
-  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$。
-  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的。
-  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$。
-  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$。
+  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$；
+  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$；
+  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的；
+  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$；
+  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$；
   - **负乘法反序**：$(x<y\land z<0)\implies xz>yz$。
 
-  证明：略。
+## 4.2 有理数
 
-为了方便，在本书之后，我们用 $\mathbb Z_l^r$ 表示 $\{i\in \mathbb Z:l\leq i\leq r\}$，用 $\mathbb Z_l^{{}\infty}$ 表示 $\{i\in \mathbb Z:l\leq i\}$，用 $\mathbb Z_{-\infty}^r$ 表示 $\{i\in \mathbb Z:i\leq r\}$。
+有理数的定义方式和整数的定义方式十分相似（形象的说，有理数是整数的形式商），所以一些类似的证明我们将会直接略去。
 
-#### 4.2 比例数
+- **定义 4.2.1（有理数）**：对于任意整数 $a$ 和 $b\neq 0$，都存在一个有理数 $a\oslash  b$。
 
-比例数的定义方式和整数的定义方式十分相似，所以一些类似的证明我们将会直接略去。
+  定义两个有理数 $a\oslash b$ 和 $c\oslash d$ 是相等的，当且仅当 $ad=bc$。可以证明该定义满足自反性、对称性和传递性。
 
-- **定义 4.2.1（比例数）**：对于任意整数 $a$ 和 $b\neq 0$，都存在一个比例数 $a// b$。
+  全体有理数的集合记作 $\mathbb Q$。
 
-  定义两个比例数 $a//b$ 和 $c//d$ 是相等的，当且仅当 $ad=bc$。可以证明该定义满足自反性、对称性和传递性。
+- **定义 4.2.2（有理数的运算）**：定义两个有理数的和为 $(a\oslash b)+(c\oslash d):=(ad+bc)\oslash (bd)$。
 
-  全体比例数的集合记作 $\mathbb Q$。
+  定义两个有理数的积为 $(a\oslash b)\times (c\oslash d):=(ac)\oslash (bd)$。
 
-- **定义 4.2.2（比例数的运算）**：定义两个比例数的和为 $(a//b)+(c//d):=(ad+bc)//(bd)$。
-
-  定义两个比例数的积为 $(a//b)\times (c//d):=(ac)//(bd)$。
-
-  定义一个比例数的负运算为 $-(a//b):=(-a)//b$。
+  定义一个有理数的负运算为 $-(a\oslash b):=(-a)\oslash b$。
   
   可以证明，上述运算定义合法，且有理数关于上述运算遵从代入公理。
 
-容易发现，比例数 $a//1$ 的代数系统与整数 $a$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $a$ 和 $a//1$ 等同起来：$a\equiv a//1$。此恒等关系保证了整数的运算和比例数的运算是相容的，于是，我们把整数嵌入到了比例数系当中。
+容易发现，有理数 $a\oslash 1$ 的代数系统与整数 $a$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $a$ 和 $a\oslash 1$ 等同起来：$a\equiv a\oslash 1$。此恒等关系保证了整数的运算和有理数的运算是相容的，于是，我们把整数嵌入到了有理数系当中。
 
-- **引理 4.2.3**：一个比例数 $a//b$ 等于 $0$ 当且仅当 $a=0$。
+- **引理 4.2.3（除法的非退化性）**：一个有理数 $a\oslash b$ 等于 $0$ 当且仅当 $a=0$。
 
   **证明**：根据定义可得。
 
-- **定义 4.2.4（比例数的倒数运算）**：定义非零比例数 $x=a//b$ 的倒数为比例数 $b//a$，记作 $x^{-1}$。
+- **定义 4.2.4（有理数的倒数运算）**：定义非零有理数 $x=a\oslash b$ 的倒数为有理数 $b\oslash a$，记作 $x^{-1}$。
 
-  容易证明，比例数关于倒数运算遵从代入公理。
+  容易证明，有理数关于倒数运算遵从代入公理。
 
-我们现在总结一下比例数的代数性质。
+我们现在总结一下有理数的代数性质。
 
-- **命题 4.2.5（比例数的代数算律）**：设 $x,y,z$ 是有理数，那么
-  $$
-  \begin{aligned}
-  x+y&=y+x\\
-  (x+y)+z&=x+(y+z)\\
-  x+0&=x\\
-  x+(-x)&=0\\
-  xy&=yx\\
-  (xy)z&=x(yz)\\
-  x1&=x\\
-  x(y+z)&=xy+xz
-  \end{aligned}
-  $$
+- **命题 4.2.5（有理数的代数算律）**：设 $x,y,z$ 是有理数，那么
+
+  1. **加法交换律**：$x+y=y+x$；
+  2. **加法结合律**：$(x+y)+z=x+(y+z)$；
+  3. **加法单位元**：$x+0=x$；
+  4. **加法逆元**：$x+(-x)=0$；
+  5. **乘法交换律**：$xy=yx$；
+  6. **乘法结合律**：$(xy)z=x(yz)$；
+  7. **乘法单位元**：$x1=x$；
+  8. **分配律**：$x(y+z)=xy+xz$；
+  9. **乘法逆元**：如果 $x$ 非零，我们有  $xx^{-1}=1$。
   
-  如果 $x$ 非零，我们还有
-  
-  $$
-  x x^{-1}=1
-  $$
-  
-  **证明**：把比例数都表示成 $a//b$ 的形式，再运用整数的性质代入验证即可。
+  **证明**：把有理数都表示成 $a\oslash b$ 的形式，再运用整数的性质代入验证即可。
 
-上述恒等式的集合有一个名称，它们确定比例数集 $\mathbb Q$ 构成一个域。
+上述恒等式的集合有一个名称，它们确定有理数集 $\mathbb Q$ 构成一个域（同样为抽象代数名词）。
 
 现在让我们来定义除法：
 
-- **定义 4.2.6（除法）**：定义两个比例数 $x$ 和 $y\neq 0$ 的减法操作：$x/y:=x\times y^{-1}$。 $x/y$ 也记作 $\frac{x}{y}$。
+- **定义 4.2.6（除法）**：定义两个有理数 $x$ 和 $y\neq 0$ 的减法操作：$x/y:=x\times y^{-1}$。 $x/y$ 也记作 $\frac{x}{y}$。
 
-那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是整数，那么 $x/y=x//y$，于是我们现在用 $x/y$ 代替 $x//y$ 了。
+那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是整数，那么 $x/y=x\oslash y$，于是我们现在用 $x/y$ 代替 $x\oslash y$ 了。
 
-比例数关于除法遵从代入公理，它的一个直接推论是对于比例数 $a,b,c$，其中 $c$ 非零，$a=b\iff a/c=b/c$。
+有理数关于除法遵从代入公理，它的一个直接推论是对于有理数 $a,b,c$，其中 $c$ 非零，$a=b\iff a/c=b/c$。
 
-- **定义 4.2.7**：一个比例数 $x$ 叫作是正的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{a}{b}$。一个比例数 $x$ 叫作是负的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{-a}{b}$。
+- **定义 4.2.7（正有理数和负有理数）**：一个有理数 $x$ 叫作是正的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{a}{b}$。一个有理数 $x$ 叫作是负的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{-a}{b}$。
 
-- **引理 4.2.8（比例数的三歧性）**：设 $x$ 是比例数，那么三个命题 “$x$ 等于 $0$”、“$x$ 是正的比例数” 和 “$x$ 是负的比例数” 中恰有一个成立。
+- **引理 4.2.8（有理数的三歧性）**：设 $x$ 是有理数，那么三个命题 “$x$ 等于 $0$”、“$x$ 是正的有理数” 和 “$x$ 是负的有理数” 中恰有一个成立。
 
   **证明**：设 $x=a/b$，其中 $b$ 是非零整数。若 $b$ 是负整数，那么 $x=(-a)/(-b)$，于是我们不妨规定 $b$ 是正的。此时根据 $a$ 讨论即可知三个命题中至少有一个成立。
 
   对于正整数 $a,b,c,d$，若 $a/b=(-c)/d$，那么可推得正整数等于负整数，矛盾。同理可推得三个命题中至多一个成立。
 
-- **引理 4.2.9**：设 $x,y$ 为比例数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且即当 $x,y$ 一正一负。**证明**：略。
+- **引理 4.2.9（积的符号）**：设 $x,y$ 为有理数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且仅当 $x,y$ 一正一负。
 
-- **定义 4.2.10（比例数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是比例数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正比例数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负比例数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
+- **定义 4.2.10（有理数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是有理数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正有理数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负有理数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
 
-- **命题 4.2.11（比例数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为比例数。
+- **命题 4.2.11（有理数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为有理数，那么
 
-  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$。
-  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$。
-  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的。
-  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$。
-  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$。
+  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$；
+  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$；
+  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的；
+  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$；
+  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$；
   - **负乘法反序**：$(x<y\land z<0)\implies xz>yz$。
 
-  **证明**：略。
 
-#### 4.3 绝对值和接近性
+## 4.3 绝对值与接近性
 
-- **定义 4.3.1（绝对值）**：根据比例数的三歧性，定义比例数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 为：若 $x$ 是正的，那么 $|x|:=x$；若 $x$ 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 $x$ 是 $0$，那么 $|x|:=0$。
+- **定义 4.3.1（绝对值）**：根据有理数的三歧性，定义有理数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 为：若 $x$ 是正的，那么 $|x|:=x$；若 $x$ 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 $x$ 是 $0$，那么 $|x|:=0$。
 
-- **定义 4.3.2（距离）**：定义两个比例数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 $d(x,y)$。
+- **定义 4.3.2（距离）**：定义两个有理数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 $d(x,y)$。
 
-- **命题 4.3.3（绝对值及距离的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为比例数。
+- **命题 4.3.3（绝对值及距离的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为有理数。
 
-  - $|x|\geq 0$，当且仅当 $x=0$ 时取等。特别地，$d(x,y)\geq 0$，当且仅当 $x=y$ 时取等。
-  - $|x|\leq y\iff -y\leq x\leq y$。
-  - $|xy|=|x||y|$。特别地，$|-x|=|x|$，$d(x,y)=d(y,x)$。
-  - $|x+y|\leq |x|+|y|$，当且仅当 $xy\geq 0$ 时取等。特别地，$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$，当且仅当 $x\leq z\leq y$ 或 $y\leq z\leq x$ 时取等。
+  1. **绝对值的非退化性**： $|x|\geq 0$，当且仅当 $x=0$ 时取等。特别地，$d(x,y)\geq 0$，当且仅当 $x=y$ 时取等；
+  2. **距离的对称性**：$d(x,y)=d(y,x)$；
+  3. **绝对值的限定范围**： $|x|\leq y\iff -y\leq x\leq y$；
+  4. **绝对值的可乘性**： $|xy|=|x||y|$。特别地，$|-x|=|x|$，$d(x,y)=d(y,x)$；
+  5. **三角不等式**： $|x+y|\leq |x|+|y|$，当且仅当 $xy\geq 0$ 时等号成立。特别地，$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$，当且仅当 $x\leq z\leq y$ 或 $y\leq z\leq x$ 时等号成立。
 
-  **证明**：分类讨论。
+  **证明**：分类讨论即可。
 
-- **定义 4.3.4（$\varepsilon\overline\ $ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为比例数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 接近于 $x$ 的（为了方便，本节中暂且记作 $x\overset{\varepsilon}{\approx} y$），当且仅当 $d(x,y)\leq \varepsilon$。
+- **定义 4.3.4（$\varepsilon$ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为有理数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $x$ 的（记作 $x\overset{\varepsilon}{\approx} y$），当且仅当 $d(x,y)\leq \varepsilon$。
 
-$\varepsilon\overline\ $ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给出关于 $\varepsilon\overline\ $ 接近性的一些基本性质。
+$\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给出关于 $\varepsilon$ 接近性的一些基本性质。
 
-- **命题 4.3.5**：设 $x,y,z,w,\varepsilon,\delta$ 为比例数，且 $\varepsilon,\delta>0$。
-
-  1. $x=y\iff \forall_{\varepsilon>0},x\overset{\varepsilon}{\approx}y$。证明：正推显然，逆推反证。
-
-  2. $x\overset{\varepsilon}{\approx}y\iff y\overset{\varepsilon}{\approx} x$。证明：根据定义可知。
+- **命题 4.3.5（$\varepsilon$ 接近性的性质）**：设 $x,y,z,w,\varepsilon,\delta$ 为有理数，且 $\varepsilon,\delta>0$。
 
+  1. $x=y\iff \forall_{\varepsilon>0},x\overset{\varepsilon}{\approx}y$。
+  2. $x\overset{\varepsilon}{\approx}y\iff y\overset{\varepsilon}{\approx} x$。
   3. $(x\overset{\varepsilon}{\approx}y\land y\overset{\delta}{\approx}z)\implies x\overset{\varepsilon+\delta}{\approx}z$。证明：$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\leq \varepsilon+\delta$。
+  4. $x\overset{\varepsilon}{\approx} y\implies x+z\overset{\varepsilon}{\approx} y+z$。
+  5. $(x\overset{\varepsilon}{\approx}y\land z\overset{\delta}{\approx}w)\implies x+z\overset{\varepsilon+\delta}{\approx}y+w$。
+  
+      **证明**：$|(y+w)-(x+z)|=|(y-x)+(w-z)|\leq |y-x|+|w-z|\leq \varepsilon+\delta$。
 
-  4. $x\overset{\varepsilon}{\approx} y\implies x+z\overset{\varepsilon}{\approx} y+z$。证明：根据定义可知。
+  6. 设 $\varepsilon'$ 是有理数且 $\varepsilon'>\varepsilon$，则 $x \overset{\varepsilon}{\approx}y\implies x\overset{\varepsilon'}{\approx}y$。
+  7. 若 $x \overset{\varepsilon}{\approx} y$，且 $x\leq z\leq y\lor y\leq z\leq x$，则 $x\overset{\varepsilon}{\approx} z$。
 
-  5. $(x\overset{\varepsilon}{\approx}y\land z\overset{\delta}{\approx}w)\implies x+z\overset{\varepsilon+\delta}{\approx}y+w$。证明：$|(y+w)-(x+z)|=|(y-x)+(w-z)|\leq |y-x|+|w-z|\leq \varepsilon+\delta$。
+      **证明**：$d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)\implies d(x,z)\leq d(x,y)\leq \varepsilon$。
 
-  6. 设 $\varepsilon'$ 是比例数且 $\varepsilon'>\varepsilon$，则 $x \overset{\varepsilon}{\approx}y\implies x\overset{\varepsilon'}{\approx}y$。证明：根据定义可知。
+  8. $(x\overset{\varepsilon}{\approx} y\land z\neq 0)\implies xz\overset{\varepsilon|z|}{\approx}yz$。
 
-  7. 若 $x \overset{\varepsilon}{\approx} y$，且 $x\leq z\leq y\lor y\leq z\leq x$，则 $x\overset{\varepsilon}{\approx} z$。证明：$d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)\implies d(x,z)\leq d(x,y)\leq \varepsilon$。
-
-  8. $(x\overset{\varepsilon}{\approx} y\land z\neq 0)\implies xz\overset{\varepsilon|z|}{\approx}yz$。证明：$|xz-yz|=|(x-y)z|=|x-y||z|\leq\varepsilon|z|$。
+      **证明**：$|xz-yz|=|(x-y)z|=|x-y||z|\leq\varepsilon|z|$。
 
   9. $(x\overset{\varepsilon}{\approx} y\land z\overset{\delta}{\approx}w)\implies xz\overset{\varepsilon|z|+\delta|x|+\varepsilon\delta}{\approx}yw$。
 
-     证明：设 $y=x+a$，$w=z+b$，则 $|a|\leq \varepsilon$ 且 $|b|\leq \delta$。
+       **证明**：设 $y=x+a$，$w=z+b$，则 $|a|\leq \varepsilon$ 且 $|b|\leq \delta$。
 
-     那么 $|xz-yw|=|xz-(x+a)(z+b)|=|az+bx+ab|\leq |az|+|bx|+|ab|\leq \varepsilon|z|+\delta|x|+\varepsilon\delta$。
+       那么 $|xz-yw|=|xz-(x+a)(z+b)|=|az+bx+ab|\leq |az|+|bx|+|ab|\leq \varepsilon|z|+\delta|x|+\varepsilon\delta$。
 
-可以发现，命题 4.3.5 的前三条和自反性、对称性、传递性这些相等的公理很像，说明 $\varepsilon\overline\ $ 接近的概念和相等的概念是相似的，这也是我采用符号 $\overset{\varepsilon}{\approx}$ 的原因。
+可以发现，命题 4.3.5 的前三条和自反性、对称性、传递性这些相等的公理很像，说明 $\varepsilon$ 接近的概念和相等的概念是相似的，这也是我采用符号 $\overset{\varepsilon}{\approx}$ 的原因。
 
-#### 4.4 比例数的整数幂
+## 4.4 有理数的整数幂
 
 现在我们来定义整数次幂的指数运算。
 
-- **定义 4.4.1（自然数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是比例数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。
+- **定义 4.4.1（自然数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是有理数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。
 
-- **命题 4.4.2**：设 $x,y$ 是比例数，$n,m$ 是自然数。
+- **命题 4.4.2（自然数指数运算律）**：设 $x,y$ 是有理数，$n,m$ 是自然数。
 
-    1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
-    2. 若 $n>0$，$x^n=0\iff x=0$。
-    3. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies x^n>y^n\geq 0$。
-    4. $|x^n|=|x|^n$。
+  1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
+  2. 若 $n>0$，$x^n=0\iff x=0$。
+  3. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies x^n>y^n\geq 0$。
+  4. $|x^n|=|x|^n$。
 
-    **证明**：归纳。
+  **证明**：归纳。
 
-- **定义 4.4.3（负数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是一个非零的比例数，那么对于任何负整数 $-n$，定义 $x^{-n}:=\frac{1}{x^n}$。
+- **定义 4.4.3（负数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，那么对于任何负整数 $-n$，定义 $x^{-n}:=\frac{1}{x^n}$。
 
-- **引理 4.4.4**：设 $x$ 是一个非零的比例数，$n$ 是整数，那么 $x^{n+1}=x^{n}\times x$。
+- **引理 4.4.4（指数拆分）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，$n$ 是整数，那么 $x^{n+1}=x^{n}\times x$。
 
-    **证明**：若 $n$ 是自然数，则根据定义 4.3.6 可知命题成立。若 $n$ 是负整数，设 $n=-m$（则 $m$ 为正数），那么 $x^n\times x=\frac{1}{x^m}\times x=\frac{1}{x^m/x}$，根据定义 4.3.6 可知 $x^m/x=x^{m-1}$，故 $x^n\times x=\frac{1}{x^{m-1}}$，再分 $m-1$ 是零还是负数讨论即可。
+  **证明**：若 $n$ 是自然数，则根据定义 4.4.1 可知命题成立。若 $n$ 是负整数，设 $n=-m$（则 $m$ 为正数），那么 $x^n\times x=\frac{1}{x^m}\times x=\frac{1}{x^m/x}$，根据定义 4.4.1 可知 $x^m/x=x^{m-1}$，故 $x^n\times x=\frac{1}{x^{m-1}}$，再分 $m-1$ 是零还是负数讨论即可。
 
-- **引理 4.4.5**：设 $x$ 是一个非零的比例数，$n,m$ 是自然数，那么 $x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$。
+- **引理 4.4.5（指数消去率）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，$n,m$ 是自然数，那么 $x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$。
 
-    **证明**：对 $n$ 归纳，利用引理 4.4.4。
+  **证明**：对 $n$ 归纳，利用引理 4.4.4。
 
-- **命题 4.4.6**：设 $x,y$ 是非零的比例数，$n,m$ 是整数。
+- **命题 4.4.6（整数指数运算律）**：设 $x,y$ 是非零的有理数，$n,m$ 是整数。
 
-    1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
-    2. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies (x^n>y^n\geq 0)$，$(x>y\geq 0\land n<0)\implies (y^n>x^n\geq 0)$。
-    3. 若 $x,y>0$ 且 $n\neq 0$，那么 $x^n=y^n\implies x=y$。
-    4. $|x^n|=|x|^n$。
+  1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
+  2. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies (x^n>y^n\geq 0)$，$(x>y\geq 0\land n<0)\implies (y^n>x^n\geq 0)$。
+  3. 若 $x,y>0$ 且 $n\neq 0$，那么 $x^n=y^n\implies x=y$。
+  4. $|x^n|=|x|^n$。
 
-    **证明**：先利用整数的定义和引理 4.4.5 将 $x^n$ 表示成 $x^{a-b}=\frac{x^a}{x^b}$ 的形式（其中 $a,b$ 均为自然数），再证明即可。
+  **证明**：先利用整数的定义和引理 4.4.5 将 $x^n$ 表示成 $x^{a-b}=\frac{x^a}{x^b}$ 的形式（其中 $a,b$ 均为自然数），再证明即可。
 
-#### 4.5 比例数中的空隙
+## 4.5 有理数中的空隙
 
-- **命题 4.5.1**：设 $x$ 是比例数。那么存在唯一的一个整数 $n$，使得 $n\leq x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
+- **命题 4.5.1**：设 $x$ 是有理数。那么存在唯一的一个整数 $n$，使得 $n\leq x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
 
   **证明**：存在性：先分 $x$ 是否非负讨论，再把 $x$ 表示成分数形式，然后再利用欧几里得算法（命题 2.3.8）容易构造一组解。唯一性：反证。
 
-- **命题 4.5.2**：设 $x$ 和 $y$ 是比例数且 $x<y$，那么存在比例数 $z$ 满足 $x<z<y$。
+- **命题 4.5.2**：设 $x$ 和 $y$ 是有理数且 $x<y$，那么存在有理数 $z$ 满足 $x<z<y$。
 
   **证明**：令 $z:=\frac{x+y}{2}$。
 
-根据 4.5.2，我们可以知道比例数是十分 “稠密” 的，但有理数之间还是存在无限多个 “空隙”，尽管这种稠密性保证了每个空隙是无限小的（即这些空隙不会是 “连续的一段”）。例如，我们可以证明比例数中不存在 $2$ 的平方根：
+根据 4.5.2，我们可以知道有理数是十分 “稠密” 的，但有理数之间还是存在无限多个 “空隙”，尽管这种稠密性保证了每个空隙是无限小的（即这些空隙不会是 “连续的一段”）。例如，我们可以证明有理数中不存在 $2$ 的平方根：
 
 - **引理 4.5.3**：不存在一个自然数序列 $a_0,a_1,\cdots$，使得对于任意自然数 $n$，$a_n>a_{n+1}$。
 
   **证明**：假设存在。可以归纳证明，对于任意自然数 $n$，$a_n\leq a_0-n$。那么考虑 $a_{a_0+1}\leq a_0-(a_0+1)<0$，矛盾。
 
-- **命题 4.5.4**：不存在比例数 $x$ 使得 $x^2=2$。
+- **命题 4.5.4**：不存在有理数 $x$ 使得 $x^2=2$。
 
   **证明**：显然 $x\neq 0$。又由于 $(-x)^2=x^2$，所以不妨设 $x$ 是正的，那么存在正整数 $p,q$ 使得 $x=\frac{p}{q}$。根据 $x^2=2$，可得 $p^2=2q^2$。
 
   我们还没有定义奇数和偶数的概念，不过我们可以暂且使用：$p^2=2q^2$ 可知 $p^2$ 是偶数，即 $p$ 是偶数。不妨设 $p=2k$，其中 $k$ 应是一个小于 $p$ 的正数。那么存在 $(2k)^2=2q^2$ 即 $q^2=2k^2$。我们每次从 $(p,q)$ 递归到 $(q,k)$，而括号内的两数中至少一个变小。也就是说，我们能无限地让括号内的两数 $a,b$ 变小下去（准确地说是轮流除 $2$），并说它们一直是正数，根据引理 4.5.3，这显然是不可能的。
 
-另一方面，我们可以得到任意接近 $2$ 的平方根的比例数：
+另一方面，我们可以得到任意接近 $2$ 的平方根的有理数：
 
-- **命题 4.5.5**：对于每个比例数 $\varepsilon>0$，都存在一个非负的比例数 $x$，使得 $x^2<2<(x+\varepsilon)^2$。
+- **命题 4.5.5**：对于每个有理数 $\varepsilon>0$，都存在一个非负的有理数 $x$，使得 $x^2<2<(x+\varepsilon)^2$。
 
   **证明**：首先需注意不存在有理数的平方等于 $2$。我们考虑找到自然数 $n$ 使得 $(n\varepsilon)^2<2<((n+1)\varepsilon)^2$。假设不存在，那么可以归纳证明对于任意自然数 $n$，$(n\varepsilon)^2<2$。但考虑取 $n=[\frac{2}{\varepsilon}]+1$，那么 $n>\frac{2}{\varepsilon}\implies(n\varepsilon)^2>4>2$，矛盾。
 
-通过上述例子，我们来引入实数。
+我们对整数与有理数的讨论至此基本完结。基于上述理论， 我们接下来就可以（也有必要）引入实数。

src/第5章 实数.md

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-### 第 5 章 实数
+回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb N$、整数系 $\mathbb Z$ 和有理数系 $\mathbb Q$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。
 
-回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb N$、整数系 $\mathbb Z$ 和比例数系 $\mathbb Q$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代比例数系。
+实数无法用有理数来表示，但是却明确地处于有理数之间的某个 “空隙” 中：例如 $\sqrt 2$，你任意说一个有理数 $q$，我都能说 $q$ 比 $\sqrt2$ 大还是小，我只需比较 $q^2$ 和 $2$ 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 $\sqrt[p]{q}$ 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 $\pi$ 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从有理数定义实数的一个好方法：“取无限有理数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 $\sqrt 2$，无限地进行下去，我们就能用有理数无限地逼近它，虽然不会达到它。
 
-实数无法用比例数来表示，但是却明确地处于比例数之间的某个 “空隙” 中：例如 $\sqrt 2$，你任意说一个比例数 $q$，我都能说 $q$ 比 $\sqrt2$ 大还是小，我只需比较 $q^2$ 和 $2$ 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 $\sqrt[p]{q}$ 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 $\pi$ 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从比例数定义实数的一个好方法：“取无限比例数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 $\sqrt 2$，无限地进行下去，我们就能用比例数无限地逼近它，虽然不会达到它。
+这种 “取有理数序列的极限” 的运算，就像形式减法一样，不仅能在有理数上进行，在实数域上进行也是封闭的，所以下面的一些定义都会加上 ”形式“。而对于 “取无限实数序列的极限”，我们将在第 6 章再继续详谈。
 
-这种 “取比例数序列的极限” 的运算，就像形式减法一样，不仅能在比例数上进行，在实数域上进行也是封闭的，所以下面的一些定义都会加上 ”形式“。而对于 “取无限实数序列的极限”，我们将在第 6 章再继续详谈。
-
-我们接下来将详细阐述这种方法。我们先理解 “极限” 是什么：序列可能并不会达到目标（比如比例数序列最后怎么样也不可能达到 $\sqrt 2$），但如果序列的趋势是不断接近那个目标的，那么我们就说序列的极限就是那个目标。或者说，如果存在序列的这种不断接近目标的趋势，我们就把那个目标看成序列的极限。
+我们接下来将详细阐述这种方法。我们先理解 “极限” 是什么：序列可能并不会达到目标（比如有理数序列最后怎么样也不可能达到 $\sqrt 2$），但如果序列的趋势是不断接近那个目标的，那么我们就说序列的极限就是那个目标。或者说，如果存在序列的这种不断接近目标的趋势，我们就把那个目标看成序列的极限。
 
 我们再来理解怎么对 “趋势” 进行描述：一般来说，我们会设置一个阈值（范围）$B$，然后看序列是否存在一个后缀，使得这个后缀和目标的差距在 $B$ 之内。然后我们说，如果对于任意小但是不为零的 $B$（这里 $B$ 等于零只是代表该后缀和目标完全相同），都能找到这么一个后缀，那么该序列的趋势就是不断接近于目标的。
 
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 由于定义实数需要较长的篇幅，我们将给出第 5 章和第 6 章的总体的概览：
 
-在本章（第 5 章）中，我们将先定义形式柯西序列（因为历史遗留问题，真正的章节中没有加上 “形式” 二字），即 “趋于稳定” 的比例数序列，并定义形式柯西序列的形式极限就是实数（注意不能定义说 “收敛到某实数 $L$” 的比例数序列的极限就是实数，这将导致循环定义）。然后显然收敛到同一个实数的形式柯西序列不可能只有一个，所以我们还需定义序列的形式等价。同时，为了建起比例数和实数间的桥梁，我们还需把比例数通过预期的方式相容于实数中。
+在本章（第 5 章）中，我们将先定义形式柯西序列（因为历史遗留问题，真正的章节中没有加上 “形式” 二字），即 “趋于稳定” 的有理数序列，并定义形式柯西序列的形式极限就是实数（注意不能定义说 “收敛到某实数 $L$” 的有理数序列的极限就是实数，这将导致循环定义）。然后显然收敛到同一个实数的形式柯西序列不可能只有一个，所以我们还需定义序列的形式等价。同时，为了建起有理数和实数间的桥梁，我们还需把有理数通过预期的方式相容于实数中。
 
-接着，我们将按照预期的结果，在形式柯西序列上定义实数的加法、乘法、负运算、减法、倒数、除法、正负性和序等。过程中，我们也需证明比例数的这些运算也能相容于实数中。
+接着，我们将按照预期的结果，在形式柯西序列上定义实数的加法、乘法、负运算、减法、倒数、除法、正负性和序等。过程中，我们也需证明有理数的这些运算也能相容于实数中。
 
-第 5 章的最后，我们将投入实数最基本的应用中——构造出实数的比例数次幂（如 $\sqrt 2$），这将用到实数的界和确界的概念以及确界原理。确界原理这体现了无限逼近这一思想方法的优点。
+第 5 章的最后，我们将投入实数最基本的应用中——构造出实数的有理数次幂（如 $\sqrt 2$），这将用到实数的界和确界的概念以及确界原理。确界原理这体现了无限逼近这一思想方法的优点。
 
 在第 6 章中，我们将会把取极限应用于实数序列上。这时我们才定义真正的柯西序列、序列等价和极限，而非形式的。我们会证明把极限应用于实数序列上也是正确且封闭的，即任意实数版的柯西序列也收敛，且收敛到实数上。接着，我们会完善极限这一定义在实数上的新运算，补充一些极限算律。
 
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 最后，我们将构造出实数的实数次幂，以最终结束实数的构造和基本应用的补全。
 
-#### 5.1 柯西序列
+## 5.1 柯西序列
 
 实数的构造将依赖于柯西序列的概念。而在定义柯西序列之前，我们先来做一些铺垫。
 
-- **定义 5.1.1（序列）**：设 $m$ 是整数。一个比例数的无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个从 $\mathbb Z_m^{\infty}$ 到 $\mathbb Q$ 的映射，其中 $n$ 映射到 $a_n$。
+- **定义 5.1.1（序列）**：设 $m$ 是整数。一个有理数的无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个从 $\mathbb Z_{m..}$ 到 $\mathbb Q$ 的映射，其中 $n$ 映射到 $a_n$。
 
     而有限序列的概念我们也类似地在 3.5.3 中定义过了。
 
-本章中，除特殊标明，我们所说的 “序列” 一般指的都是 “比例数序列”。
+本章中，除特殊标明，我们所说的 “序列” 一般指的都是 “有理数序列”。
 
-- **定义 5.1.2（$\varepsilon\overline\ $ 稳定性）**：设比例数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geq N$，$d(a_j,a_k)\leq \varepsilon$。
-- **定义 5.1.3（终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定性）**：设比例数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。
+- **定义 5.1.2（$\varepsilon$ 稳定性）**：设有理数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
+- **定义 5.1.3（终极 $\varepsilon$ 稳定性）**：设有理数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。
 
 接下来，让我们定义柯西序列。
 
-- **定义 5.1.4（柯西序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。
+- **定义 5.1.4（柯西序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 稳定的。
 
-    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $j,k\geq N$ 有 $d(a_j,a_k)\leq \varepsilon$。
+    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $j,k\geqslant N$ 有 $d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
 
 可以注意到，柯西序列可以直接定义，但定义 5.1.2 和 5.1.3 的目的是为了帮助你更好地理解柯西序列的内涵。
 
 我们给出一个例子：
 
-- **命题 5.1.5**：由 $a_n:=\frac{1}{n}$ 定义的序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是柯西序列。
+- **命题 5.1.5**：由 $a_n:=1/n$ 定义的序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是柯西序列。
 
-    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数，那么我们要找到 $N\geq 1$，使得对于任意 $j,k\geq N$，$|\frac{1}{j}-\frac{1}{k}|\leq \varepsilon$。
+    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数，那么我们要找到 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $j,k\geqslant N$，$|1/j-1/k|\leqslant \varepsilon$。
 
-    注意到 $0<\frac{1}{j},\frac{1}{k}\leq \frac{1}{N}$，那么 $|\frac{1}{j}-\frac{1}{k}|<\frac{1}{N}$，故只需要 $\frac{1}{N}\leq \varepsilon$ 即 $N\geq \frac{1}{\varepsilon}$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
+    注意到 $0<1/j,1/k\leqslant 1/N$，那么 $|1/j-1/k|<1/N$，故只需要 $1/N\leqslant \varepsilon$ 即 $N\geqslant1/\varepsilon$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
 
 我们现在建立另一个基本概念：有界序列。序列有界是非常好的性质，往后的许多证明都将用到。
 
-- **定义 5.1.6（有界序列）**：设比例数 $M\geq 0$。一个有限序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $m\leq n\leq N$ 有 $|a_n|\leq M$。一个无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geq m$ 有 $|a_n|\leq M$。
+- **定义 5.1.6（有界序列）**：设有理数 $M\geqslant 0$。一个有限序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $m\leqslant n\leqslant N$ 有 $|a_n|\leqslant M$。一个无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant M$。
 
-    称一个序列是有界的，当且仅当存在比例数 $M\geq 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。
+    称一个序列是有界的，当且仅当存在有理数 $M\geqslant 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。
 
-- **引理 5.1.7（有限序列是有界的）**：任何有限（比例数）序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 都是有界的。
+- **引理 5.1.7（有限序列是有界的）**：任何有限（有理数）序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 都是有界的。
 
     **证明**：固定 $m$ 而对 $N$ 归纳。
 
 - **引理 5.1.8（柯西序列是有界的）**：任意柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是有界的。
 
-    **证明**：任取比例数 $\varepsilon>0$，那么存在一个自然数 $N\geq m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 稳定的。
+    **证明**：任取有理数 $\varepsilon>0$，那么存在一个自然数 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。
 
     考虑有限序列 $(a_n)_{n=m}^N$，根据引理 5.1.7 可知它是有界的，不妨设它是以 $M$ 为界的。
 
-    对于任意 $n\geq N$，由于 $|a_N|\leq M$，$|a_n-a_N|\leq \varepsilon$，那么 $|a_n|\leq M+\varepsilon$。
+    对于任意 $n\geqslant N$，由于 $|a_N|\leqslant M$，$|a_n-a_N|\leqslant \varepsilon$，那么 $|a_n|\leqslant M+\varepsilon$。
 
     于是可以证明，原序列是以 $M+\varepsilon$ 为界的，那么原序列是有界的。
 
 注意有界序列不一定是柯西序列，例如 $a_n:=(-1)^n$。
 
-#### 5.2 等价的柯西序列
+## 5.2 等价的柯西序列
 
 我们的想法是要把实数定义为柯西序列的 “极限”，那么我们就必须先定义何时两个柯西序列给出同样的 “极限”。
 
-- **定义 5.2.1（$\varepsilon\overline{\ }$ 接近序列）**：设比例数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是两个序列，称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geq m$，$d(a_n,b_n)\leq\varepsilon$。
+- **定义 5.2.1（$\varepsilon$ 接近序列）**：设有理数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是两个序列，称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$，$d(a_n,b_n)\leqslant\varepsilon$。
 
-- **定义 5.2.2（终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近序列）**：设比例数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是两个序列，并记 $m=\max(m_a,m_b)$。称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
+- **定义 5.2.2（终极 $\varepsilon$ 接近序列）**：设有理数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是两个序列，并记 $m=\max(m_a,m_b)$。称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
 
-根据定义，若 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的，那么对于任意 $N'\geq m$，都存在 $N\geq N'$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。
+根据定义，若 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近的，那么对于任意 $N'\geqslant m$，都存在 $N\geqslant N'$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近的。
 
-- **定义 5.2.3（等价的序列）**：称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。
+- **定义 5.2.3（等价的序列）**：称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon$ 接近的。
 
-    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记 $m=\max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $d(a_n,b_n)\leq \varepsilon$。
+    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记 $m=\max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。
 
 同样地，定义 5.2.1 和 5.2.2 也是为帮助你更好地理解序列等价的内涵所用。
 
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     **证明**：前两者易证，只证传递性。设序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty},(b_n)_{n=m_b}^{\infty},(c_n)_{n=m_c}^{\infty}$，其中 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 且 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}\sim(c_n)_{n=m_c}^{\infty}$。设 $m=\max\{m_a,m_b,m_c\}$。
 
-    设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数，那么找到一个 $N\geq m$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的即可。
+    设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数，那么找到一个 $N\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的即可。
 
-    根据假设，存在 $N_1\geq m$ 使得 $(a_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的，存在 $N_2\geq m$ 使得 $(b_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 也是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的。那么取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。
+    根据假设，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的，存在 $N_2\geqslant m$ 使得 $(b_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 也是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的。那么取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。
 
-- **引理 5.2.5**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，那么对于任意 $m'\geq m$，$(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_n)_{n=m'}^{\infty}$。**证明**：略。
+- **引理 5.2.5**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，那么对于任意 $m'\geqslant m$，$(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_n)_{n=m'}^{\infty}$。
 
 我们给出一个例子：
 
 - **命题 5.2.6**：由 $a_n:=1+10^{-n}$ 和 $b_n:=1-10^{-n}$ 定义的序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的。
 
-    **证明**：设 $\varepsilon >0$ 是任意正比例数，那么我们要找到 $N\geq 1$，使得对于任意 $n\geq N$，$|a_n-b_n|\leq \varepsilon$。
+    **证明**：设 $\varepsilon >0$ 是任意正有理数，那么我们要找到 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $n\geqslant N$，$|a_n-b_n|\leqslant \varepsilon$。
 
-    注意到 $|a_n-b_n|=2\times 10^{-n}\leq 2\times 10^{-N}$，故只需要 $2\times 10^{-N}\leq\varepsilon$。我们还不曾定义对数，但我们可以找一个更宽松的合法解：可以用归纳证明对于任意正数 $N$ 有 $10^N\geq N$ 即 $10^{-N}\leq \frac{1}{N}$，于是我们只需 $2\times \frac{1}{N}\leq \varepsilon$ 即 $N\geq \frac{2}{\varepsilon}$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
+    注意到 $|a_n-b_n|=2\times 10^{-n}\leqslant 2\times 10^{-N}$，故只需要 $2\times 10^{-N}\leqslant\varepsilon$。我们还不曾定义对数，但我们可以找一个更宽松的合法解：可以用归纳证明对于任意正数 $N$ 有 $10^N\geqslant N$ 即 $10^{-N}\leqslant 1/N$，于是我们只需 $2/N\leqslant \varepsilon$ 即 $N\geqslant \frac{2}{\varepsilon}$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
 
-#### 5.3 实数的构造
+## 5.3 实数的构造
 
 现在我们引入形式极限，然后用柯西序列的形式极限定义实数。
 
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     全体实数的集合记作 $\mathbb{R}$。
 
-实数集的定义也不需要公理：先利用幂集公理得到所有比例数序列 $\bigcup_{m\in\mathbb Z}\mathbb{Q}^{\mathbb Z_m^{\infty}}$，再通过分类公理得到所有柯西序列构成的集合，再像定义整数集那样，定义所有柯西序列等价类（一个实数是一个柯西序列等价类）构成的集合，即为实数集。
+实数集的定义也不需要公理：先利用幂集公理得到所有有理数序列 $\bigcup_{m\in\mathbb Z}\mathbb{Q}^{\{n\in\mathbb Z:n\geqslant m\}}$，再通过分类公理得到所有柯西序列构成的集合，再像定义整数集那样，定义所有柯西序列定价类（一个实数是一个柯西序列等价类）构成的集合，即为实数集。
 
 根据序列等价的基本性质，我们知道实数相等也满足自反性、对称性和传递性。
 
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 - **命题 5.3.3（实数关于加法遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，$x'=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a'_n$，$y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，且 $x=x'$，那么 $x+y=x'+y$。
 
-    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数。根据假设，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $d(a_n,a'_n)\leq\varepsilon$，那么也有 $d(a_n+b_n,a'_n+b_n)\leq\varepsilon$，证毕。
+    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数。根据假设，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,a'_n)\leqslant\varepsilon$，那么也有 $d(a_n+b_n,a'_n+b_n)\leqslant\varepsilon$，证毕。
 
 - **定义 5.3.4（实数的乘法）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，$y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，定义它们的乘积为 $xy:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(a_nb_n)$。
 
-    **证明**：根据引理 5.1.8，$(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是有界的，不妨设分别以比例数 $M_a>0,M_b>0$ 为界。那么对于任意的 $n\geq 1$，$|a_n|\leq M_a,|b_n|\leq M_b$。
+    **证明**：根据引理 5.1.8，$(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是有界的，不妨设分别以有理数 $M_a>0,M_b>0$ 为界。那么对于任意的 $n\geqslant 1$，$|a_n|\leqslant M_a,|b_n|\leqslant M_b$。
 
-    设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，我们要找到 $N\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N$，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leq \varepsilon$。
+    设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，我们要找到 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \varepsilon$。
 
-    根据命题 4.5.2，存在比例数 $\delta_a$ 满足 $0<\delta_a<\frac{\varepsilon}{M_b}$，可得此时 $\varepsilon-\delta_aM_b>0$。
+    根据命题 4.5.2，存在有理数 $\delta_a$ 满足 $0<\delta_a<\frac{\varepsilon}{M_b}$，可得此时 $\varepsilon-\delta_aM_b>0$。
 
-    根据命题 4.5.2，存在比例数 $\delta_b$ 满足 $0<\delta_b<\frac{\varepsilon-\delta_a M_b}{M_a+\delta_a}$，可得此时 $\delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。
+    根据命题 4.5.2，存在有理数 $\delta_b$ 满足 $0<\delta_b<\frac{\varepsilon-\delta_a M_b}{M_a+\delta_a}$，可得此时 $\delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。
 
-    根据假设， 存在 $N_a\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_a$，$d(a_i,a_j)\leq \delta_a$；存在 $N_b\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_b$，$d(b_i,b_j)\leq \delta_b$。
+    根据假设， 存在 $N_a\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_a$，$d(a_i,a_j)\leqslant \delta_a$；存在 $N_b\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_b$，$d(b_i,b_j)\leqslant \delta_b$。
 
-    取 $N=\max(N_a,N_b)$，那么对于任意 $i,j\geq N$，根据命题 4.3.5.9，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leq \delta_a|b_i|+\delta_b|a_i|+\delta_a\delta_b\leq \delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。故此 $N$ 合法。
+    取 $N=\max(N_a,N_b)$，那么对于任意 $i,j\geqslant N$，根据命题 4.3.5.9，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \delta_a|b_i|+\delta_b|a_i|+\delta_a\delta_b\leqslant \delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。故此 $N$ 合法。
 
 - **命题 5.3.5（实数关于乘法遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，$x'=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a'_n$，$y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，且 $x=x'$，那么 $xy=x'y$。
 
     **证明**：根据引理 5.1.8，$(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，不妨设以 $M>0$ 为界。
 
-    设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。根据假设，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$，$d(a_n,a'_n)\leq \frac{\varepsilon}{M}$，那么 $d(a_nb_n,a'_nb_n)=d(a_n,a'_n)|b_n|\leq \varepsilon$，证毕。
+    设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。根据假设，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$，$d(a_n,a'_n)\leqslant \varepsilon/M$，那么 $d(a_nb_n,a'_nb_n)=d(a_n,a'_n)|b_n|\leqslant \varepsilon$，证毕。
 
-我们还需将比例数嵌入到实数集合中，方法是把比例数 $q$ 等同于实数 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}q$。容易验证，这个嵌入和我们之前定义的实数的相等、加法和乘法的概念是相容的（注意，这意味着，对于那些被我们等同于有理数的实数，它们已经满足命题 4.2.5 中所述的代数算律了）。
+我们还需将有理数嵌入到实数集合中，方法是把有理数 $q$ 等同于实数 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}q$。容易验证，这个嵌入和我们之前定义的实数的相等、加法和乘法的概念是相容的（注意，这意味着，对于那些被我们等同于有理数的实数，它们已经满足命题 4.2.5 中所述的代数算律了）。
 
-比例数嵌入实数之后，我们可以方便地补充更多的运算：
+有理数嵌入实数之后，我们可以方便地补充更多的运算：
 
 - **定义 5.3.6（实数的负运算）**：定义实数的负运算为 $-x:=(-1)\times x$。
 - **定义 5.3.7（实数的减法）**：定义实数的减法为 $x-y:=x+(-y)$。
@@ -176,13 +174,13 @@
 
 现在让我们来定义倒数。类似地，一个直接的想法是定义 $(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n)^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}$。当然，我们还要保证 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty} a_n\neq 0$。
 
-但这样定义还是会出现一些问题，如柯西序列 $(0,1,1,\cdots)$ 的形式极限为 $1\neq 0$，但我们没法把该序列的第一个数 $0$ 倒过来。
+但这样定义还是会出现一些问题，如柯西序列 $\langle 0,1,1,\cdots\rangle$ 的形式极限为 $1\neq 0$，但我们没法把该序列的第一个数 $0$ 倒过来。
 
 为避免这类问题，我们引入一个新的概念。
 
-- **定义 5.3.8（远离零的序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，当且仅当存在比例数 $c>0$，使得对于一切 $n\geq m$，$|a_n|\geq c$。
+- **定义 5.3.8（远离零的序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$|a_n|\geqslant c$。
 
-注意，这和 “对于一切 $n\geq m$，$|a_n|>0$” 不等价，如序列 $a_n:=\frac{1}{n}$ 就不是远离零的序列。注意，两序列等价并不蕴含两序列关于 “远离零” 相同（如序列 $(0,1,1,\cdots)$ 和 $(1,1,\cdots)$）。
+注意，这和 “对于一切 $n\geqslant m$，$|a_n|>0$” 不等价，如序列 $a_n:=\frac{1}{n}$ 就不是远离零的序列。注意，两序列等价并不蕴含两序列关于 “远离零” 相同，如序列 $\langle0,1,1,\cdots\rangle$ 和 $\langle1,1,\cdots\rangle$。
 
 下面的引理说明，若实数 $x$ 不等于 $0$，那么它所对应的柯西序列等价类中，一定存在一个远离零的柯西序列。
 
@@ -190,11 +188,11 @@
 
     **证明**：根据定义，存在柯西序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。 
 
-    $x$ 不等于 $0=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}0$，意味着存在比例数 $\varepsilon>0$，对于任意 $N\geq m$，都存在 $p\geq N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
+    $x$ 不等于 $0=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}0$，意味着存在有理数 $\varepsilon>0$，对于任意 $N\geqslant m$，都存在 $p\geqslant N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
 
-    任取比例数 $0<\delta<\varepsilon$，根据假设，存在 $N\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N$，$|b_i-b_j|\leq\delta$。再按照刚刚说的，存在 $p\geq N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
+    任取有理数 $0<\delta<\varepsilon$，根据假设，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|b_i-b_j|\leqslant\delta$。再按照刚刚说的，存在 $p\geqslant N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
 
-    由于 $|b_p|>\varepsilon$，又由于对于任意 $i\geq p$ 有 $|b_i-b_p|\leq \delta$，那么对于任意 $i\geq p$，$|b_i|>\varepsilon-\delta>0$。
+    由于 $|b_p|>\varepsilon$，又由于对于任意 $i\geqslant p$ 有 $|b_i-b_p|\leqslant \delta$，那么对于任意 $i\geqslant p$，$|b_i|>\varepsilon-\delta>0$。
 
     那么序列 $(b_n)_{n=p}^{\infty}$ 是远离零的，证毕。
 
@@ -202,90 +200,95 @@
 
 现在可以定义倒数了：
 
-- **定义 5.3.10（实数的倒数）**：设 $x$ 是不为 $0$ 的实数，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，那么我们定义倒数为 $x^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}$。
+- **定义 5.3.10（实数的乘法逆元）**：设 $x$ 是不为 $0$ 的实数，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，那么我们定义倒数为 $x^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}$。
 
-    **证明**：首先 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，这蕴含了对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\neq 0$，那么存在序列 $(a_n^{-1})_{n=1}^{\infty}$，让我们来证明该序列为柯西序列。
+    **证明**：首先 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，这蕴含了对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\neq 0$，那么存在序列 $(a_n^{-1})_{n=1}^{\infty}$，让我们来证明该序列为柯西序列。
 
-    根据假设，存在比例数 $c>0$，使得对于任意 $n\geq m$，$|a_n|\geq c$ 即 $\left|\frac{1}{a_n}\right|\leq \frac{1}{c}$。
+    根据假设，存在有理数 $c>0$，使得对于任意 $n\geqslant m$，$|a_n|\geqslant c$ 即 $|1/a_n|\leqslant 1/c$。
 
-    设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数，根据假设，存在 $N\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N$，$|a_i-a_j|\leq \varepsilon c^2$，那么 $\left|\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}\right|=\frac{|a_i-a_j|}{|a_i||a_j|}\leq \varepsilon$。证毕。
+    设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数，根据假设，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-a_j|\leqslant \varepsilon c^2$，那么 $\left|\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}\right|=\frac{|a_i-a_j|}{|a_i||a_j|}\leqslant \varepsilon$。证毕。
 
-- **命题 5.3.11（实数关于倒数遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是远离零的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。
+- **命题 5.3.11（实数关于乘法逆元遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是远离零的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。
 
     **证明**：一种证明方法是类似 5.3.10 的证明（将 $\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}\right|$ 转化为 $\frac{|a_n-b_n|}{|a_n||b_n|}$）。
 
-    书上给的证明方法是：根据 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，然后两边同乘 $\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}\right)\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}\right)$，得到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。相当于利用了实数关于乘法的代入公理。
+    另一种证明方法是：根据 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，然后两边同乘 $\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}\right)\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}\right)$，得到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。相当于利用了实数关于乘法的代入公理。
 
 - **定义 5.3.12（实数的除法）**：定义两个实数 $x$ 和 $y\neq 0$ 的除法为：$x/y:=xy^{-1}$。
 
-可以证明，有理数的倒数和除法运算和实数的是相容的。
+可以证明，有理数的乘法逆元和除法运算和实数的是相容的。
 
-- **命题 5.3.13（实数的代数算律）**：命题 4.2.5 中提及的关于比例数的代数算律对于实数也成立。
+- **命题 5.3.13（实数的代数算律）**：命题 4.2.5 中提及的关于有理数的代数算律对于实数也成立。
 
     **证明**：将实数表示成 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 的形式，然后不难证明。
 
 我们现在关于实数已经有了全部四种基本的运算，它们满足全部常见的代数算律，下面我们转向实数的序的概念。
 
-#### 5.4 给实数编序
+## 5.4 实数的次序
 
-我们现在也想给实数定义正负。利用单个柯西序列中的元素来判断实数的正负性显然是不现实的（例如序列 $(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots)$）。我们需要利用上一节中提到的远离零的定义。
+我们现在也想给实数定义正负。利用单个柯西序列中的元素来判断实数的正负性显然是不现实的（例如序列 $\langle1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots\rangle$）。我们需要利用上一节中提到的远离零的定义。
 
-- **定义 5.4.1**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$。称其是正远离零的，当且仅当存在比例数 $c>0$，使得对于一切 $n\geq m$，$a_n\geq c$。称其是负远离零的，当且仅当存在比例数 $c<0$，使得对于一切 $n\geq m$，$a_n\leq c$。
+- **定义 5.4.1**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$。称其是**正远离零的**，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c$。称其是**负远离零的**，当且仅当存在有理数 $c<0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant c$。
 
 - **定义 5.4.2**：称一个实数 $x$ 是正的，当且仅当存在正远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。称一个实数 $x$ 是负的，当且仅当存在负远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。
 
 - **命题 5.4.3（实数的三歧性）**：设 $x$ 是实数，那么三个命题 “$x=0$”、“$x$ 是正的” 和 “$x$ 是负的” 中恰有一个成立。
 
-    **证明**：存在性：若 $x\neq 0$，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。那么存在比例数 $c>0$，使得对于任意 $n\geq m$ 有 $|a_n|\geq c$。
+    **证明**：存在性：若 $x\neq 0$，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。那么存在有理数 $c>0$，使得对于任意 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\geqslant c$。
 
-    根据定义，存在 $N\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N$，$|a_i-a_j|<2c$，那么就不存在 $i,j\geq N$，使得 $a_i>0$ 和 $a_j<0$ 同时成立。所以要么 “对于任意 $n\geq N$，$a_n>0$，那么 $a_n\geq c$”，要么 “对于任意 $n\geq N$，$a_n<0$，那么 $a_n\leq -c$”。那么 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 要么是正远离零的，要么是负远离零的，证毕。
+    根据定义，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-a_j|<2c$，那么就不存在 $i,j\geqslant N$，使得 $a_i>0$ 和 $a_j<0$ 同时成立。所以要么 “对于任意 $n\geqslant N$，$a_n>0$，那么 $a_n\geqslant c$”，要么 “对于任意 $n\geqslant N$，$a_n<0$，那么 $a_n\leqslant -c$”。那么 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 要么是正远离零的，要么是负远离零的，证毕。
 
     唯一性：反证。若存在 “$x$ 是正的” 和 “$x$ 是负的” 同时成立，说明存在正远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和负远离零的柯西序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(b_n)_{n=m}^{\infty}$。
 
-    根据定义，存在比例数 $c_a>0$ 使得对于任意 $n\geq m$，$a_n\geq c_a$；存在比例数 $c_b>0$ 使得对于任意 $n\geq m$，$b_n\leq -c_b$。根据定义，又存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N$，$|a_i-b_i|<c_a+c_b$，而 $|a_i-b_i|$ 显然大于等于 $c_a+c_b$，矛盾。
+    根据定义，存在有理数 $c_a>0$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c_a$；存在有理数 $c_b>0$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$b_n\leqslant -c_b$。根据定义，又存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-b_i|<c_a+c_b$，而 $|a_i-b_i|$ 显然大于等于 $c_a+c_b$，矛盾。
 
-容易证明，比例数的正负性的概念和实数的是相容的。
+容易证明，有理数的正负性的概念和实数的是相容的。
 
-有了正负性的定义和性质，我们又能重复一些比例数中出现过的定理和定义。
+有了正负性的定义和性质，我们又能重复一些有理数中出现过的定理和定义。
+
+- **引理 5.4.4**：设 $x,y$ 为实数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且即当 $x,y$ 一正一负。
+
+- **定义 5.4.5（实数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是实数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正实数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负实数。称 $x\geqslant y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leqslant y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
+
+- **命题 5.4.6（实数的序的基本性质）**：命题 4.2.11 中提及的关于有理数的序的基本性质对于实数也成立。
 
-- **引理 5.4.4**：设 $x,y$ 为实数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且即当 $x,y$ 一正一负。**证明**：略。
-- **定义 5.4.5（实数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是实数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正实数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负实数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
-- **命题 5.4.6（实数的序的基本性质）**：命题 4.2.11 中提及的关于比例数的序的基本性质对于实数也成立。**证明**：略。
 - **定义 5.4.7（实数的绝对值）**：根据实数的三歧性，定义实数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 为：若 $x$ 是正的，那么 $|x|:=x$；若 $x$ 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 $x$ 是 $0$，那么 $|x|:=0$。
-- **定义 5.4.8（实数的距离）**：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $d(x,y):=|x-y|$。
-- **命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）**：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。**证明**：略。
 
-容易证明，比例数的序和绝对值的概念和实数的是相容的。
+- **定义 5.4.8（实数的距离）**：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $d(x,y):=|x-y|$。
+
+- **命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）**：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。
+
+容易证明，有理数的序和绝对值的概念和实数的是相容的。
 
 在实数的序的基础上，我们补充一些有关实数的稠密性的性质。
 
-- **命题 5.4.10（实数在相邻整数之间）**：设 $x$ 是实数，那么存在唯一的整数 $n$ 使得 $n\leq x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
+- **命题 5.4.10（实数在相邻整数之间）**：设 $x$ 是实数，那么存在唯一的整数 $n$ 使得 $n\leqslant x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
 
     **证明**：唯一性反证，现证存在性。设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。
 
-    存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N$ 有 $|a_i-a_j|\leq\frac12$。那么对于任意 $n\geq N$，$a_N-\frac12\leq a_n\leq a_N+\frac12$。
+    存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N$ 有 $|a_i-a_j|\leq\frac12$。那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_N-\frac12\leqslant a_n\leqslant a_N+\frac12$。
 
-    取 $A=[a_N-\frac12]$，则 $0\leq (a_N-\frac12)-A<1$。记 $c=1-((a_N-\frac{1}{2})-A)$ 为正比例数。
+    取 $A=[a_N-\frac12]$，则 $0\leqslant (a_N-\frac12)-A<1$。记 $c=1-((a_N-\frac{1}{2})-A)$ 为正比例数。
 
-    那么对于任意 $n\geq N$，$A\leq a_n\leq A+2-c$。于是 $A\leq x\leq A+2-c<A+2$（因为排版的历史遗留问题，这里要用到推论 5.4.14，但并不会导致循环论证）。
+    那么对于任意 $n\geqslant N$，$A\leqslant a_n\leqslant A+2-c$。于是 $A\leqslant x\leqslant A+2-c<A+2$（因为排版的历史遗留问题，这里要用到推论 5.4.14，但并不会导致循环论证）。
 
-    根据 $A+1$ 和 $x$ 的大小关系分类讨论，即可构造出 $A\leq x<A+1$ 或 $A+1\leq x<A+2$。存在性证毕。
+    根据 $A+1$ 和 $x$ 的大小关系分类讨论，即可构造出 $A\leqslant x<A+1$ 或 $A+1\leqslant x<A+2$。存在性证毕。
 
-- **推论 5.4.11（阿基米德性质）**：设 $x$ 和 $\varepsilon$ 是任意正实数，那么存在正整数 $M$，使得 $M\varepsilon>x$。**证明**：略。
+- **推论 5.4.11（阿基米德性质）**：设 $x$ 和 $\varepsilon$ 是任意正实数，那么存在正整数 $M$，使得 $M\varepsilon>x$。
 
 推论 5.4.11 描述的是，无论 $x$ 多么大，无论正数 $\varepsilon$ 多么小，只要把 $\varepsilon$ 自身不断累加，所得之和总会在有限次大于 $x$。
 
-- **命题 5.4.12**：设 $x$ 和 $y$ 是实数且 $x<y$，那么存在比例数 $z$ 满足 $x<z<y$。
+- **命题 5.4.12**：设 $x$ 和 $y$ 是实数且 $x<y$，那么存在有理数 $z$ 满足 $x<z<y$。
 
     **证明**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，设柯西序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。
 
-    由于 $x\neq y$，那么存在比例数 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $N\geq m$，都存在 $p\geq N$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。根据命题 4.5.2，存在比例数 $\delta_a,\delta_b,z'$ 使得 $0<\delta_a<z'<\varepsilon-\delta_b<\varepsilon$。
+    由于 $x\neq y$，那么存在有理数 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $N\geqslant m$，都存在 $p\geqslant N$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。根据命题 4.5.2，存在有理数 $\delta_a,\delta_b,z'$ 使得 $0<\delta_a<z'<\varepsilon-\delta_b<\varepsilon$。
 
-    存在 $N_a\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_a$，$|a_i-a_j|\leq \delta_a$。存在 $N_b\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_b$，$|b_i-b_j|\leq \delta_b$。
+    存在 $N_a\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_a$，$|a_i-a_j|\leqslant \delta_a$。存在 $N_b\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_b$，$|b_i-b_j|\leqslant \delta_b$。
 
-    存在 $p\geq \max(N_a,N_b)$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。那么对于任意 $i\geq p$，$|a_i-a_p|\leq \delta_a$ 且 $|b_i-b_p|\leq \delta_b$。
+    存在 $p\geqslant \max(N_a,N_b)$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。那么对于任意 $i\geqslant p$，$|a_i-a_p|\leqslant \delta_a$ 且 $|b_i-b_p|\leqslant \delta_b$。
 
-    又由于 $x<y$，综合可知 $a_p+\varepsilon<b_p$，且对于任意 $i\geq p$，有 $a_i\leq a_p+\delta_a<a_p+z'<b_p-\delta_b\leq b_i$。
+    又由于 $x<y$，综合可知 $a_p+\varepsilon<b_p$，且对于任意 $i\geqslant p$，有 $a_i\leqslant a_p+\delta_a<a_p+z'<b_p-\delta_b\leqslant b_i$。
 
     取 $z=a_p+z'$，即可证明 $x<z<y$。
 
@@ -293,55 +296,55 @@
 
 现在我们将柯西序列中元素的序和实数的序联系起来，给出一些性质，以便之后使用。
 
-- **命题 5.4.13（非负实数集是闭的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个非负比例数的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 也是非负的。
+- **命题 5.4.13（非负实数集是闭的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个非负有理数的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 也是非负的。
 
     **证明**：反证易得。
 
-但需要注意，正比例数序列的形式极限不必是正的，它可以是零。我们将在第 12 章中看到对此事实的一个更好的解释：因为正实数集是开的，而非负实数集是闭的。
+但需要注意，正有理数序列的形式极限不必是正的，它可以是零。我们将在第 12 章中看到对此事实的一个更好的解释：因为正实数集是开的，而非负实数集是闭的。
 
-- **推论 5.4.14**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\geq b_n$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\geq \operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。
+- **推论 5.4.14**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\geqslant b_n$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\geqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。
 
     **证明**：结合定义及命题 5.4.13 可知。
 
-注意，因为正比例数序列的形式极限不必是正的，所以上述推论中的 $\geq $ 换成 $>$ 不一定成立。
+注意，因为正有理数序列的形式极限不必是正的，所以上述推论中的 $\geqslant$ 换成 $>$ 不一定成立。
 
-而判定两个实数 $x,y$ 满足 $x<y$ 的正确方式应是：找到比例数 $c>0$ 以及柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 且 $y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，并满足对于任意 $n\geq m$，$b_n-a_n\geq c$。
+而判定两个实数 $x,y$ 满足 $x<y$ 的正确方式应是：找到有理数 $c>0$ 以及柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 且 $y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，并满足对于任意 $n\geqslant m$，$b_n-a_n\geqslant c$。
 
-- **命题 5.4.15**：设实数 $x$ 和柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq x$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\leq x$。
+- **命题 5.4.15**：设实数 $x$ 和柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant x$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\leqslant x$。
 
-    **证明**：考虑证明逆否命题：若 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n>x$，则存在 $n\geq m$ 使得 $a_n>x$。
+    **证明**：考虑证明逆否命题：若 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n>x$，则存在 $n\geqslant m$ 使得 $a_n>x$。
 
-    根据命题 5.4.12，存在有理数 $z$ 使得 $x<z<\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。若对于任意的 $n\geq m$ 都有 $a_n\leq z$，那么根据推论 5.4.14 可知 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\leq z$，故存在 $n\geq 1$ 使得 $a_n>z>x$，证毕。
+    根据命题 5.4.12，存在有理数 $z$ 使得 $x<z<\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。若对于任意的 $n\geqslant m$ 都有 $a_n\leqslant z$，那么根据推论 5.4.14 可知 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\leqslant z$，故存在 $n\geqslant 1$ 使得 $a_n>z>x$，证毕。
 
-对称地，将命题 5.4.15 中的 $\leq $ 换成 $\geq$，同样成立。
+对称地，将命题 5.4.15 中的 $\leqslant$ 换成 $\geqslant$，同样成立。
 
-#### 5.5 界和确界
+## 5.5 界和确界
 
 我们介绍两个关于实数的新概念——界和确界。
 
-- **定义 5.5.1（上界）**：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 $M$ 是 $E$ 的一个上界，当且仅当对于任意 $x\in E$ 有 $x\leq M$。
+- **定义 5.5.1（上界）**：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 $M$ 是 $E$ 的一个上界，当且仅当对于任意 $x\in E$ 有 $x\leqslant M$。
 
-我们可以注意到：有一些集合没有上界（如正实数集 $\mathbb R^+:=\{x\in \mathbb R:x>0\}$），任何数都是 $\varnothing $ 的上界。
+我们可以注意到：有一些集合没有上界（如正实数集 $\mathbb R^+:=\{x\in \mathbb R:x>0\}$），任何数都是 $\varnothing$ 的上界。
 
 - **定义 5.5.2（上确界）**：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 $M$ 是 $E$ 的上确界，当且仅当 $M$ 是 $E$ 的上界，且 $E$ 的任何上界 $M'$ 都大于等于 $M$。
 
 - **命题 5.5.3（确界原理）**：设 $E\subseteq \mathbb R$ 是非空集合，若 $E$ 有上界，那么 $E$ 的上确界存在且唯一。
 
-    **证明**：唯一性：反证。设 $E$ 有两个上确界 $M,M'$，那么根据定义有 $M'\geq M$ 且 $M\geq M'$，即 $M=M'$。
+    **证明**：唯一性：反证。设 $E$ 有两个上确界 $M,M'$，那么根据定义有 $M'\geqslant M$ 且 $M\geqslant M'$，即 $M=M'$。
 
-    存在性：$E$ 是非空集合，设 $x_0\in E$。$E$ 存在上界，设 $M$ 是 $E$ 的上界。那么 $x_0\leq M$。
+    存在性：$E$ 是非空集合，设 $x_0\in E$。$E$ 存在上界，设 $M$ 是 $E$ 的上界。那么 $x_0\leqslant M$。
 
-    设整数 $n\geq 1$，存在整数 $K$ 使得 $M\leq \frac{K}{n}$，存在整数 $L$ 使得 $\frac{L}{n}<x_0$，那么 $L<K$。
+    设整数 $n\geqslant 1$，存在整数 $K$ 使得 $M\leqslant \frac{K}{n}$，存在整数 $L$ 使得 $\frac{L}{n}<x_0$，那么 $L<K$。
 
-    存在唯一的整数 $m_n$ 满足 $L<m_n\leq K$ 使得 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是（固定 $L$ 而对 $K$ 归纳）。
+    存在唯一的整数 $m_n$ 满足 $L<m_n\leqslant K$ 使得 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是（固定 $L$ 而对 $K$ 归纳）。
 
-    注意到，设整数 $N\geq 1$，对于任意 $n,n'\ge N$，由于 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_{n'}-1}{n'}$ 不是，那么有 $\frac{m_{n'}-1}{n'}<\frac{m_n}{n}$，即 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}<\frac{1}{n'}\leq\frac{1}{N}$，同理 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}>-\frac{1}{n}\geq- \frac{1}{N}$，即 $|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}|\leq\frac{1}{N}$。
+    注意到，设整数 $N\geqslant 1$，对于任意 $n,n'\ge N$，由于 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_{n'}-1}{n'}$ 不是，那么有 $\frac{m_{n'}-1}{n'}<\frac{m_n}{n}$，即 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}<\frac{1}{n'}\leqslant\frac{1}{N}$，同理 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}>-\frac{1}{n}\geqslant- \frac{1}{N}$，即 $|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}|\leqslant\frac{1}{N}$。
 
-    那么可以证明 $(\frac{m_n}{n})_{n=1}^{\infty}$ 是一个柯西序列。令 $S=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n}{n}$，我们欲证明 $S$ 就是 $E$ 的上确界。
+    那么可以证明 $(\frac{m_n}{n})_{n=1}^{\infty}$ 是一个柯西序列。令 $S=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)$，我们欲证明 $S$ 就是 $E$ 的上确界。
 
-    先证明 $S$ 是 $E$ 的上界：对于任意 $x\in E$，我们知道对于任意 $n\geq 1$，$x\leq \frac{m_n}{n}$，那么根据命题 5.4.15 可知 $x\leq \operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n}{n}$。
+    先证明 $S$ 是 $E$ 的上界：对于任意 $x\in E$，我们知道对于任意 $n\geqslant 1$，$x\leqslant \frac{m_n}{n}$，那么根据命题 5.4.15 可知 $x\leqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)$。
 
-    再证明 $S$ 是 $E$ 的上确界：对于任意 $E$ 的上界 $y$，对于任意 $n\geq 1$，由于 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是 $E$ 的上界，那么 $\frac{m_n-1}{n}<y$，那么根据命题 5.4.15 可知 $y\geq \operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n-1}{n}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n}{n}=S$。
+    再证明 $S$ 是 $E$ 的上确界：对于任意 $E$ 的上界 $y$，对于任意 $n\geqslant 1$，由于 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是 $E$ 的上界，那么 $\frac{m_n-1}{n}<y$，那么根据命题 5.4.15 可知 $y\geqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n-1}{n}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)=S$。
 
 - **定义 5.5.4（sup）**：设 $E\subseteq \mathbb R$。若 $E$ 非空且存在上界，那么定义 $\sup E$ 为 $E$ 的上确界；若 $E$ 非空且不存在上界，那么定义 $\sup E:=+\infty$；若 $E$ 为空，那么定义 $\sup E:=-\infty$。
 
@@ -351,19 +354,19 @@
 
 - **命题 5.5.5**：存在正实数 $x$ 使得 $x^2=2$。
 
-    **证明**：设集合 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geq 0\land y^2<2\}$ 是 $\mathbb R$ 的子集。显然 $E$ 存在上界。那么就存在上确界 $x:=\sup E$。我们来证明 $x^2=2$，即证不可能有 $x^2<2$ 或 $x^2>2$。
+    **证明**：设集合 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^2<2\}$ 是 $\mathbb R$ 的子集。显然 $E$ 存在上界。那么就存在上确界 $x:=\sup E$。我们来证明 $x^2=2$，即证不可能有 $x^2<2$ 或 $x^2>2$。
 
-    首先，因为 $2$ 是 $E$ 的上界（若 $y>2$ 则 $y^2>4>2$），有 $x\leq 2$。
+    首先，因为 $2$ 是 $E$ 的上界（若 $y>2$ 则 $y^2>4>2$），有 $x\leqslant 2$。
 
-    假设 $x^2<2$。考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x+\varepsilon)^2<2$（那么 $x+\varepsilon\in E$，从而 $x$ 不是 $E$ 的上界，矛盾），而 $(x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2\leq x^2+5\varepsilon$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{2-x^2}{5}$ 即可。
+    假设 $x^2<2$。考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x+\varepsilon)^2<2$（那么 $x+\varepsilon\in E$，从而 $x$ 不是 $E$ 的上界，矛盾），而 $(x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2\leqslant x^2+5\varepsilon$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{2-x^2}{5}$ 即可。
 
-    假设 $x^2>2$，考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x-\varepsilon)^2>2$（从而 $x-\varepsilon$ 是 $E$ 的更小上界，矛盾），而 $(x-\varepsilon)^2=x^2-2x\varepsilon+\varepsilon^2\geq x-3\varepsilon^2$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{x^2-2}{3}$ 即可。
+    假设 $x^2>2$，考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x-\varepsilon)^2>2$（从而 $x-\varepsilon$ 是 $E$ 的更小上界，矛盾），而 $(x-\varepsilon)^2=x^2-2x\varepsilon+\varepsilon^2\geqslant x-3\varepsilon^2$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{x^2-2}{3}$ 即可。
 
 类似地，我们也可以定义下界、下确界以及 $\inf E$。根据对称性，容易证明 $\sup E=-\inf(-E)$，其中 $-E:=\{-x:x\in E\}$。
 
-#### 5.6 实数的有理数次幂
+## 5.6 实数的有理数次幂
 
-类似比例数，我们可以类似地定义实数的整数次幂，以及得到相似的关于整数次幂的性质：
+类似有理数，我们可以类似地定义实数的整数次幂，以及得到相似的关于整数次幂的性质：
 
 - **定义 5.6.1（自然数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是实数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。
 
@@ -371,23 +374,23 @@
 
 - **命题 5.6.3**：命题 4.4.2、引理 4.4.4、引理 4.4.5 和命题 4.4.6 中提及的关于整数次幂的性质对于实数也成立。
 
-    **证明**：审视上述命题的证明，发现它们依赖于比例数的代数算律和序的规则，而以前我们已经证明过了这些对于实数同样成立，故这些命题对于实数也成立。
+    **证明**：审视上述命题的证明，发现它们依赖于有理数的代数算律和序的规则，而以前我们已经证明过了这些对于实数同样成立，故这些命题对于实数也成立。
 
-可以看到，比例数的整数次幂的指数运算和实数的是相容的。
+可以看到，有理数的整数次幂的指数运算和实数的是相容的。
 
 现在我们来定义实数的非整数次幂，先从 $n$ 次根的概念开始。
 
-- **定义 5.6.4**：对于实数 $x>0$ 和整数 $n\geq 1$，定义 $x$ 的 $n$ 次根为实数 $x^{\frac{1}{n}}:=\sup\{y\in\mathbb R:y\geq 0\land y^n\leq x\}$。我们常把 $x^{\frac{1}{2}}$ 记作 $\sqrt x$。
+- **定义 5.6.4**：对于实数 $x>0$ 和整数 $n\geqslant 1$，定义 $x$ 的 $n$ 次根为实数 $x^{\frac{1}{n}}:=\sup\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x\}$。我们常把 $x^{\frac{1}{2}}$ 记作 $\sqrt x$。
 
-    **证明**：只需证明 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geq 0\land y^n\leq x\}$ 非空和存在上界即可。容易发现一定有 $0\in E$。
+    **证明**：只需证明 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x\}$ 非空和存在上界即可。容易发现一定有 $0\in E$。
 
-    存在整数 $N>0$ 使得 $x\leq N$，通过对 $N$ 归纳可以证明存在正整数 $Y$ 使得 $Y^n\geq N\geq x$。那么 $Y$ 是 $E$ 的上界（若 $y>Y$，则 $y^n>Y^n\geq x\implies y\not\in E$）。
+    存在整数 $N>0$ 使得 $x\leqslant N$，通过对 $N$ 归纳可以证明存在正整数 $Y$ 使得 $Y^n\geqslant N\geqslant x$。那么 $Y$ 是 $E$ 的上界（若 $y>Y$，则 $y^n>Y^n\geqslant x\implies y\not\in E$）。
 
-- **引理 5.6.5**：设实数 $x>0,y\geq 0$ 和整数 $n\geq 1$。若 $y^n<x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y+\varepsilon)^n<x$；若 $y^n>x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y-\varepsilon)^n>x$。
+- **引理 5.6.5**：设实数 $x>0,y\geqslant 0$ 和整数 $n\geqslant 1$。若 $y^n<x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y+\varepsilon)^n<x$；若 $y^n>x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y-\varepsilon)^n>x$。
 
-    **证明**：两证明对称，证前面那个。根据 5.6.4 的证明，可知存在正整数 $Y$ 使得 $y\leq Y$，那么对 $n$ 归纳可以证明存在正整数 $k$ 使得 $(y+\varepsilon)^n\leq y^n+k\varepsilon$。那么取 $\varepsilon$ 使得 $0<\varepsilon<\frac{x-y^n}{k}$ 即可。
+    **证明**：两证明对称，证前面那个。根据 5.6.4 的证明，可知存在正整数 $Y$ 使得 $y\leqslant Y$，那么对 $n$ 归纳可以证明存在正整数 $k$ 使得 $(y+\varepsilon)^n\leqslant y^n+k\varepsilon$。那么取 $\varepsilon$ 使得 $0<\varepsilon<\frac{x-y^n}{k}$ 即可。
 
-- **引理 5.6.6**：设实数 $x,y>0$ 和整数 $n,m\geq 1$。
+- **引理 5.6.6**：设实数 $x,y>0$ 和整数 $n,m\geqslant 1$。
 
     1. $(x^{\frac{1}{n}})^n=x$。证明：设 $y=x^{\frac{1}{n}}$，类似命题 5.5.5 的证明，利用引理 5.6.5，可以证明不可能有 $y^n<x$ 或 $y^n>x$。
 
@@ -399,7 +402,7 @@
 
     4. $x>y\iff x^{\frac1n}>y^{\frac1n}$。证明：根据命题 5.6.3 易证。
 
-    5. 若 $x>1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的减函数；若 $x<1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的增函数；若 $x=1$，那么对于任意 $n\geq 1$，$x^{\frac1n}=1$。
+    5. 若 $x>1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的减函数；若 $x<1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的增函数；若 $x=1$，那么对于任意 $n\geqslant 1$，$x^{\frac1n}=1$。
 
         证明：只证第一条，即证 $x^{\frac1n}>x^{\frac1{n+1}}$。可以证明 $x^{\frac1{n+1}}>1$，那么可以对幂次归纳证明 $(x^{\frac1{n+1}})^n<(x^{\frac{1}{n+1}})^{n+1}=x$，于是 $x^{\frac{1}{n+1}}<x^{\frac1n}$。
 
@@ -407,26 +410,26 @@
 
     7. $(x^{\frac1n})^{\frac1m}=x^{\frac1{nm}}$。证明：它们的 $nm$ 次方相等。推论：$(x^{\frac{1}{nm}})^m=x^{\frac{1}{n}}$。
 
-可以证明，$x^{\frac11}$ 和 $x^1$ 是相容的。接下来我们定义实数的比例数次幂。
+可以证明，$x^{\frac11}$ 和 $x^1$ 是相容的。接下来我们定义实数的有理数次幂。
 
-- **定义 5.6.7（比例数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和比例数 $q=\frac{a}{b}$，其中 $a$ 是整数且 $b$ 是正整数，定义 $x^q:=(x^{\frac1b})^a$。
+- **定义 5.6.7（有理数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和有理数 $q=\frac{a}{b}$，其中 $a$ 是整数且 $b$ 是正整数，定义 $x^q:=(x^{\frac1b})^a$。
 
-- **命题 5.6.8（实数关于比例数次求幂遵从代入公理）**：设 $x>0$ 是实数，$a,a'$ 是整数，$b,b'$ 是正整数，且满足 $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$，那么 $(x^{\frac1b})^a=(x^{\frac1{b'}})^{a'}$。
+- **命题 5.6.8（实数关于有理数次求幂遵从代入公理）**：设 $x>0$ 是实数，$a,a'$ 是整数，$b,b'$ 是正整数，且满足 $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$，那么 $(x^{\frac1b})^a=(x^{\frac1{b'}})^{a'}$。
 
     **证明**：$ab'=a'b$。当 $a>0$ 时，$a'>0$，有 $x^{\frac1{ab'}}=x^{\frac{1}{a'b}}$，将等式两边同时取 $aa'$ 次幂，即证。当 $a=0$ 和 $a<0$ 时类似。
 
-容易发现，比例数次幂和整数次幂及定义 5.6.4 是相容的。我们给出比例数次幂的一些基本性质：
+容易发现，有理数次幂和整数次幂及定义 5.6.4 是相容的。我们给出有理数次幂的一些基本性质：
 
-- **引理 5.6.9**：设实数 $x,y>0$ 和比例数 $q,r$。
+- **引理 5.6.9**：设实数 $x,y>0$ 和有理数 $q,r$。
 
     1. $x^q>0$。证明：结合引理 5.6.6.3 和命题 5.6.3。
     
     2. $x^{q+r}=x^qx^r$ 且 $(x^q)^r=x^{qr}$。证明：将 $q,r$ 表示成分数的形式，然后等式两侧同时取幂，利用引理 5.6.6 消掉 $x$ 的幂次中的分母，然后变成整数次幂的形式。
     
-	3. $x^{-q}=\frac{1}{x^q}$。证明：方法同上。
+    3. $x^{-q}=\frac{1}{x^q}$。证明：方法同上。
     
     4. 若 $q>0$，$x>y\iff x^q>y^q$。证明：结合引理 5.6.6.4 和命题 5.6.3。
     
-	5. 若 $x>1$，那么 $x^q<x^r\iff q<r$。若 $x<1$，那么 $x^q<x^r\iff q>r$。证明：将 $q,r$ 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 $q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$，那么 $q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}$）。
+    5. 若 $x>1$，那么 $x^q<x^r\iff q<r$。若 $x<1$，那么 $x^q<x^r\iff q>r$。证明：将 $q,r$ 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 $q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$，那么 $q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}$）。
 
-而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。
+而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。

src/第6章 序列的极限.md

@@ -1,85 +1,84 @@
-### 第 6 章 序列的极限
 
-#### 6.1 收敛及极限的算律
+现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。
 
-现在我们来用真正的极限来代替形式极限。
+## 6.1 收敛及极限的算律
 
-我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对比例数定义转为对实数定义。
+我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对有理数定义转为对实数定义。
 
 - **定义 6.1.1（距离）**：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 $d(x,y)$。
-- **定义 6.1.2（$\varepsilon\overline\ $ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为实数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 接近于 $x$ 的，当且仅当 $d(x,y)\leq \varepsilon$。
+- **定义 6.1.2（$\varepsilon$ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为实数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $x$ 的，当且仅当 $d(x,y)\leqslant \varepsilon$。
 
-容易发现，上述定义和之前比例数的定义是相容的。
+容易发现，上述定义和之前有理数的定义是相容的。
 
-注意，$x$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $y$ 的，当且仅当 $|x-y|\leq \varepsilon$，而非是它们所对应的比例数柯西序列是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的，也非它们所对应的比例数柯西序列是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。
+注意，$x$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $y$ 的，当且仅当 $|x-y|\leqslant \varepsilon$，而非是它们所对应的有理数柯西序列是 $\varepsilon$ 接近的，也非它们所对应的有理数柯西序列是终极 $\varepsilon$ 接近的。
 
-上一章中我们默认 “序列” 指的都是 “比例数序列”，而在这一章中，除特殊标明外，我们默认 “序列” 指的都是 “实数序列”。
+上一章中我们默认 “序列” 指的都是 “有理数序列”，而在这一章中，除特殊标明外，我们默认 “序列” 指的都是 “实数序列”。
 
 - **定义 6.1.3（柯西序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。
 
-    称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geq N$，$d(a_j,a_k)\leq \varepsilon$。
+    称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
 
-    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。
+    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。
 
-    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。
+    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 稳定的。
 
-    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $j,k\geq N$ 有 $|a_j-a_k|\leq \varepsilon$。
+    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant \varepsilon$。
 
 - **定义 6.1.4（等价的序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。
 
-    称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geq m$，$d(a_n,b_n)\leq\varepsilon$。
+    称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$，$d(a_n,b_n)\leqslant\varepsilon$。
 
-    称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geq m$（记 $m=\max(m_a,m_b)$），使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
+    称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$（记 $m=\max(m_a,m_b)$），使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
 
-    称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。
+    称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon$ 接近的。
 
-    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $d(a_n,b_n)\leq \varepsilon$。
+    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。
 
-看上去实数版的等价序列和柯西序列会较比例数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，比例数的柯西序列是相容于这个定义的。
+看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列是相容于这个定义的。
 
 接下来我们将正式定义收敛和极限。
 
 - **定义 6.1.5（序列的收敛）**：设实数 $\varepsilon>0$ 和实数 $L$。
 
-    称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $n\geq N$，$a_n$ 都是 $\varepsilon\overline\ $ 接近于 $L$ 的。
+    称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant N$，$a_n$ 都是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
 
-    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的。
+    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
 
-    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的。
+    称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
 
-    更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n-L|\leq \varepsilon$。
+    更直接的，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant \varepsilon$。
 
 - **命题 6.1.6（极限的唯一性）**：设 $L$ 和 $L'$ 都为实数且 $L\neq L'$，那么一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 不可能同时收敛到 $L$ 和 $L'$。
 
-    **证明**：反证法。不妨设 $L<L'$，那么存在实数 $\delta_1,\delta_2$ 使得 $L<L+\delta_1<L'-\delta_2<L'$。根据假设，存在 $N_1\geq m$ 使得 $(a_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 是 $\delta_1$ 接近于 $L$ 的，存在 $N_2\geq m$ 使得 $(a_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 是 $\delta_2$ 接近于 $L'$ 的。那么对于任意 $n\geq \max(N_1,N_2)$，$|a_n-L|\leq\delta_1$ 且 $|a_n-L'|\leq\delta_2$，这是不可能的。
+    **证明**：反证法。不妨设 $L<L'$，那么存在实数 $\delta_1,\delta_2$ 使得 $L<L+\delta_1<L'-\delta_2<L'$。根据假设，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 是 $\delta_1$ 接近于 $L$ 的，存在 $N_2\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 是 $\delta_2$ 接近于 $L'$ 的。那么对于任意 $n\geqslant \max(N_1,N_2)$，$|a_n-L|\leqslant\delta_1$ 且 $|a_n-L'|\leqslant\delta_2$，这是不可能的。
 
 - **定义 6.1.7（序列的极限）**：如果序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到某实数 $L$，那么我们称该序列是收敛的，且它的极限是 $L$，记作 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$。若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 不收敛到任何实数 $L$，那么我们称该序列是发散的，并且认为 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 无定义。
 
-- **引理 6.1.8（等价序列的极限相等）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 等价，其中 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
+- **引理 6.1.8（等价序列的极限相等）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$，其中 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
 
     **证明**：略。
 
-定义 6.1.7 中，记号 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 并未关注 $m$：因为根据引理 6.1.8 可知，若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到某实数 $L$，那么对于任意 $m'\geq m$，序列 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 同样收敛到实数 $L$。
+定义 6.1.7 中，记号 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 并未关注 $m$：因为根据引理 6.1.8 可知，若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到某实数 $L$，那么对于任意 $m'\geqslant m$，序列 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 同样收敛到实数 $L$。
 
 可以发现，柯西序列和收敛序列的定义有相似之处：柯西序列可以理解成所有数相互不断靠近，而收敛序列可以理解为所有数都向某个数不断靠近。我们给出如下两个命题：
 
 - **命题 6.1.9（收敛序列是柯西序列）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个收敛的序列，那么它是柯西序列。
 
-    **证明**：不妨设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n-L|\leq\frac{\varepsilon}{2}$，那么对于任意 $i,j\geq N$ 也有 $|a_i-a_j|\leq\varepsilon$，证毕。
+    **证明**：不妨设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$，那么对于任意 $i,j\geqslant N$ 也有 $|a_i-a_j|\leqslant\varepsilon$，证毕。
 
-- **命题 6.1.10（形式极限相容于极限/比例数的柯西序列是收敛的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是比例数的柯西序列，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，即 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。
+- **命题 6.1.10（形式极限相容于极限/有理数的柯西序列是收敛的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有理数的柯西序列，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，即 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。
 
-    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，欲证存在 $N\geq m$，使得对于任意 $n\geq N$，$|a_n-\operatorname{LIM}_{k\to \infty}a_k|\leq \varepsilon$，即 $\operatorname{LIM}_{k\to \infty}|a_k-a_n|\leq \varepsilon$。根据定义，存在 $N'\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N'$，$|a_i-a_j|\leq \varepsilon$。取 $N=N'$ 后容易验证成立。
+    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，欲证存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $n\geqslant N$，$|a_n-\operatorname{LIM}_{k\to \infty}a_k|\leqslant \varepsilon$，即 $\operatorname{LIM}_{k\to \infty}|a_k-a_n|\leqslant \varepsilon$。根据定义，存在 $N'\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N'$，$|a_i-a_j|\leqslant \varepsilon$。取 $N=N'$ 后容易验证成立。
 
 实际上，柯西序列和收敛序列是等价的。不过我们将在后面再证明此事。
 
-根据命题 6.1.10，我们已经将之前所定义的比例数的柯西序列和比例数柯西序列的形式极限，相容于实数的柯西序列和实数收敛序列的极限了。
+根据命题 6.1.10，我们已经将之前所定义的有理数的柯西序列和有理数柯西序列的形式极限，相容于实数的柯西序列和实数收敛序列的极限了。
 
 我们同样重新再定义真正的有界序列：
 
-- **定义 6.1.11（有界序列）**：设实数 $M\geq 0$。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geq m$ 有 $|a_n|\leq M$。称一个序列是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。
+- **定义 6.1.11（有界序列）**：设实数 $M\geqslant 0$。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant M$。称一个序列是有界的，当且仅当存在实数 $M\geqslant 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。
 
-同样利用命题 5.4.12，可以证明该定义和比例数版的定义是等价的。类似地，我们仍然可以证明柯西序列是有界的， 这蕴含了收敛序列是有界的。
+同样利用命题 5.4.12，可以证明该定义和有理数版的定义是等价的。类似地，我们仍然可以证明柯西序列是有界的， 这蕴含了收敛序列是有界的。
 
 本节最后，我们来完善极限的基本运算法则。
 
@@ -89,16 +88,16 @@
     2. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_nb_n)=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。
     3. 设 $c$ 为任意实数，$\lim\limits_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。
     4. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n-\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。
-    5. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geq m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n^{-1}=(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)^{-1}$。
-    6. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geq m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$。
+    5. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n^{-1}=(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)^{-1}$。
+    6. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$。
     7. $\lim\limits_{n\to\infty}\max(a_n,b_n)=\max(\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。
     8. $\lim\limits_{n\to\infty}\min(a_n,b_n)=\min(\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。
 
     **证明**：1~6之前都有过类似的证明方法，此处略去。这里证一下7：
 
-    不妨设 $x\geq y$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_1\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N_1$ 有 $|a_n-x|\leq \varepsilon$，存在 $N_2\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N_2$ 有 $|b_n-y|\leq \varepsilon$。考虑对于任意 $n\geq \max(N_1,N_2)$，若 $a_n\geq b_n$，则 $|\max(a_n,b_n)-x|=|a_n-x|\leq\varepsilon$；若 $b_n>a_n$，那么 $b_n>a_n\geq x-\varepsilon$，且 $b_n\leq y+\varepsilon\leq x+\varepsilon$，故同样有 $|b_n-x|\leq\varepsilon$。取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。证毕。
+    不妨设 $x\geqslant y$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_1\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-x|\leqslant \varepsilon$，存在 $N_2\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N_2$ 有 $|b_n-y|\leqslant \varepsilon$。考虑对于任意 $n\geqslant \max(N_1,N_2)$，若 $a_n\geqslant b_n$，则 $|\max(a_n,b_n)-x|=|a_n-x|\leqslant\varepsilon$；若 $b_n>a_n$，那么 $b_n>a_n\geqslant x-\varepsilon$，且 $b_n\leqslant y+\varepsilon\leqslant x+\varepsilon$，故同样有 $|b_n-x|\leqslant\varepsilon$。取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。证毕。
 
-#### 6.2 广义实数系
+## 6.2 广义实数系
 
 之前我们已经使用过记号 $-\infty$ 和 $+\infty$。现在我们正式定义它们，并扩充实数集至广义实数集。
 
@@ -110,16 +109,16 @@
 
     容易验证，该定义仍然满足 $-(-x)=x$。
 
-- **定义 6.2.3（广义实数的序）**：设 $x,y$ 是广义实数。若 $x,y$ 都是实数，那么 $x\leq y$ 已经有了定义；否则，$x\leq y$（$y\geq x$）当且仅当 $x=-\infty$ 或 $y=+\infty$。
+- **定义 6.2.3（广义实数的序）**：设 $x,y$ 是广义实数。若 $x,y$ 都是实数，那么 $x\leqslant y$ 已经有了定义；否则，$x\leqslant y$（$y\geqslant x$）当且仅当 $x=-\infty$ 或 $y=+\infty$。
 
-    同样称 $x<y$（$y>x$）当且仅当 $x\leq y$ 且 $x\neq y$。
+    同样称 $x<y$ 当且仅当 $x\leqslant y$ 且 $x\neq y$。
 
 - **命题 6.2.4（广义实数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 是广义实数。
 
-    - **自反性**：$x\leq x$。
+    - **自反性**：$x\leqslant x$。
     - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰好一个成立。
-    - **传递性**：$x\leq y\land y\leq z\implies x\leq z$。
-    - **负运算反序**：$x\leq y\implies -x\geq -y$。
+    - **传递性**：$x\leqslant y\land y\leqslant z\implies x\leqslant z$。
+    - **负运算反序**：$x\leqslant y\implies -x\geqslant -y$。
 
     **证明**：分类讨论。
 
@@ -137,48 +136,45 @@
 
 - **定理 6.2.6**：设 $E\in \mathbb R^*$。
 
-    - 对于任意 $x\in E$，$x\leq \sup(E)$。
-    - 设 $M$ 是 $E$ 的上界（即，对于任意 $x\in E$，$x\leq M$），那么 $\sup(E)\leq M$。
+    - 对于任意 $x\in E$，$x\leqslant \sup(E)$。
+    - 设 $M$ 是 $E$ 的上界（即，对于任意 $x\in E$，$x\leqslant M$），那么 $\sup(E)\leqslant M$。
 
     **证明**：分类讨论。
 
-对于 $\mathbb R^*$ 的任何子集都存在上确界的一个合理的解释是：$\mathbb R^*$ 本身就是有界集（对于任意 $x\in \mathbb R^*$，$x\leq +\infty$）。
+对于 $\mathbb R^*$ 的任何子集都存在上确界的一个合理的解释是：$\mathbb R^*$ 本身就是有界集（对于任意 $x\in \mathbb R^*$，$x\leqslant +\infty$）。
 
-#### 6.3 序列的上确界和下确界
+## 6.3 序列的上确界和下确界
 
-- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\geq m\})$，其中  $\{a_n:n\geq m\}$ 是 $\{a_n:n\in \mathbb Z_m^{\infty}\}$ 的简写。
+- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\in\mathbb Z_{m..}\})$。
 
 容易发现，一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的当且仅当该序列的 $\sup$ 和 $\inf$ 都是实数。
 
-我们将 $\sup$ 在集合上的性质翻译到序列上来：
-
 - **命题 6.3.2（最小上界性质）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和广义实数 $x:=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。那么
 
-    - 对于任意 $n\geq m$，$a_n\leq x$。
-    - 若 $M$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的一个上界（即对于任意 $n\geq m$，$a_n\leq M$），那么 $x\leq M$。
-    - 若广义实数 $y<x$，那么存在 $n\geq m$ 使得 $y<a_n\leq x$。
-    
-    **证明**：略。
+    1. 对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant x$。
+    2. 若 $M$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的一个上界（即对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant M$），那么 $x\leqslant M$。
+    3. 若广义实数 $y<x$，那么存在 $n\geqslant m$ 使得 $y<a_n\leqslant x$。
 
-对于单调（单增：对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq a_{n+1}$，或单减：对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\geq a_{n+1}$）有界序列，我们有如下很有用的性质：
 
-- **命题 6.3.3（单调有界序列收敛到确界）**：设单增序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是具有有限上界 $M$ 的，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛，且 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}\leq M$。
+对于单调（单增：对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant a_{n+1}$，或单减：对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\geqslant a_{n+1}$）有界序列，我们有如下很有用的性质：
 
-    **证明**：记 $x=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，根据定义，存在 $N\geq m$ 使得 $x-\varepsilon< a_N$，那么对于任意 $n\geq N$，可以归纳得到 $x-\varepsilon<a_n\leq x$，即 $|a_n-x|<\varepsilon$。故 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=x$。
+- **命题 6.3.3（单调有界序列收敛到确界）**：设单增序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是具有有限上界 $M$ 的，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛，且 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}\leqslant M$。
 
-#### 6.4 上极限、下极限和极限点
+    **证明**：记 $x=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，根据定义，存在 $N\geqslant m$ 使得 $x-\varepsilon< a_N$，那么对于任意 $n\geqslant N$，可以归纳得到 $x-\varepsilon<a_n\leqslant x$，即 $|a_n-x|<\varepsilon$。故 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=x$。
+
+## 6.4 上极限、下极限和极限点
 
 有时候，某个序列并不收敛，但一直存在它的元素在某个数附近浮动（如序列 $(1.1,-1.01,1.001,-1.0001,\cdots)$ 不收敛，但对于 $-1$ 和 $1$，都一直有数在它们附近浮动）。为了表示这种情况，我们引入极限点的概念。
 
 - **定义 6.4.1（极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和实数 $x,\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$。
 
-    称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $n\geq m$ 使得 $d(a_n,x)\leq\varepsilon$。
-    
-    称 $x$ 是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，当且仅当对于任意 $N\geq m$，$x$ 都是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
-    
+    称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $n\geqslant m$ 使得 $d(a_n,x)\leqslant\varepsilon$。
+
+    称 $x$ 是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，当且仅当对于任意 $N\geqslant m$，$x$ 都是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
+
     称 $x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon >0$，$x$ 都是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的。
-    
-    更直接地，$x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 和 $N\geq m$，都存在 $n\geq N$ 使得 $|a_n-x|\leq \varepsilon$。
+
+    更直接地，$x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 和 $N\geqslant m$，都存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-x|\leqslant \varepsilon$。
 
 极限点可以理解为：当序列 “趋于稳定” 之后，该序列在二维平面上所形成的点近似地形成了若干条横线，这些横线对应的纵坐标就是极限点。
 
@@ -194,7 +190,7 @@
 
     类似地也有关于下极限的记号 $a_N^-$ 和 $\liminf$。
 
-注意，符号 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ 并未关注 $m$：由于 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$ 是单减的，所以归纳证明对于任意 $m'\geq m$，$\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}=\inf(a_N^+)_{N=m'}^{\infty}$（可以证明，对于 $S\subseteq \mathbb R^*$ 和广义实数 $x$，若存在 $y\in S$ 使得 $y\leq x$，那么 $\inf(S\cup\{x\})=\inf(S)$）。
+注意，符号 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ 并未关注 $m$：由于 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$ 是单减的，所以归纳证明对于任意 $m'\geqslant m$，$\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}=\inf(a_N^+)_{N=m'}^{\infty}$（可以证明，对于 $S\subseteq \mathbb R^*$ 和广义实数 $x$，若存在 $y\in S$ 使得 $y\leqslant x$，那么 $\inf(S\cup\{x\})=\inf(S)$）。
 
 为什么说上极限是一种特殊的极限点？若上极限有限，它一定是极限点中最大的那个：因为后缀最大值最终会不断趋近于上极限，那么考虑取到最大值的那些位置，这些位置就会不断趋近于上极限，所以上极限是极限点。而且上极限一定会大于等于最大的那个极限点，于是上极限就是最大的那个极限点。
 
@@ -202,59 +198,59 @@
 
 - **命题 6.4.4**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，设 $L^+$ 是此序列的上极限，$L^-$ 是此序列的下极限。
 
-    1. 对于任意 $x>L^+$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $a_n<x$。
+    1. 对于任意 $x>L^+$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $a_n<x$。
 
-        证明：存在 $N\geq m$ 使得 $x>a_N^+\geq L^+$，那么对于任意 $n\geq N$，$a_n\leq a_N^+<x$。
+        证明：存在 $N\geqslant m$ 使得 $x>a_N^+\geqslant L^+$，那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_n\leqslant a_N^+<x$。
 
-    2. 对于任意 $x<L^+$ 和 $N\geq m$，存在 $n\geq N$ 使得 $a_n>x$。
+    2. 对于任意 $x<L^+$ 和 $N\geqslant m$，存在 $n\geqslant N$ 使得 $a_n>x$。
 
-        证明：$x<L^+\leq a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么存在 $n\geq N$ 使得 $x<a_n\leq \sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$。
+        证明：$x<L^+\leqslant a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么存在 $n\geqslant N$ 使得 $x<a_n\leqslant \sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$。
 
-    3. $L^-\leq L^+$。
+    3. $L^-\leqslant L^+$。
 
-        证明：首先，可以证明，对于任意 $N^+,N^-\geq m$，$a_{N^-}^-\leq a_{N^+}^+$。
+        证明：首先，可以证明，对于任意 $N^+,N^-\geqslant m$，$a_{N^-}^-\leqslant a_{N^+}^+$。
 
-        反证。若 $L^->L^+$，任取广义实数 $z$ 使得 $L^->z>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N^+\geq m$ 使得 $z>a_{N^+}^+\geq L^+$，存在 $N^-\geq m$ 使得 $L^-\geq a_{N^-}^->z$，那么 $a_{N^-}^->a_{N^+}^+$，矛盾。
+        反证。若 $L^->L^+$，任取广义实数 $z$ 使得 $L^->z>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N^+\geqslant m$ 使得 $z>a_{N^+}^+\geqslant L^+$，存在 $N^-\geqslant m$ 使得 $L^-\geqslant a_{N^-}^->z$，那么 $a_{N^-}^->a_{N^+}^+$，矛盾。
 
-    4. $L^+\leq \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。特别地，若序列有界，那么 $L^-$ 和 $L^+$ 都有限。
+    4. $L^+\leqslant \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。特别地，若序列有界，那么 $L^-$ 和 $L^+$ 都有限。
 
         证明：根据定义可知。
 
-    5. 若 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点，那么 $c\leq L^+$。综合地，$L^-\leq c\leq L^+$。
+    5. 若 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点，那么 $c\leqslant L^+$。综合地，$L^-\leqslant c\leqslant L^+$。
 
-        证明：反证。若 $c>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N\geq m$ 使得 $c>a_N^+\geq L^+$，那么对于任意 $n\geq N$，$a_n\leq a_{N}^+$。又根据极限点的定义，应存在 $n\geq N$ 使得 $|a_n-c|<c-a_{N}^+$，蕴含 $a_n>a_N^+$，矛盾。
+        证明：反证。若 $c>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N\geqslant m$ 使得 $c>a_N^+\geqslant L^+$，那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_n\leqslant a_{N}^+$。又根据极限点的定义，应存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-c|<c-a_{N}^+$，蕴含 $a_n>a_N^+$，矛盾。
 
     6. 若 $L^+$ 是有限的，那么 $L^+$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点。
 
-        证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geq m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geq L^+$，又由于对于任意 $N_2\geq N_1$，$a_{N_1}^+\geq a_{N_2}^+\geq L^+$，于是对于任意 $N\geq m$，总存在 $N_2\geq N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geq L^+$，那么总存在 $n\geq N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geq a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。
+        证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geqslant L^+$，又由于对于任意 $N_2\geqslant N_1$，$a_{N_1}^+\geqslant a_{N_2}^+\geqslant L^+$，于是对于任意 $N\geqslant m$，总存在 $N_2\geqslant N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geqslant L^+$，那么总存在 $n\geqslant N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geqslant a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。
 
     7. $L^+=L^-=c\iff \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$。
 
-        证明：$L^+=L^-=c\implies \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $N^+\geq m$ 使得 $c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geq c$，存在 $N^-\geq m$ 使得 $c\geq a_{N^-}^->c-\varepsilon$，那么对于任意 $n\geq \max(N^+,N^-)$，$c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geq a_n\geq a_{N^-}^->c+\varepsilon$，蕴含 $|a_n-c|<\varepsilon$，证毕。
-        
+        证明：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $N^+\geqslant m$ 使得 $c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant c$，存在 $N^-\geqslant m$ 使得 $c\geqslant a_{N^-}^->c-\varepsilon$，那么对于任意 $n\geqslant \max(N^+,N^-)$，$c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant a_n\geqslant a_{N^-}^->c+\varepsilon$，蕴含 $|a_n-c|<\varepsilon$，证毕。
+
         结合 “收敛序列有界” 和命题 6.4.2，可知 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c\iff L^+=L^-=c$。
 
 
 对于某个收敛于 $L$ 的序列来说，上极限实际上提供了一个序列，使得它的每一元素都大于等于 $L$，且它也收敛于 $L$。这是十分有用的，导出了一些很好的性质：
 
-- **引理 6.4.5（比较原理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq b_n$，那么我们有：
+- **引理 6.4.5（比较原理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant b_n$，那么我们有：
     $$
     \begin{aligned}
-    \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leq \sup(b_n)_{n=m}^{\infty}\\
-    \inf(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leq \inf(b_n)_{n=m}^{\infty}\\
-    \limsup\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leq \limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\\
-    \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leq \liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\\
+    \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leqslant \sup(b_n)_{n=m}^{\infty}\\
+    \inf(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leqslant \inf(b_n)_{n=m}^{\infty}\\
+    \limsup\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leqslant \limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\\
+    \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leqslant \liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\\
     \end{aligned}
     $$
     **证明**：第一条反证，后三条都能从第一条推出来。
 
-- **推论 6.4.6（夹逼定理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，$(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq b_n\leq c_n$。若 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
+- **推论 6.4.6（夹逼定理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，$(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant b_n\leqslant c_n$。若 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
 
-    **证明**：$\limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\leq \limsup\limits_{n\to\infty}(c_n)= L$，$\liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\geq \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)=L$，于是 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
+    **证明**：$\limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\leqslant \limsup\limits_{n\to\infty}(c_n)= L$，$\liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\geqslant \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)=L$，于是 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
 
 - **推论 6.4.7（序列的零判别法）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\iff\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$。
 
-    **证明**：$-|a_n|\leq a_n\leq |a_n|$，再根据夹逼定理可证。
+    **证明**：$-|a_n|\leqslant a_n\leqslant |a_n|$，再根据夹逼定理可证。
 
 - **推论 6.4.8**：若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $L$，那么序列 $(|a_n|)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $|L|$。
 
@@ -264,39 +260,39 @@
 
     **证明**：结合命题 6.1.9，只需证柯西序列是收敛的。根据命题 6.4.4.7，考虑证明 $L^-:=\liminf\limits_{n\to\infty}a_n$ 和 $L^+:=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ 相等。注意柯西序列有界，根据命题 6.4.4.4 可知 $L^-$ 和 $L^+$ 都为实数。
 
-    设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。那么存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n-a_N|\leq\frac{\varepsilon}{2}$ 即 $a_N-\frac\varepsilon2\leq a_n\leq a_N+\frac\varepsilon2$，那么有 $a_N-\frac\varepsilon2\leq \inf(a_n)_{n=N}^{\infty}\leq\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}\leq a_N+\frac\varepsilon2$，即 $|a_N^+-a_N^-|\leq\varepsilon$。那么对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n^+-a_n^-|\leq\varepsilon$，于是 $(a_n^+)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a_n^-)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的，那么根据引理 6.1.8 可知 $L^-=L^+$。
+    设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-a_N|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 即 $a_N-\frac\varepsilon2\leqslant a_n\leqslant a_N+\frac\varepsilon2$，那么有 $a_N-\frac\varepsilon2\leqslant \inf(a_n)_{n=N}^{\infty}\leqslant\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}\leqslant a_N+\frac\varepsilon2$，即 $|a_N^+-a_N^-|\leqslant\varepsilon$，那么对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n^+-a_n^-|\leqslant\varepsilon$，于是 $(a_n^+)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a_n^-)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的，那么根据引理 6.1.8 可知 $L^-=L^+$。
 
-（用度量空间的角度来说（见第 12 章），定理 6.4.9 断言了实数集是一个完全的度量空间，它不像比例数集那样含有 “洞”（比例数集中有大量的柯西序列收敛到非比例数），这个性质紧密联系于最小上界性质。完全性是实数优于比例数的主要特征之一，我们将在后面各章中看到此事）
+（用度量空间的角度来说（见第 12 章），定理 6.4.9 断言了实数集是一个完全的度量空间，它不像有理数集那样含有 “洞”（有理数集中有大量的柯西序列收敛到非有理数），这个性质紧密联系于最小上界性质。完全性是实数优于有理数的主要特征之一，我们将在后面各章中看到此事）
 
-#### 6.5 某些基本的极限
+## 6.5 几个基本的极限
 
 我们现在有了很多工具，我们接下来给出一些基本的极限。
 
 - **引理 6.5.1**：设 $c$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$。**证明**：略。
 
-- **引理 6.5.2**：设 $q>0$ 为比例数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^q}=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}n^q$ 不存在。**证明**：略。
+- **引理 6.5.2**：设 $q>0$ 为有理数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^q}=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}n^q$ 不存在。
 
 - **引理 6.5.3**：设 $x$ 是实数，那么：
 
     $$
     \lim\limits_{n\to\infty}x^n=
     \begin{cases}
-    0&\text{if }|x|<1\\
-    1&\text{if }x=1\\
-    \text{undefined.}&\text{if }x=-1\\
-    \text{undefined.}&\text{if }|x|>1
+    0&\text{如果 }|x|<1\\
+    1&\text{如果 }x=1\\
+    \text{未定义}&\text{如果 }x=-1\\
+    \text{未定义}&\text{如果 }|x|>1
     \end{cases}
     $$
   
     **证明**：先来证明当 $|x|<1$ 的情况。根据推论 6.4.7，只证明 $0<x<1$ 的情况即可。可以证明，$(x^n)_{n=1}^{\infty}$ 是有下界 $0$ 且单减的，那么根据命题 6.3.3，$(x^n)_{n=1}^{\infty}$ 存在极限 $L:=\inf(x^n)_{n=1}^{\infty}$。
     
-    一种方法是直接证明 $L=0$，那么需要说明对于任意实数 $\varepsilon >0$，存在 $n\geq 1$ 使得 $x^n<\varepsilon$，这需要对数，我们暂且做不到。
+    一种方法是直接证明 $L=0$，那么需要说明对于任意实数 $\varepsilon >0$，存在 $n\geqslant 1$ 使得 $x^n<\varepsilon$，这需要对数，我们暂且做不到。
     
-    另一种方法是，根据极限算律，我们知道 $\lim\limits_{n\to\infty}(x^{n+1})=x\lim\limits_{n\to\infty}x^n$，可以证明 $(x^{n+1})_{n=1}^{\infty}\sim (x^n)_{n=1}^{\infty}$（可以证明，若 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，那么对于任意 $k\geq 0$ 有 $(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$），于是 $L=xL$，由于 $x\neq 1$，得 $L=0$。
+    另一种方法是，根据极限算律，我们知道 $\lim\limits_{n\to\infty}(x^{n+1})=x\lim\limits_{n\to\infty}x^n$，可以证明 $(x^{n+1})_{n=1}^{\infty}\sim (x^n)_{n=1}^{\infty}$（可以证明，若 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，那么对于任意 $k\geqslant 0$ 有 $(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$），于是 $L=xL$，由于 $x\neq 1$，得 $L=0$。
     
-    对于 $x=1$ 和 $x=-1$，证明略去。
+    对于 $x=1$ 和 $x=-1$，证明显然。
     
-    对于 $|x|>1$，根据推论 6.4.8，只证明 $x>1$ 的情况即可。假设 $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ 存在且等于 $L$，注意到 $x^n$ 是单增的，那么根据命题 6.3.3，$\sup(x^n)_{n=1}^{\infty}=L$ 是有限的。那么存在 $N\geq 1$ 使得 $\frac{L}{x}<x^N\leq L$，那么 $x^{N+1}>L$，矛盾。
+    对于 $|x|>1$，根据推论 6.4.8，只证明 $x>1$ 的情况即可。假设 $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ 存在且等于 $L$，注意到 $x^n$ 是单增的，那么根据命题 6.3.3，$\sup(x^n)_{n=1}^{\infty}=L$ 是有限的。那么存在 $N\geqslant 1$ 使得 $\frac{L}{x}<x^N\leqslant L$，那么 $x^{N+1}>L$，矛盾。
     
 - **引理 6.5.4**：设 $x>0$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{1}{n}}=1$。
 
@@ -304,15 +300,15 @@
 
     类似的，也可以证明存在极限 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{2}{n}}$。然后考虑证明 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{2}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac1n}$，从而 $L^2=L$，那么 $L=1$。
 
-    设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。因为 $(x^{\frac2n})_{n=1}^{\infty}$ 存在极限，那么它是柯西序列，那么存在 $N\geq 1$，使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{2}{2n}}|\leq \varepsilon$ 即 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{1}{n}}|\leq\varepsilon$。那么 $(x^{\frac{2}{n}})_{n=1}^{\infty}\sim(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$，根据引理 6.1.8 即证。
+    设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。因为 $(x^{\frac2n})_{n=1}^{\infty}$ 存在极限，那么它是柯西序列，那么存在 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{2}{2n}}|\leqslant \varepsilon$ 即 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{1}{n}}|\leqslant\varepsilon$。那么 $(x^{\frac{2}{n}})_{n=1}^{\infty}\sim(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$，根据引理 6.1.8 即证。
 
-#### 6.6 子序列
+## 6.6 子序列
 
-//关于子序列起始项的问题，我还没想清楚，暂时先按照书上的，默认都以 $0$ 为起始。
+我们子序列起始项默认都以 $0$ 为起始。
 
 为了更方便地描述极限点，我们引入子序列的概念。
 
-- **定义 6.6.1（子序列）**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$。若存在一个函数 $f:\mathbb N\to \mathbb N$，它严格增（即对于任意 $n\geq 0$，$f(n)<f(n+1)$），且对于任意 $n\geq 0$，$b_n=a_{f(n)}$，那么称 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的一个关于 $f$ 子序列。
+- **定义 6.6.1（子序列）**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$。若存在一个函数 $f:\mathbb N\to \mathbb N$，它严格增（即对于任意 $n\geqslant 0$，$f(n)<f(n+1)$），且对于任意 $n\geqslant 0$，$b_n=a_{f(n)}$，那么称 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的一个关于 $f$ 子序列。
 
 子序列满足自反性和传递性。
 
@@ -321,23 +317,21 @@
     - **自反性**：$(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列。
     - **传递性**：若 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列，$(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(c_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列，那么 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(c_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列。
 
-    **证明**：略。
-
 注意，子序列虽然和子集的概念很像，但它并不满足反传递性（如 $(2,1,2,1,\cdots)$ 和 $(1,2,1,2,\cdots)$ 互为子序列，但它们不相等）。
 
-- **引理 6.6.3**：设序列 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列。那么对于任意 $n\geq0$，存在 $n'\geq 0$ 使得 $f(n')\geq n$。
+- **引理 6.6.3**：设序列 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列。那么对于任意 $n\geqslant0$，存在 $n'\geqslant 0$ 使得 $f(n')\geqslant n$。
 
     **证明**：对 $n$ 归纳。
 
 - **命题 6.6.4**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和实数 $L$。那么 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$ 当且仅当 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的每个子序列都收敛到 $L$。
 
-    **证明**：设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_a\geq 0$ 使得对于任意 $n\geq N_a$ 有 $|a_n-L|\leq \varepsilon$，存在 $N_b\geq N_a$ 使得 $f(N_b)\geq N_a$，那么对于任意 $n\geq N_b$，$|b_n-L|\leq\varepsilon$，证毕。
+    **证明**：设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_a\geqslant 0$ 使得对于任意 $n\geqslant N_a$ 有 $|a_n-L|\leqslant \varepsilon$，存在 $N_b\geqslant N_a$ 使得 $f(N_b)\geqslant N_a$，那么对于任意 $n\geqslant N_b$，$|b_n-L|\leqslant\varepsilon$，证毕。
 
 - **命题 6.6.5**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和实数 $L$。那么 $L$ 是序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点当且仅当存在 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列收敛到 $L$。
 
-    **证明**：设 $L$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点，递归构造 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$：根据定义，存在 $p> f(n-1)$（初始当 $n=1$ 时，这里改为 $p\geq 0$），使得 $|a_p-L|\leq \frac{1}{n}$，那么令 $f(n)=p$ 且 $b_n=a_{f(n)}=a_p$。根据命题 2.1.7，该定义成功。然后容易验证 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $L$。
+    **证明**：设 $L$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点，递归构造 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$：根据定义，存在 $p> f(n-1)$（初始当 $n=1$ 时，这里改为 $p\geqslant 0$），使得 $|a_p-L|\leqslant \frac{1}{n}$，那么令 $f(n)=p$ 且 $b_n=a_{f(n)}=a_p$。根据命题 2.1.7，该定义成功。然后容易验证 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $L$。
 
-    设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列且收敛到 $L$。设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数和 $N\geq 0$ 为任意整数。根据定义，存在 $N_b\geq 0$ 使得对于任意 $n\geq N_b$ 有 $|b_n-L|\leq\varepsilon$。根据引理 6.6.3，存在 $N_a\geq 0$ 使得 $f(N_a)\geq N$，那么取任意 $n\geq \max(N_a,N_b)$，满足 $f(n)\geq N$ 且 $|b_n-L|\leq \varepsilon$ 即 $|a_{f(n)}-L|\leq\varepsilon$。证毕。
+    设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列且收敛到 $L$。设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数和 $N\geqslant 0$ 为任意整数。根据定义，存在 $N_b\geqslant 0$ 使得对于任意 $n\geqslant N_b$ 有 $|b_n-L|\leqslant\varepsilon$。根据引理 6.6.3，存在 $N_a\geqslant 0$ 使得 $f(N_a)\geqslant N$，那么取任意 $n\geqslant \max(N_a,N_b)$，满足 $f(n)\geqslant N$ 且 $|b_n-L|\leqslant \varepsilon$ 即 $|a_{f(n)}-L|\leqslant\varepsilon$。证毕。
 
 一个很著名的定理是：
 
@@ -345,35 +339,35 @@
 
     **证明**：由于 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 有界，那么 $\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ 有限，那么它就是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点。
 
-#### 6.7 实数的指数运算
+## 6.7 实数的指数运算
 
-现在，我们定义实数的实数次幂的指数运算，以完善实数的指数运算。
+现在，我们定义实数的实数次幂的指数运算，以完善指数运算。
 
-- **定义 6.7.1（实数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是比例数序列，定义 $x^{\alpha}:=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}$。
+- **定义 6.7.1（实数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有理数序列，定义 $x^{\alpha}:=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}$。
 
     **证明**：先假设 $x>1$。我们需证明 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 收敛，即它是柯西序列。
 
-    需要估计 $|x^{a_i}-x^{a_j}|$ 的上界，并用 $|a_i-a_j|$ 来表示。不妨设 $a_i\geq a_j$，那么 $|x^{a_i}-x^{a_j}|=x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)$。又由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，不妨设界为 $M$，那么 $x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)\leq x^M(x^{a_i-a_j}-1)$。
+    需要估计 $|x^{a_i}-x^{a_j}|$ 的上界，并用 $|a_i-a_j|$ 来表示。不妨设 $a_i\geqslant a_j$，那么 $|x^{a_i}-x^{a_j}|=x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)$。又由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，不妨设界为 $M$，那么 $x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)\leqslant x^M(x^{a_i-a_j}-1)$。
 
-    我们将对任意 $\varepsilon>0$ 要求 $x^M(x^{a_i-a_j}-1)\leq \varepsilon$，即 $x^{a_i-a_j}\leq \frac{\varepsilon}{x^M}+1$。（再化下去应该是 $a_i-a_j\leq \log_x(\frac{\varepsilon}{x^M}+1)$，但我们还未定义对数函数）。在引理 6.5.4 中我们证明了，$(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$ 是收敛于 $1$ 的，那么存在 $k\geq 1$ 使得 $|x^{\frac{1}{k}}-1|\leq\frac{\varepsilon}{x^M}$ 即 $x^{\frac1k}\leq\frac\varepsilon{x^M}+1$。于是，我们只需 $|a_i-a_j|\leq\frac1k$ 即可，这是可以做到的。
+    我们将对任意 $\varepsilon>0$ 要求 $x^M(x^{a_i-a_j}-1)\leqslant \varepsilon$，即 $x^{a_i-a_j}\leqslant \frac{\varepsilon}{x^M}+1$。再化下去应该是 $a_i-a_j\leqslant \log_x(\frac{\varepsilon}{x^M}+1)$，但我们还未定义对数函数（而且会导致循环定义）。但在引理 6.5.4 中我们证明了，$(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$ 是收敛于 $1$ 的，那么存在 $k\geqslant 1$ 使得 $|x^{\frac{1}{k}}-1|\leqslant\frac{\varepsilon}{x^M}$ 即 $x^{\frac1k}\leqslant\frac\varepsilon{x^M}+1$。于是，我们只需 $|a_i-a_j|\leqslant\frac1k$ 即可，这是可以做到的。
 
     对于 $0<x<1$ 和 $x=1$，情况类似。
 
-- **命题 6.7.2（实数关于实数次求幂遵从代入公理）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a'_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=m'}^{\infty}$ 都是比例数序列，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a'_n}$。
+- **命题 6.7.2（实数关于实数次求幂遵从代入公理）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a'_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=m'}^{\infty}$ 都是有理数序列，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a'_n}$。
 
     **证明**：我们需要证明 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 和 $(x^{a_{n}})_{n=m'}^{\infty}$ 等价。这需要我们估计 $|x^{a_n}-x^{a_{n'}}|$ 的上界，并用 $|a_n-a_{n'}|$ 来表示。那么接下里的类似定义 6.7.1 的证明。
 
-容易证明，实数关于比例数次求幂是相容于上述定义的。
+容易证明，实数关于有理数次求幂是相容于上述定义的。
 
-我们现在想要证明，引理 5.6.9 提及的实数关于比例数次幂的性质对于实数也成立。但是这并不简单，我们需要一些引理。
+我们现在想要证明，引理 5.6.9 提及的实数关于有理数次幂的性质对于实数也成立。但是这并不简单，我们需要不少引理。
 
-- **引理 6.7.3**：设 $E\subseteq\mathbb R^+$ 和比例数 $q$。若 $q\geq 0$，那么 $\sup (E^q)=\sup(E)^q$；若 $q<0$，那么 $\sup(E^q)=\inf(E)^q$。
+- **引理 6.7.3**：设 $E\subseteq\mathbb R^+$ 和有理数 $q$。若 $q\geqslant 0$，那么 $\sup (E^q)=\sup(E)^q$；若 $q<0$，那么 $\sup(E^q)=\inf(E)^q$。
 
-    **证明**：略。
+    **证明**：由定义可得。
 
-- **引理 6.7.4**：设比例数 $q$ 和收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n>0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n^q=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)^q$。
+- **引理 6.7.4**：设比例数 $q$ 和收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n>0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n^q=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)^q$。
 
-    **证明**：不妨设 $q\geq 0$（$q<0$ 同理）。记 $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，$b_n=a_n^q$。根据引理 6.7.3，对于任意 $N\geq m$，由于 $a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么 $b_N^+=\sup(a_n^q)_{n=N}^{\infty}=(a_N^+)^q$。又由于 $L_a^+=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，于是 $L_b^+=\inf((a_N^+)^q)_{N=m}^{\infty}=(L_a^+)^q$。
+    **证明**：不妨设 $q\geqslant 0$（$q<0$ 同理）。记 $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，$b_n=a_n^q$。根据引理 6.7.3，对于任意 $N\geqslant m$，由于 $a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么 $b_N^+=\sup(a_n^q)_{n=N}^{\infty}=(a_N^+)^q$。又由于 $L_a^+=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，于是 $L_b^+=\inf((a_N^+)^q)_{N=m}^{\infty}=(L_a^+)^q$。
 
     同理可证 $L_b^-=(L_a^-)^q$。根据命题 6.4.4.7，有 $L_a^-=L_a^+=L$，那么 $L_b^-=L_b^+=L^q$，那么 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L^q$。
 
@@ -381,23 +375,26 @@
 
     1. $x^\alpha>0$。
 
-        证明：设 $x>1$。找到 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的界 $M$，那么 $\forall_{n\geq 1},x^{a_n}\geq x^{-M}$，于是 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 正远离零。对于 $0<x<1$ 和 $x=1$，情况类似。
+        证明：设 $x>1$。找到 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的界 $M$，那么 $\forall_{n\geqslant 1},x^{a_n}\geqslant x^{-M}$，于是 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 正远离零。对于 $0<x<1$ 和 $x=1$，情况类似。
 
     2. $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta$。
 
         证明：$x^{\alpha+\beta}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n+b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}x^{b_n}=(\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n})(\lim\limits_{n\to\infty}x^{b_n})=x^{\alpha}x^{\beta}$。
 
+
+
     3. $x^{-\alpha}=\frac{1}{x^\alpha}$。
 
         证明：$x^{-\alpha}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{-a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x^{a_n}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}}=\frac{1}{x^{\alpha}}$。
 
     4. 若 $x>1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha<\beta$。若 $x<1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha>\beta$。
 
+
         证明：假设 $x>1$，对于 $x<1$ 的情况类似。
 
-        $\alpha<\beta\implies x^{\alpha}<x^{\beta}$：存在比例数 $z_1,z_2$，使得 $\alpha<z_1<z_2<\beta$。容易证明，存在比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ 且对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq z_1$，存在比例数序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\beta$ 且对于任意 $n\geq m$ 有 $z_2\leq b_n$。
+        $\alpha<\beta\implies x^{\alpha}<x^{\beta}$：存在比例数 $z_1,z_2$，使得 $\alpha<z_1<z_2<\beta$。容易证明，存在比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant z_1$，存在比例数序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\beta$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $z_2\leqslant b_n$。
 
-        那么对于任意 $n\geq m$，$a_n\leq z_1<z_2\leq b_n$，那么 $x^{a_n}\leq x^{z_1}<x^{z_2}\leq x^{b_n}$，根据引理 6.4.5 可知 $x^{\alpha}\leq x^{z_1}<x^{z_2}\leq x^{\beta}$。
+        那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant z_1<z_2\leqslant b_n$，那么 $x^{a_n}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{b_n}$，根据引理 6.4.5 可知 $x^{\alpha}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{\beta}$。
 
         $x^{\alpha}<x^{\beta}\implies \alpha<\beta$：若 $\alpha>\beta$，则 $x^{\alpha}>x^{\beta}$ 矛盾。若 $\alpha=\beta$，则 $x^{\alpha}=x^{\beta}$（代入公理）矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $\alpha<\beta$。
 
@@ -411,8 +408,8 @@
 
     7. 若 $\alpha>0$，$x>y\iff x^\alpha>y^\alpha$。
     
-        证明：由于 $\alpha>0$，不妨设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么对于任意 $n\geq m$，$a_n>0$。
+        证明：由于 $\alpha>0$，不妨设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n>0$。
     
-        $x^\alpha>y^\alpha\implies x>y$：$x^{\alpha}>y^{\alpha}$ 说明存在 $n\geq m$ 使得 $x^{a_n}>y^{a_n}$，那么 $x>y$。
+        $x^\alpha>y^\alpha\implies x>y$：$x^{\alpha}>y^{\alpha}$ 说明存在 $n\geqslant m$ 使得 $x^{a_n}>y^{a_n}$，那么 $x>y$。
     
         $x>y\implies x^{\alpha}>y^{\alpha}$：若 $x^\alpha<y^\alpha$，那么 $x<y$ 矛盾。若 $x^\alpha=y^\alpha$，那么 $(x^\alpha)^{\frac1\alpha}=(y^\alpha)^\frac1\alpha$ 即 $x=y$ 矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $x^\alpha>y^\alpha$。