@@ -36,3 +36,3 @@
 注：对比两种定义方式，可以看出：
 
-1. 两种定义方式都是公理化的，而非构造性的。
+1. 两种定义方式都是**公理化**的，而非**构造性**的。

@@ -124,3 +124,3 @@
 - **定义 2.2.5（正自然数）**：一个自然数被称为正的，当且仅当它不等于 $0$。
 
-- **引理 2.2.6**：对于任意自然数 $n$，$n++$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。
+- **引理 2.2.6（后继是整数）**：对于任意自然数 $n$，$n^+$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。

@@ -127,2 +126,3 @@
+- **引理 2.2.6（后继是整数）**：对于任意自然数 $n$，$n^+$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。
 
-- **命题 2.2.7**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。**证明**：对 $b$ 归纳。
+- **命题 2.2.7（正数的感染性）**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。

@@ -423,3 +421,2 @@
-     构造映射 $h:Y^X\to \mathbb N_1^{(m^n)}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^ng(p(f^{-1}(i)))\cdot Y^{i-1}$。
+     构造映射 $h:Y^X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m^n\}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^n(g\circ p\circ f^{-1})(i)\cdot Y^{i-1}$。
 
-     此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum_{i=1}^na(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\mathbb N_1^n\to \mathbb N$。

@@ -421,3 +419,2 @@
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。
 
-     构造映射 $h:Y^X\to \mathbb N_1^{(m^n)}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^ng(p(f^{-1}(i)))\cdot Y^{i-1}$。

@@ -419,3 +417,2 @@
-  6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\#(Y^X)=(\#(Y))^{\#(X)}$。
+  6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(Y^X)=(\operatorname{card}Y)^{\operatorname{card}X}$。
 
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。

@@ -413,3 +411,2 @@
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。
 
-     构造映射 $h:X\times Y\to \mathbb N_1^{nm}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。

@@ -411,3 +409,2 @@
-  5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\#(X\times Y)=\#(X)\times \#(Y)$。
+  5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(X\times Y)=\operatorname{card}X\times \operatorname{card}Y$。
 
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。

@@ -393,3 +391,2 @@
-     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \mathbb N_1^{n+m}$。
+     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n+m\}$。
 
-     根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\#(Z)\leq n+m$，当且仅当 $Z=\mathbb N_1^{n+m}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\#(X\cup Y)\leq n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\mathbb N_1^{n+m}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时取等。

@@ -391,3 +389,2 @@
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。
 
-     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \mathbb N_1^{n+m}$。

@@ -389,3 +387,2 @@
-  3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\#(X\cup Y)\leq \#(X)+\#(Y)$，当且仅当 $X,Y$ 不交时取等。
+  3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant \operatorname{card}X+\operatorname{card}Y$，当且仅当 $X,Y$ 不交时等号成立。
 
-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。

@@ -360,4 +358,3 @@
 
 - **定理 3.6.7**：$\mathbb N$ 是无限集。
 
-  **证明**：反证法。若 $\mathbb N$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\mathbb N_1^n$ 到 $\mathbb N$ 的双射 $f$。

@@ -341,3 +339,2 @@
-- **引理 3.6.4**：设集合 $X$ 具有基数 $n++$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。
+- **引理 3.6.4（基数的可减性）**：设集合 $X$ 具有基数 $n^+$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。
 
-  **证明**：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\mathbb N_{1}^{n++}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus\{x\}$ 到 $\mathbb N_1^n$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：

@@ -333,3 +331,2 @@
-容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。
+容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。对于一个有限集，我们可以用一个自然数来表示其集合的大小，即其所含元素的个数。
 
-- **定义 3.6.2**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素），当且仅当它与集合 $\mathbb N_1^n$ 具有相同的基数。

@@ -12,2 +11,3 @@
+纯粹集合论认为一切对象都是集合。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易（例如，纯粹集合论可以把 $0$ 看做 $\varnothing$，$1$ 看做 $\left\{\varnothing\right\}$，$2$ 看做 $\left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$，以此类推）。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知的态度。即我们既不添加公理确认这一点，也不添加公理否认这一点，而在现在的公理体系中，命题“一切对象都是集合”是未决的（不能证明也不能推翻）。
 
-我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些集合间的二元关系。
+我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些仅适用于集合间的二元关系。

@@ -29,1 +31,3 @@
-    证明：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\not\subseteq A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C\not\subseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。
+    **证明**：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\nsubseteq A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C\nsubseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。
+
+集合的真包含关系显然是一种**偏序关系**，因为我们知道对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，不可能同时成立 $A\subsetneq B$ 和 $B\subsetneq A$。但是真包含关系与我们定义在自然数上的小于关系 $<$ 的不同之处在于，后者是一种**全序关系**。在满足偏序性质的基础上，我们还知道对于两个不相等的数 $a$ 和 $b$，要么成立 $a>b$，要么成立 $b>a$。对于集合的真包含关系而言，这一条性质是不满足的。考虑集合 $A=\left\{1,2\right\}$ 和 $B=\left\{2,3\right\}$，它们既不相等，也没有哪一个是另一个的真子集。

@@ -34,3 +38,3 @@
   
-  - **自反性**：$A=A$。证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
+  - **自反性**：$A=A$。**证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
   

@@ -59,3 +61,3 @@
   $$
   x\in A\cup B\iff (x\in A \lor x\in B)
-  $$
+ $$

@@ -77,3 +79,3 @@
 这是假设 2.1.6 的更正式的形式。自然数集引入了无限集合的一个最基本的例子。
 
-现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 $y$ 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：
+但另一方面，我们还不能对于任意给定的自然数 $n$ 定义由 $n$ 个对象组成的集合。这将要求重复使用双并公理 $n$ 次，然而 $n$ 次重复的概念尚不曾被严格地定义（没有关于集合的归纳方法）。根据类似的理由，我们也还不能定义由无限多个对象组成的集合。现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 $y$ 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：

@@ -98,2 +101,3 @@
-  1. **最小元**：$A\cup\varnothing=A$ 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$。
+  设 $A,B,C,X$ 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。
 
+  1. **最小元**：$A\cup\varnothing=A$ 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$。

@@ -114,3 +112,1 @@
-  **证明**：把集合用命题的形式表示出来（即类似 “$x\in S\iff P(x)$”），再用逻辑语言验证。
-
-但我们还是不满足，比如我们不能定义一个集合，满足 $\{0\},\{1\},\cdots$ 都属于这个集合，这又需要一个新的公理：
+这些公理还不能满足我们的要求，例如把集合中的元素每个都加上 $1$，把 $\left\{1,6, 15\right\}$ 变为 $\left\{2,7,16\right\}$，这是我们现在有的公理无法办到的。我们需要更加强大的数学工具，因此让我们再添加一个公理：

@@ -136,2 +132,3 @@
+  $$
 
-该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理不能被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：
+该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理**不能**被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：

@@ -147,3 +144,3 @@
 > 即一切不以自己为元素的集合的集合。那么现在问 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，发现不管 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，都会引出矛盾。
 
-为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是原始对象（不是集合的对象），在下一层次中则是一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了正则公理。
+为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是**原始对象**（不是集合的对象），在下一层次中则存在一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了**正则公理**。

@@ -156,2 +154,4 @@
+  **证明**：（反证法）假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left\{A\right\}$。$B$ 是一个非空的集合，因此根据正则公理，应该存在 $x\in B$，满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$，但是集合 $B$ 作为单元素集，只有 $A\in B$，而 $A$ 是一个集合，且 $A\cap B=A$，故 $B$ 集合违反正则公理，矛盾，假设不成立。原命题得证。
+  
 
 命题 3.2.3 排除了罗素悖论中定义的集合 $\Omega$。（注意我们并没有将万有分类公理引入集合论中，所以不存在公理矛盾）

@@ -253,3 +253,3 @@
 为了完整起见，我们现在再往集合论中添加一条公理，它扩充了双并公理而允许做出更大的并集。
 
-- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集合，且它的每个元素都是一个集合。那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$
+- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集类（即它的每个元素都是一个集合），那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$

@@ -285,3 +285,3 @@
   注意，该定义不依赖于 $\beta$ 的选择。
 
-集合论的这些我们已经引入的公理统称为集合论的 Zermelo-Fraenkel 公理。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的 Zermelo-Fraenkel 选择公理。
+集合论的这些我们已经引入的公理统称为ZF公理集合论（_Zermelo-Fraenkel Set Theory_，策梅洛-弗兰克尔集合论）。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的ZFC公理集合论（_Zermelo-Fraenkel-Choise Set Theory_，策梅洛-弗兰克尔-选择集合论）。

@@ -328,2 +325,3 @@
+  **证明**：对 $n$ 归纳。每次选择一个 $a\in X_{n^+}$ 并令 $x_{n^+}=a$。
 
-为了方便，我们用 $\mathbb N_{l}^r$ 表示 $\{i\in\mathbb N:l\leq i\leq r\}$。
+## 3.6 集合的基数

@@ -263,2 +247,3 @@
+  3. 若 $x,y>0$ 且 $n\neq 0$，那么 $x^n=y^n\implies x=y$。
+  4. $|x^n|=|x|^n$。
 
-    **证明**：先利用整数的定义和引理 4.4.5 将 $x^n$ 表示成 $x^{a-b}=\frac{x^a}{x^b}$ 的形式（其中 $a,b$ 均为自然数），再证明即可。

@@ -253,3 +239,2 @@
-- **引理 4.4.5**：设 $x$ 是一个非零的比例数，$n,m$ 是自然数，那么 $x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$。
+- **引理 4.4.5（指数消去率）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，$n,m$ 是自然数，那么 $x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$。
 
-    **证明**：对 $n$ 归纳，利用引理 4.4.4。

@@ -152,3 +137,2 @@
-  **证明**：把比例数都表示成 $a//b$ 的形式，再运用整数的性质代入验证即可。
+  **证明**：把有理数都表示成 $a\oslash b$ 的形式，再运用整数的性质代入验证即可。
 
-上述恒等式的集合有一个名称，它们确定比例数集 $\mathbb Q$ 构成一个域。

@@ -13,3 +13,2 @@
-可以证明，整数相等满足自反性、对称性和传递性。
+- **命题 4.1.1.1（整数的相等关系是等价关系）**：整数相等满足自反性、对称性和传递性。
 
-- **定义 4.1.2（整数的加法和乘法）**：定义两个整数的和为 $(a\overline\quad b)+(c\overline\quad d):=(a+c)\overline\quad (b+d)$。

@@ -4,2 +3,3 @@
+## 4.1 整数
 
-- **定义 4.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\overline\quad b$（注意中间不是减号，这只是一个形象的记号）。
+- **定义 4.1.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\ominus b$（注意中间不是减号，这只是一个形式记号）。

@@ -12,2 +11,3 @@
+整数的定义并不需要公理，因为我们可以用集合论的语言来构造整数：我们先对自然数的序偶建立一个等价关系 $\sim$，使得 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$，然后令整数 $a \ominus  b:=\{(c,d)\in\mathbb N\times \mathbb N:(a,b)\sim(c,d)\}$，表示一个关于 $\sim$ 的等价类。那么此时两个整数相等即为二者是同一个等价类。然后我们再利用替换公理构造出集合 $\mathbb Z:=\{a\ominus b:(a,b)\in \mathbb N\times \mathbb N\}$。形象的说，所谓整数，就是可以写成两个自然数的形式差的数。
 
-可以证明，整数相等满足自反性、对称性和传递性。
+- **命题 4.1.1.1（整数的相等关系是等价关系）**：整数相等满足自反性、对称性和传递性。

@@ -61,1 +56,3 @@
-上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个交换环（如果去掉恒等式 $xy=yx$（当然需要补上 $1x=x$ 及右分配律），那么它们仅确定 $\mathbb Z$ 构成一个环）。
+  **证明**：把整数都表示成 $a\ominus b$ 的形式，注意 $a$ 和 $b$ 此时是自然数，那么再运用自然数的性质即可。
+
+满足上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个**交换环**（如果去掉恒等式 $xy=yx$ 并补上 $1x=x$ 及右分配律，那么仅能够确定 $\mathbb Z$ 构成一个环。如果你对相关知识感兴趣，可以参考一本抽象代数书籍）。

@@ -87,3 +84,3 @@
 - **定义 4.1.10（整数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是整数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正整数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负整数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x= y$。
 
-- **命题 4.1.11（比例数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数。
+- **命题 4.1.11（有理数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数，那么

@@ -284,3 +270,3 @@
   **证明**：显然 $x\neq 0$。又由于 $(-x)^2=x^2$，所以不妨设 $x$ 是正的，那么存在正整数 $p,q$ 使得 $x=\frac{p}{q}$。根据 $x^2=2$，可得 $p^2=2q^2$。
 
-  我们还没有定义奇数和偶数的概念，不过我们可以暂且使用：$p^2=2q^2$ 可知 $p^2$ 是偶数，即 $p$ 是偶数。不妨设 $p=2k$，其中 $k$ 应是一个小于 $p$ 的正数。那么存在 $(2k)^2=2q^2$ 即 $q^2=2k^2$。我们每次从 $(p,q)$ 递归到 $(q,k)$，而括号内的两数中至少一个变小。也就是说，我们能无限地让括号内的两数 $a,b$ 变小下去（准确地说是轮流除 $2$），并说它们一直是正数，根据引理 4.5.3，这显然是不可能的。
+  我们还没有定义奇数和偶数的概念，不过我们可以暂且使用：$p^2=2q^2$ 可知 $p^2$ 是偶数，即 $p$ 是偶数。不妨设 $p=2k$，其中 $k$ 应是一个小于 $p$ 的正数。那么存在 $(2k)^2=2q^2$ 即 $q^2=2k^2$。我们每次从 $(p,q)$ 递归到 $(q,k)$，而括号内的两数中至少一个变小。也就是说，我们能无限地让括号内的两数 $a,b$ 变小下去（准确地说是轮流除 $2$），并说它们一直是正数，根据引理 4.4.3，这显然是不可能的。

@@ -260,3 +259,2 @@
-在实数的序的基础上，我们补充一些有关实数的稠密性的性质。
+- **命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）**：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。
 
-- **命题 5.4.10（实数在相邻整数之间）**：设 $x$ 是实数，那么存在唯一的整数 $n$ 使得 $n\leq x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。

@@ -346,3 +345,3 @@
 - **定义 5.5.4（sup）**：设 $E\subseteq \mathbb R$。若 $E$ 非空且存在上界，那么定义 $\sup E$ 为 $E$ 的上确界；若 $E$ 非空且不存在上界，那么定义 $\sup E:=+\infty$；若 $E$ 为空，那么定义 $\sup E:=-\infty$。
 
-在这里，$+\infty$ 和 $-\infty$ 都是形式上的记号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。
+在这里，$+\infty$ 和 $-\infty$ 都是没有形式上的记号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。

@@ -229,3 +206,2 @@
-        证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geq m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geq L^+$，又由于对于任意 $N_2\geq N_1$，$a_{N_1}^+\geq a_{N_2}^+\geq L^+$，于是对于任意 $N\geq m$，总存在 $N_2\geq N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geq L^+$，那么总存在 $n\geq N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geq a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。
+        证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geqslant L^+$，又由于对于任意 $N_2\geqslant N_1$，$a_{N_1}^+\geqslant a_{N_2}^+\geqslant L^+$，于是对于任意 $N\geqslant m$，总存在 $N_2\geqslant N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geqslant L^+$，那么总存在 $n\geqslant N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geqslant a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。
 
-    7. $L^+=L^-=c\iff \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$。

@@ -192,4 +171,3 @@
 
 - **定义 6.4.3（上极限）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列。我们定义一个新序列 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，其中 $a_N^+:=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$。然后我们定义序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的上极限为 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n:=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$。
 
-    类似地也有关于下极限的记号 $a_N^-$ 和 $\liminf$。

@@ -186,15 +165,13 @@
 
 - **命题 6.4.2（极限是极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $c$。那么 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 唯一的极限点。
 
-    **证明**：存在性易证。唯一性反证。

@@ -170,4 +151,3 @@
 
 有时候，某个序列并不收敛，但一直存在它的元素在某个数附近浮动（如序列 $(1.1,-1.01,1.001,-1.0001,\cdots)$ 不收敛，但对于 $-1$ 和 $1$，都一直有数在它们附近浮动）。为了表示这种情况，我们引入极限点的概念。
 
-- **定义 6.4.1（极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和实数 $x,\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$。

@@ -147,3 +131,2 @@
-#### 6.3 序列的上确界和下确界
+## 6.3 序列的上确界和下确界
 
-- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\geq m\})$，其中  $\{a_n:n\geq m\}$ 是 $\{a_n:n\in \mathbb Z_m^{\infty}\}$ 的简写。

@@ -39,4 +25,3 @@
 
 接下来我们将正式定义收敛和极限。
 
-- **定义 6.1.5（序列的收敛）**：设实数 $\varepsilon>0$ 和实数 $L$。

@@ -15,4 +8,0 @@
-
-上一章中我们默认 “序列” 指的都是 “比例数序列”，而在这一章中，除特殊标明外，我们默认 “序列” 指的都是 “实数序列”。
-
-- **定义 6.1.3（柯西序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。

@@ -387,3 +360,4 @@
 
         证明：$x^{\alpha+\beta}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n+b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}x^{b_n}=(\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n})(\lim\limits_{n\to\infty}x^{b_n})=x^{\alpha}x^{\beta}$。
 
+

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   $$
 
-分类可以看成关于集合 $A$ 和命题 $P$ 的运算。可以证明 “若 $A=B$，则 $\{x\in A:P(x)\}=\{x\in B:P(x)\}$”，即集合关于分类运算遵从代入公理。
+分类可以看成关于集合 $A$ 和命题 $P$ 的运算。可以证明 “若 $A=B$，则 $\{x\in A:P(x)\}=\{x\in B:P(x)\}$”，即集合关于分类运算遵从代入公理。为了方便指明一个数集的的连续的一段我们使用记号 $A_{l..r}$ 表示 $\{x\in A:l\leqslant x\leqslant r\}$，特别地，我们记 $A_{l..}:=\{x\in A:l\leqslant x\},A_{..r}:=\{x\in A:x\leqslant r\}$。

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 实数的构造将依赖于柯西序列的概念。而在定义柯西序列之前，我们先来做一些铺垫。
 
-- **定义 5.1.1（序列）**：设 $m$ 是整数。一个比例数的无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个从 $\mathbb Z_m^{\infty}$ 到 $\mathbb Q$ 的映射，其中 $n$ 映射到 $a_n$。
+- **定义 5.1.1（序列）**：设 $m$ 是整数。一个有理数的无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个从 $\mathbb Z_m^{\infty}$ 到 $\mathbb Q$ 的映射，其中 $n$ 映射到 $a_n$。