src/第3章 集合论.md

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      容易证明 $h$ 是个双射，证毕。
 
-经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。
+经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。这使得我们可以很容易地论证有限集合中有一个最大的数和最小的数。
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+- **命题 3.6.9（有限集的最小元和最大元）**：设 $S\subset\mathbb N$ 为非空有限集，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记作 $\min S$。对称地，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\geqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最大元，记作 $\max S$。
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+	**证明**：这里只给出最小元的证明，最大元同理。（同一法）首先证明最小元存在性。（数学归纳法）设关于 $x$ 的命题 $p(x)$ 为真当且仅当 $\forall_{S\subset\mathbb N,\operatorname{card}S=x}$，有 $\min S$ 存在。
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+	对于任意一个单元素集 $\{a\}\subset\mathbb N$，$a$ 显然是 $\{a\}$ 的最小元，且 $\operatorname{card}\{a\}=1$，故 $p(1)$ 为真。
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+	假设 $p(n)$ 为真，考虑任意一个集合 $S\subset\mathbb N$，满足 $\operatorname{card}S=n+1$，由于 $S$ 为非空集合，故可以找到一个元素 $a\in S$。由于 $p(n)$ 为真，故 $S\setminus\{a\}$ 存在最小元，记作 $b$。若 $a>b$ 则根据定义 $b$ 为 $S$ 的最小元。若 $a<b$ 则 $a$ 为 $S$ 的最小元。综上所述，$p(n)\implies p(n+1)$。
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+	故对于任何一个非空有限集 $S\subset\mathbb N$，$S$ 都存在最小元。
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+	然后证明唯一性。（反证法）若 $n,m$ 均为集合 $S$ 的最小元，则根据定义有 $n\leqslant m$ 和 $m\leqslant n$，故一定有 $m=n$。
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+当然，任何一个有限非空集合（其元素不一定是）如果能够按照某种方式定义全序关系，则其也一定包含最小元和最大元（但是不一定唯一）。
 
 至此，我们对于集合的讨论告一段落。

src/第8章 无限集合.md

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 可数集意味着存在一种方式可以给集合中的所有元素编号，这使得我们可以将集合中的所有元素用无限序列的形式表示出来，并施加归纳法。
 
-- **命题 8.1.2（良序原理）**：设非空集合 $X\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in X$，使得对于任意 $m\in X$ 有 $n\leqslant m$。且 $n=\inf(X)$。
+- **命题 8.1.2（良序原理）**：设非空集合 $S\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in S$，使得对于任意 $m\in S$ 有 $n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记为 $\min(S)$。
 
-    称 $n$ 为集合 $X$ 的最小元，记为 $\min(X)$。
+    **证明**：（同一法）首先证明存在性，由于 $S$ 不为空集，存在一个自然数 $m\in S$。考虑集合 $S':=\left\{x\in S:x\leqslant m\right\}$ 显然为非空有限集，根据 3.6.9，$S'$ 存在最小元，记作 $a$，根据定义有 $a\leqslant m$。对于任意 $x\in S$，若 $x\in S'$，则必有 $a\leqslant x$，若 $a\not\in S'$，则必有 $x\geqslant m\geqslant a$。故 $a$ 为集合 $S$ 的最小元。
 
-    **证明**：唯一性：若 $n,n'$ 都是集合 $X$ 的最小元，那么 $n\leqslant n'$ 和 $n'\leqslant n$ 同时成立，得到 $n=n'$。
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-    存在性：设 $n=\inf(X)$，只需证明 $n\in X$ 即可。反证，若 $n\not\in X$：
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-    首先 $X$ 非空且有下界 $0$，故 $n$ 非 $-\infty,+\infty$ 且为非负实数。根据命题 5.4.10，存在唯一的整数 $A$ 满足 $A\leqslant n<A+1$。
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-    对于任意 $x\in X$，有 $x\geqslant n$，又 $n\not\in X$，于是 $x>n$，那么 $x\geqslant A+1$。于是 $A+1$ 也是 $X$ 的下界，矛盾。
+	然后证明唯一性。（反证法）若 $n,n'$ 都是集合 $S$ 的最小元，那么 $n\leqslant n'$ 和 $n'\leqslant n$ 同时成立，得到 $n=n'$。
 
 - **命题 8.1.3**：设无限集 $X\subseteq \mathbb N$，那么存在唯一一个双射 $f:\mathbb N\to X$，满足对于任意 $n\in\mathbb N$，$f(n)< f(n+1)$。