lcw-analyze/src/第11章 黎曼积分.md

\newcommand{\d}{\text d}

11.1 划分

• 定义 11.1.1：设 $X\subseteq \mathbb R$，称 X 是连通的，当且仅当对于任意 x,y\in X 且 $x<y$，有 $[x,y]\in X$。

在 13.4 中将定义更一般的连通性的概念，它适用于任意度量空间。

• 引理 11.1.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，那么 X 是有界且连通的，当且仅当 X 是有界区间。

  证明：从上确界和下确界的角度构造。

• 引理 11.1.3：设 I,J 是有界区间，那么 I\cap J 也是有界区间。

  证明：最简洁的方式是从连通的角度考虑。

• 定义 11.1.4（区间的长度）：设 I 是有界区间。若存在 a,b\in\mathbb R 且 a<b 满足 I 为 [a,b],(a,b),(a,b],[a,b) 之一，则定义 I 的长度为 $|I|:=b-a$；否则 I 是空集或单元素集，则定义 I 的长度为 $|I|:=0$。

• 定义 11.1.5（划分）：设 I 是有界区间。称一个由区间构成的有限集 P 是 I 的一个划分，当且仅当 P 中的区间都是 I 的子集，且任意 I 中的元素都恰属于 P 中的一个区间。

• 定理 11.1.6：设 I 是有界区间，P 是 I 的一个划分。那么 $|I|=\sum_{J\in P}|J|$。

  证明：对 \operatorname{card} P 归纳。

• 定义 11.1.7（加细）：设 I 是有界区间，P 和 P' 都是 I 的划分。称 P' 比 P 更细（或称 P' 是 P 的加细，或称 P 比 P' 更粗），当且仅当对于任意 J'\in P' 都存在 J\in P 使得 $J'\subseteq J$。

• 定义 11.1.8（公共加细）：设 I 是有界区间，P 和 P' 都是 I 的划分。定义 P 和 P' 的公共加细为 $P# P':={J\cap J':J\in P,J'\in P'}$。

• 引理 11.1.9：设 I 是有界区间，P 和 P' 都是 I 的划分。那么 P\# P' 也是 I 的划分，且同时是 P 和 P' 的加细。

11.2 逐段常值函数

• 定义 11.2.1（常值函数）：设 $X\subseteq\mathbb R$，f:X\to\mathbb R 是函数。

  称 f 是常值的，当且仅当存在 c\in\mathbb R 使得对于任意 x\in X 有 $f(x)=c$。此时称 c 是 f 的常数值。

  设 $E\subseteq X$，称 f 在 E 上是常值的，当且仅当 f|_E 是常值函数。

当 X 非空时，f 的常数值唯一。

• 定义 11.2.2（逐段常值函数）：设 I 是有界区间，f:I\to\mathbb R 是函数。

  设 P 是 I 的划分。称 f 是关于 P 逐段常值的，当且仅当对于任意 $J\in P$，f 在 J 上是常值的。

  称 f 是逐段常值的，当且仅当存在 I 的划分 P 使得 f 是关于 P 逐段常值的。

• 引理 11.2.3：设 I 是有界区间，P 是 I 的划分，P' 是 P 的加细，f:I\to\mathbb R 是关于 P 的逐段常值函数。那么 f 也是关于 P' 逐段常值的。

• 引理 11.2.4：设 I 是有界区间，f:I\to\mathbb R 和 g:I\to\mathbb R 都是逐段常值函数，$c\in\mathbb R$。那么 f+g,f-g,cd,fg,\max(f,g),\min(f,g) 都是逐段常值函数。且若对于任意 x\in I 有 $g(x)\neq 0$，则 \frac fg 也是逐段常值函数。

• 定义 11.2.5（逐段常值积分 1）：设 I 是有界区间，P 是 I 的划分，f:I\to\mathbb R 是关于 P 的逐段常值函数。定义 f 关于 P 的逐段常值积分为：

  
  \textit{p.c.}\int_{[P]}f:=\sum_{J\in P}c_J|J|
  

  其中 c_J 为 f 在 J 上的常数值。特别地，当 J 为空集时，取 $c_J:=0$。

• 定义 11.2.6（逐段常值积分 2）：设 I 是有界区间，f:I\to\mathbb R 是逐段常值函数，那么存在 P 是 I 的划分满足 f 是关于 P 逐段常值的。定义 f 的逐段常值积分 \textit{p.c.}\int_If 为 f 关于 P 的逐段常值积分。

  证明：我们需要证明，对于 I 的不同划分 P,P' 满足 f 关于 P 和关于 P' 都是逐段常值的，有 f 关于 P 的逐段常值积分和 f 关于 P' 的逐段常值积分相同。先证明 P' 是 P 的加细时的情况，再利用公共加细即可。

  当 P' 为 P 的加细时，考虑由 S(J):=\{J'\in P':J'\subseteq J\} 定义的函数 $S:P\to 2^{P'}$，证明好 S 的性质即可。

逐段常值积分很直观地对应于面积的概念，所以可以较容易地证明下述命题。

• 定理 11.2.7：设 I 是有界区间，f:I\to\mathbb R 和 g:I\to\mathbb R 是逐段常值函数。

  1. $\textit{p.c.}\int_I(f+g)=\textit{p.c.}\int_If+\textit{p.c.}\int_Ig$。
  2. $\textit{p.c.}\int_I(f-g)=\textit{p.c.}\int_If-\textit{p.c.}\int_Ig$。
  3. 设 c 是实数，则 $\textit{p.c.}\int_I(cf)=c(\textit{p.c.}\int_If)$。
  4. 设对于任意 x\in I 有 $f(x)\geq 0$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq 0$。
  5. 设对于任意 x\in I 有 $f(x)\geq g(x)$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq \textit{p.c.}\int_Ig$。
  6. 设 J 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases} 定义的函数 F:J\to\mathbb R 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_JF=\textit{p.c.}\int_If$。
  7. 设 \{J,K\} 是 I 的划分，则 f|_J 和 f|_K 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_If=\textit{p.c.}\int_Jf|_J+\textit{p.c.}\int_Kf|_K$。

11.3 上黎曼积分和下黎曼积分

• 定义 11.3.1：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 f:X\to R 和 $g:X\to\mathbb R$。记 $g\geq f$（或记 $f\leq g$），当且仅当对于任意 x\in X 有 $g(x)\geq f(x)$。

• 定义 11.3.2（上黎曼积分和下黎曼积分）：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界函数，定义 f 的上黎曼积分为：

  
  \overline\int_If:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
  

  类似地定义 f 的下黎曼积分 $\underline\int_If$。

• 引理 11.3.3：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界函数，M 是它的界，那么：

  
  -M|I|\leq \underline\int_If\leq \overline\int_If\leq M|I|
  

  证明：为证 $\overline\int_If\leq M|I|$，构造由 g(x):=M 定义的函数 $g:I\to\mathbb R$，显然它是关于 \{I\} 逐段常值的且 $\textit{p.c.}\int_Ig=M|I|$，而 $g\geq f$。

  为证 $\underline\int_If\leq \overline\int_If$，即 \sup A\leq \inf B 的形式，证明任意 A 中元素小于等于任意 B 中元素即可（显然 A,B 都是非空的）。

• 定义 11.3.4（黎曼积分）：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界函数。

  若 $\underline\int_If=\overline\int_If$，我们就称 f 黎曼可积，并定义 $\int_If:=\underline\int_If=\overline\int_If$。

  否则称 f 不是黎曼可积的。

  当 f 定义域包含 I 时，有时将 \int_If|_I 简记作 $\int_If$。

当 f 是一个表达式的形式时，例如 $xy$，为了明确 f 是函数 $f(x):=xy$，会写成 $\int_If\text dx$。

黎曼积分的概念对应于 “最佳的面积拟合”，其中拟合手法是通过不断细分划分时的上下逐段常值函数的逼近。

• 引理 11.3.5（逐段常值积分相容于黎曼积分）：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的逐段常值函数，那么 f 有黎曼可积的，且 $\int_If=\textit{p.c.}\int_If$。

• 定义 11.3.6（黎曼和）：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界函数，P 是 I 的划分。定义上黎曼和：

  
  U(f,P):=\sum_{J\in P:J\neq \varnothing}\left(\sup_{x\in J}f(x)\right)|J|
  

  类似地定义下黎曼和 $L(f,P)$。

• 引理 11.3.7：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界函数，g:I\to\mathbb R 是关于某划分 P 逐段常值的函数且满足 $g\geq f$，那么：

  
  \textit{p.c.}\int_Ig\geq U(f,P)
  

  关于下黎曼和也有类似的结论。

• 命题 11.3.8：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界函数，那么：

  
  \overline\int_If=\inf\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}
  

  对于下黎曼积分也有类似地结论。

  证明：设 $A=\left{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right}$，$B={U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}}$。对于任意 $a\in A$，根据引理 11.3.7，存在 b\in B 使得 $b\leq a$，从而可得 $\inf B\leq \inf A$。而对于任意 $b\in B$，通过构造可知存在 a\in A 使得 $a=b$，从而 $\inf A\leq \inf B$。那么 $\inf A=\inf B$。

若函数黎曼可积，那么总能找到 $P$，使得 U(f,P)-L(f,P) 是任意小的。

• 命题 11.3.9：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的黎曼可积函数，那么对任意 $\varepsilon>0$，存在 I 的划分 $P$，使得 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

  证明：存在 I 的划分 P,Q 使得 $U(f,P)-L(f,Q)<\varepsilon$，那么 $U(f,P# Q)-L(f,P# Q)<\varepsilon$。

• 命题 11.3.10：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的函数，$S\in\mathbb R$，那么下列命题等价：

  1. f 在 I 上有界且黎曼可积，且 $\int_If=S$。
  2. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 I 的划分 P 满足 $\max_{J\in P}|J|\leq\delta$，以及 \xi:P\to\mathbb R 满足 $\xi_J\in J$（从而 J 非空），都有 $\big|\sum_{J\in P}f(\xi_J)|J|-S\big|<\varepsilon$。

  证明：2->1：若 f 在 I 上无界。存在 $\delta>0$，使得对任意 I 的划分 P 满足 $\max_{J\in P}|J|\leq\delta$，以及 \xi:P\to\mathbb R 满足 $\xi_J\in J$，都有 $\big|\sum_{J\in P}f(\xi_J)|J|-S\big|<1$。那么先任意找一个 I 的划分 P 满足 $\max_{J\in P}|J|\leq\delta$，可证 f 必定在某个 J\in P 上无界，从而可以将 \big|f(\xi_J)|J|\big| 无限放大，而 \sum_{J'\in P,J\neq J'}f(\xi_{J'})|J'| 固定为常数。从而 \sum_{J'\in P}f(\xi_{J'})|J'| 可以是无界的，矛盾。

  设 \varepsilon>0 是任意正实数。那么存在 I 的划分 P 以及 \xi:P\to\mathbb R 满足 $\xi(J)\in J$，满足 $f(\xi_J)>\sup_{x\in J} f(x)-\varepsilon$，以及 $\sum_{J\in P}f(\xi_J)|J|<S+\varepsilon$，从而：

  
  U(f,P)=\sum_{J\in P}\big(\sup_{x\in J} f(x)\big)|J|<\sum_{J\in P}(f(\xi_J)+\varepsilon)|J|<S+\varepsilon+|I|\varepsilon
  

  另一侧同理，那么易证 f 在 I 上黎曼可积且 $\int_I f=S$。

  1->2：设 f 有界 $M>0$。设 \varepsilon>0 是任意正实数。根据命题 11.3.9，存在 I 的划分 $P$，使得 $S-\varepsilon<L(f,P)\leq S\leq U(f,P)<S+\varepsilon$。

  设 $\delta>0$。设 I 的划分 Q 满足 $\max_{K\in Q}|K|\leq\delta$，以及 \xi:Q\to\mathbb R 满足 $\xi_{K}\in K$。一方面，对任意 $J\in P$，满足 K\cap J\neq\varnothing 且 K\not\subseteq J 的 K\in Q 至多有两个；一方面，任意 K\in Q 必然和某个 J\in P 有非空的交。设 $Q'={K\in Q:\text{不存在 }J\in P\text{ 使得 }K\subseteq J}$，那么 $\operatorname{card}Q'\leq 2\operatorname{card} P$。

  存在 \Phi:Q\setminus Q'\to P 使得 K\subseteq \Phi(K) 对任意 K\in Q\setminus Q' 成立。那么：

  
  \begin{aligned}
  \sum_{K\in Q}f(\xi_K)|K|=\sum_{K\in Q'}f(\xi_K)|K|+\sum_{K\in Q\setminus Q'}f(\xi_K)|K|<\sum_{K\in Q'
  }M\delta+\sum_{K\in Q\setminus Q'}\sup_{x\in \Phi(K)}f(x)|K|\\
  \leq2\delta\operatorname{card} P+\sum_{J\in  P}\sup_{x\in J}f(x)\sum_{K\in Q\setminus Q'}|K|\leq 2\delta\operatorname{card} P+\sum_{J\in  P}\sup_{x\in J}f(x)|J|<2\delta\operatorname{card P}+S+\varepsilon
  \end{aligned}
  

  另一侧同理，那么易得 2。

11.4 黎曼积分的基本性质

• 定理 11.4.1（黎曼积分算律）：设 f:I\to\mathbb R 和 g:I\to\mathbb R 都是有界区间 I 上的黎曼可积函数。

  1. 函数 f+g 是黎曼可积的，且 $\int_I(f+g)=\int_If+\int_Ig$。
  2. 函数 f-g 是黎曼可积的，且 $\int_I(f-g)=\int_If-\int_Ig$。
  3. 设 c 是实数，那么函数 cf 是黎曼可积的，且 $\int_I(cf)=c(\int_If)$。
  4. 设对于任意 x\in I 有 $f(x)\geq 0$，那么 $\int_If\geq 0$。
  5. 设对于任意 x\in I 有 $f(x)\geq g(x)$，那么 $\int_If\geq \int_Ig$。
  6. 设 J 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases} 定义的函数 F:J\to\mathbb R 也是黎曼可积的，且 $\int_JF=\int_If$。
  7. 设 \{J,K\} 是 I 的划分，则 f|_J 和 f|_K 也是黎曼可积的，且 $\int_If=\int_Jf+\int_Kf$。

  证明：证明都是类似的，这里只证 1。

  设 $A:=\left{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f+g\right}$，$B:=\left{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f\right}$，$C:=\left{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq g\right}$。根据定理 11.2.7 可知，对于任意 b\in B 和 $c\in C$，$b+c\in A$，那么可知 $\inf A\leq \inf B+\inf C$，即 $\overline\int_I(f+g)\leq \overline\int_If+\overline\int_Ig=\int_If+\int_Ig$。同理可得 $\underline\int_I(f+g)\geq \int_If+\int_Ig$。再结合 \underline\int_I(f+g)\leq \overline\int_I(f+g) 即证。

• 定理 11.4.2：设 f:I\to\mathbb R 和 g:I\to\mathbb R 都是有界区间 I 上的黎曼可积函数。那么 \max(f,g) 和 \min(f,g) 都是黎曼可积的。

  证明：只证 $\max(f,g)$。设 \varepsilon>0 是任意正实数，那么存在逐段常值函数 \underline f 使得 \underline f\leq f 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$，同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。我们知道 \max(\underline f,\underline g) 仍是逐段常值函数且 $\max(\underline f,\underline g)\leq \max(f,g)$，从而 $\int_I\max(\underline f,\underline g)\leq \underline\int_I\max(f,g)$，对于 \max(\overline f,\overline g) 同理。那么：

  
  \begin{aligned}
  \overline\int_I\max(f,g)-\underline\int_I\max(f,g)&\leq \int_I\max(\overline f,\overline g)-\int_I\max(\underline f,\underline g)\\
  &=\int_I\max(\overline f,\overline g)-\max(\underline f,\underline g)\\
  &\leq \int_I(\overline f-\underline f)+(\overline g-\underline g)\\
  &=\int_I\overline f-\int_I\underline f+\int_I\overline g-\int_I\underline g\\
  &\leq 4\varepsilon
  \end{aligned}
  

  然后易证 $\underline\int_I \max(f,g)=\overline\int_I\max(f,g)$。

定理 11.4.2 的证明关键是，证明 \max(f,g) 仍然是夹在 \max(\underline f,\underline g),\max(\overline f,\overline g) 之间的，而 $\max(\overline f,\overline g)-\max(\underline f,\underline g)\leq \max(\overline f-\underline f,\overline g-\underline g)\leq (\overline f-\underline f)+(\overline g-\underline g)$。

• 推论 11.4.3：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的黎曼可积函数，那么正部 f_+:=\max(f,0) 和负部 f_-:=\min(f,0) 是黎曼可积的，绝对值 |f|:=f_+-f_- 也是黎曼可积的。

• 定理 11.4.4：设 f:I\to\mathbb R 和 g:I\to\mathbb R 都是有界区间 I 上的黎曼可积函数。那么 fg 是黎曼可积的。

  证明：先考虑 f,g\geq 0 的情况。由于 f,g 黎曼可积，那么 f,g 有界，不妨设界为 $M$。

  设 \varepsilon>0 是任意正实数。存在逐段常值函数 \underline f 使得 0\leq \underline f\leq f 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$（先在无 0\leq \underline f' 要求的情况下取出 $\underline f'$，再取 $\underline f:=\max(0,\underline f')$），同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。那么 \underline f\underline g 仍是逐段常值函数且 $\underline f\underline g\leq fg$，从而 $\int_I\underline f\underline g\leq \underline\int_I fg$，对于 \overline f\overline g 同理。那么：

  
  \begin{aligned}
  \overline\int_Ifg-\underline\int_Ifg&\leq \int_I\overline f\overline g-\int_I\underline f\underline g\\
  &=\int_I\overline f(\overline g-\underline g)+\int_I\underline g(\overline f-\underline f)\\
  &\leq \int_IM(\overline g-\underline g)+\int_IM(\overline f-\underline f)\\
  &=M\int_I(\overline g-\underline g)+M\int_I(\overline f-\underline f)\\
  &\leq 4M\varepsilon
  \end{aligned}
  

  然后易证 $\underline\int_Ifg=\overline\int_I fg$。

  对于更一般的情况，将 fg 拆成 $(f_+-f_-)(g_+-g_-)=f_+g_+-f_-g_+-f_+g_-+f_-g_-$，根据推论 11.4.3 可知 f_+,f_-,g_+,g_- 都是黎曼可积的，然后就是 f,g\geq0 的情况了。

• 引理 11.4.5：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的黎曼可积函数，P 是 I 的分法，那么 $\int_If=\sum_{J\in P}\int_J f$。

  证明：结合定理 11.4.1.7，对 \operatorname{card}P 归纳。

11.5 连续函数的黎曼可积性

• 定理 11.5.1：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的一致连续函数，那么 f 是黎曼可积的。

  证明：只考虑实数 a,b 满足 a<b 且 I=[a,b) 的情况，其他情况类似。

  设 \varepsilon>0 是任意正实数，那么存在 \delta>0 使得对于任意 x,y\in [a,b) 且 |x-y|<\delta 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。

  存在正整数 $N>0$，使得 $N\geq \frac{b-a}{\delta}$，那么容易得到 [a,b) 的一个大小为 N 的划分 $P$，其中每个区间的长度都等于 $\frac{b-a}{N}\leq \delta$。那么：

  
  \begin{aligned}
  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq U(f,P)-L(f,P)\\
  &=\sum_{J\in P}\left(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)\right)\frac{b-a}{N}\\
  &\leq \sum_{J\in P}\varepsilon \frac{b-a}{N}\\
  &=\varepsilon(b-a)
  \end{aligned}
  

  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。

f 一致连续意味着，只要划分的每段长度都足够小，就能使得每段的极差在 \varepsilon 以内，从而总面积的差在 \varepsilon|I| 以内。

• 引理 11.5.2：设 f:I\to\mathbb R 是有界闭区间 I 上的连续函数，那么 f 是黎曼可积的。

  证明：结合定理 9.9.6 和定理 11.5.1 可得。

• 命题 11.5.3：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界连续函数，那么 f 是黎曼可积的。

  证明：只考虑实数 a,b 满足 a<b 且 I=(a,b) 的情况，其他情况类似。

  设 M 是 f 的界，\delta 是 (0,\frac{b-a}{2}) 中的任意实数，那么 $a+\delta<b-\delta$。那么根据引理 11.5.2，f|_{[a+\delta,b-\delta]} 是黎曼可积的，于是存在逐段常值函数 \underline g 使得 \underline g\leq f|_{[a+\delta,b-\delta]} 且 $\int_{[a+\delta,b-\delta]}f-\delta\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline g\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}f$，同理存在 $\overline g$。

  由 \underline f(x):=\begin{cases}\underline g(x)&x\in[a+\delta,b-\delta]\\-M&x\not\in [a+\delta,b-\delta]\end{cases} 定义函数 $\underline f:I\to\mathbb R$，那么 \underline f\leq f 且 \underline f 是逐段常值函数，同理定义 $\overline f$。那么：

  
  \begin{aligned}
  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq \int_I\overline f-\int_I\underline f\\
  &=\left(\int_{(a,a+\delta)}\overline f-\int_{(a,a+\delta)}\underline f\right)+\left(\int_{[a+\delta,b-\delta]}\overline f-\int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline f\right)+\left(\int_{(b-\delta,b)}\overline f-\int_{(b-\delta,b)}\underline f\right)\\
  &<4M\delta+2\delta
  \end{aligned}
  

  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。

命题 11.5.3 表明，对于 f(x):=\sin\frac{1}{x} 这样的函数 $f:(0,1]\to\mathbb R$，即使对于任意划分 $P$，f 在 P 上的任意上逐段常值函数在最左侧一段的函数值至少为 $1$、f 在 P 上的任意下逐段常值函数在最左侧一段的函数值至多为 $-1$，仍然能通过人为控制这一段的长度缩小，使得这一段对应的面积差缩小。而对于剩下的部分，上下黎曼积分的差是趋于 0 的。

• 定义 11.5.4：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的函数。称 f 是逐段连续的，当且仅当存在 I 的划分 $P$，使得对于任意 J\in P 有 f|_J 是连续的。
• 命题 11.5.5：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界逐段连续函数，那么 f 是黎曼可积的。

11.6 单调函数的黎曼可积性

• 命题 11.6.1：设 f:[a,b]\to\mathbb R 是有界闭区间 [a,b] 上的单调函数。那么 f 是黎曼可积的。

  证明：不妨设 f 是单调不降的。设 \varepsilon'>0 是任意正实数，那么存在正整数 N>0 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{\varepsilon'}<N$，设 $\varepsilon=\frac{f(b)-f(a)}{N}$，从而 $0\leq \varepsilon <\varepsilon '$。

  根据 x_i:=\sup\{x\in [a,b]:f(x)\leq f(a)+\varepsilon i\} 定义 $x:\mathbb N_{1..N-1}\to\mathbb R$，那么有 $a\leq x_1\leq\cdots\leq x_{N-1}\leq b$。那么可以得到 [a,b] 的划分 P=\{[a,x_1),[x_1,x_2),\cdots,[x_{N-1},b]\} 且对于任意 J\in P 和 x,y\in J 有 $f(x)-f(y)\leq \varepsilon$，那么可以证明 f 的上下黎曼积分的差不超过 $\varepsilon(b-a)$。然后易证。

  另一种证明方法是：直接将 [a,b] 用长度不超过 \delta>0 的区间划分，然后可以证明上下黎曼积分的差不超过 $\delta(f(b)-f(a))$，然后易证。两种证明是非常对称的，这也得益于单调函数的对称性。

• 命题 11.6.2：设 f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的单调有界函数，那么 f 是黎曼可积的。

  证明：类似命题 11.5.3 的证明。

• 命题 11.6.3：设 f:[m,+\infty)\to\mathbb R 是单调不升的非负函数。那么 \sum_{n=m}^{\infty}f(n) 收敛，当且仅当 \sup\limits_{N\geq m}\int_{[m,N]}f 是有限的。

  证明：不妨设 $m=0$。由于 f 是非负函数，所以 \sum_{n=0}^{\infty}f(n) 收敛，当且仅当 \sup\limits_{N\geq 0}\sum\limits_{n=0}^N f(n) 有限。记 $A=\left{\sum\limits_{n=0}^N f(n):N\geq 0\right}$，$B:=\left{\int_{[0,N]}f:N\geq 0\right}$。

  设 N\geq 0 是任意自然数。考虑由 g(x):=f(\lfloor x\rfloor) 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 g 是逐段常值函数且 $g\geq f$，那么 $\int_{[0,N]}f\leq \int_{[0,N]}g=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)$。从而对于任意 $b\in B$，存在 a\in A 使得 $b\leq a$，那么 $\sup b\leq \sup a$。

  设 N\geq 0 是任意自然数。考虑由 g(x):=f(\lceil x\rceil) 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 g 是逐段常值的且 $g\leq f$，那么 $\sum_{n=0}^{N}f(n)=f(0)+\int_{[0,N]}g\leq f(0)+\int_{[0,N]}f$。从而对于任意 $a\in A$，存在 b\in B 使得 $a\leq f(0)+b$，那么 $\sup a\leq f(0)+\sup b$。

11.7 一个非黎曼可积的函数

• 命题 11.7.1：由 f(x):=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases} 定义函数 $f:[0,1]\to\mathbb R$。那么 f 有界但不黎曼可积。

  证明：设 P 是 [0,1] 的划分，那么对于任意 J\in P 且 J\neq \varnothing 有 $\sup\limits_{x\in J}f(x)=1$，从而 $U(f,P)=1$，那么$\overline\int_{[0,1]}f=\inf{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}}=1$。同理 $\underline\int_{[0,1]}f=0$，从而 f 不是黎曼可积的。

11.8 黎曼-斯蒂尔杰斯积分

• 定义 11.8.1（\alpha 长度）：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 I 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$。若存在 a,b\in\mathbb R 且 a<b 满足 I 为 [a,b],(a,b),(a,b],[a,b) 之一，则定义 I 的 \alpha 长度为 $\alpha[I]:=\alpha(b)-\alpha(a)$；否则 I 是空集或单元素集，则定义 I 的 \alpha 长度为 $\alpha[I]:=0$。

• 引理 11.8.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 I 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，P 是 I 的划分。那么 $\alpha[I]=\sum_{J\in P}\alpha[J]$。

• 定义 11.8.3：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 I 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，P 是 I 的划分，f:I\to\mathbb R 是关于 P 逐段常值的函数。定义：

  
  \textit{p.c.}\int_{[P]}f\text{d}\alpha:=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]
  

  其中 c_J 为 f 在 J 上的常数值。特别地，当 J 为空集时，取 $c_J:=0$。

• 定义 11.8.4：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 I 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，f:I\to\mathbb R 是逐段常值函数，那么存在 P 是 I 的划分满足 f 是关于 P 逐段常值的。定义：

  
  \textit{p.c.}\int_If\text d\alpha:=\textit{p.c.}\int_{[P]}f\text d\alpha
  

• 定理 11.8.5：设 \alpha 是单调不降函数，那么定理 11.2.7 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  证明：\alpha 是单调不降的，那么对于任意有界区间 I 都有 $\alpha[I]\geq 0$。

• 定义 11.8.6（上黎曼-斯蒂尔杰斯积分和下黎曼-斯蒂尔杰斯积分）：设 $X\subseteq \mathbb R$，\alpha:X\to\mathbb R 是单调不降函数，有界区间 I 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，f:I\to\mathbb R 是有界函数，定义 f 关于 \alpha 的上黎曼-斯蒂尔杰斯积分为：

  
  \overline\int_If\text d\alpha:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig\text d\alpha:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
  

  类似地定义 f 关于 \alpha 的的下黎曼-斯蒂尔杰斯积分 $\underline\int_If\text d\alpha$。

• 引理 11.8.7：设 \alpha 是单调不降函数，那么引理 11.3.3 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  证明：为比较两逐段常值函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分的大小，先通过公共加细将两者的划分统一。

• 定义 11.8.8（黎曼-斯蒂尔杰斯积分）：设 $X\subseteq \mathbb R$，\alpha:X\to\mathbb R 是单调不降函数，有界区间 I 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，f:I\to\mathbb R 是有界函数。

  若 $\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$，我们就称 f 关于 \alpha 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，并定义 $\int_If\text d\alpha:=\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$。

  否则称 f 不是关于 \alpha 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的。

  当 f 定义域包含 I 时，有时将 \int_If|_I\text d\alpha 简记作 $\int_If\text d\alpha$。

如果 f 关于 \alpha 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，那么其积分可以理解为，先给数轴上每个位置 x 标上 $\alpha(x)$，再按照数轴上标的数，将数轴拉伸还原为正常的形态（所标的数均匀分布），函数图像也随之拉伸，然后对新的函数做黎曼积分。需要特殊处理的是 \alpha 在 x_0 处间断的情况，设 \alpha 在 x_0 处的左右极限分别为 $a,b$，那么若 $a\neq \alpha(x_0)$，就将拉伸后的函数在 [a,\alpha(x_0)] 上的值定为 f 在 x_0 处的左极限（一定存在，否则可以证明 f 不是关于 \alpha 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的）；对 [\alpha(x_0),b] 上的函数值同样讨论。（这里可能的疑惑是，为什么和 f 在 x_0 处的值无关，这是可以把 x_0 单独划为一个区间 $[x_0,x_0]$）

• 引理 11.8.9：设由 \alpha(x):=x 定义的函数 $\alpha:\mathbb R\to\mathbb R$，f:I\to\mathbb R 是有界区间 I 上的有界函数。那么 f 黎曼可积当且仅当 f 关于 \alpha 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，且此时有 $\int_If=\int_If\text d\alpha$。

由于引理 11.8.9 的缘故，我们有时将 \int_If 写成 $\int_If\text dx$。

• 命题 11.8.10：设 \alpha 是单调不降函数，那么 11.4、11.5、11.6 中的除 11.5.3、11.5.5 外的所有命题关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  证明：11.5.3（及其推论 11.5.5）不成立，是因为证明时将 (a,b) 拆成了 $(a,a+\delta),[a+\delta,b-\delta],(b-\delta,b)$，而 (a,a+\delta) 的 \alpha 长度不一定是个极小值（当 \alpha 在 a 处间断时）。例如由 f(x):=\sin\frac{1}{x} 定义的函数 f:(0,1)\to\mathbb R 关于由 \alpha(x):=\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases} 定义的函数 \alpha:[0,1]\to\mathbb R 不黎曼-斯蒂尔杰斯可积。

  11.6.2 证明时也用了类似 11.5.3 的方法，但由于单调函数的性质，我们能将 (a,a+\delta) 的极差控制在很小的范围内，完整证明如下：

  设 $M=\inf\limits_{x\in (a,b)}f(x)$，\varepsilon>0 是任意正实数。那么 \{x\in (a,b):f(x)<M+\varepsilon\} 非空，那么设 c 是其上确界，那么应有 $a<c\leq b$，再取 $\delta_1=\min(c-a,\frac{b-a}{2})$，那么 \delta_1>0 且对于任意 x\in (a,a+\delta_1) 有 $M\leq f(x)<M+\varepsilon$（若存在 $f(x)\geq M+\varepsilon$，根据上确界的定义存在 x<y\leq c 使得 $f(y)<M+\varepsilon$，违背了单调性），然后再证明就好（注意 \alpha|_{\overleftrightarrow I} 是有界闭集上的单调不降函数，所以有界）。

11.9 微积分基本定理

• 定理 11.9.1（微积分第一基本定理）：设 a,b\in\mathbb R 满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R 是黎曼可积函数。

  由 F(x):=\int_{[a,x]}f 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 F 是一致连续的。

  若 f 在 x_0\in [a,b] 处有极限 $L$，那么 F 在 x_0 处可微且 $F'(x_0)=L$。

  证明：根据定义 11.3.4，f 是有界函数，设界为 $M$。

  设 \delta>0 是任意正实数，x,y\in [a,b] 且 $0\leq y-x<\delta$，那么 $\left|\int_{[a,y]}f-\int_{[a,x]}f\right|=\left|\int_{(x,y]}f\right|<M\delta$，然后易证 F 一致连续。

  设 f 在 x_0\in [a,b] 处有极限 $L$。设 \varepsilon>0 是任意正实数，那么存在 \delta>0 使得对于任意 x\in [a,b] 且 0<x-x_0<\delta 有 $|f(x)-L|<\varepsilon$，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-L\right|=\left|\dfrac{\int_{(x_0,x]}f}{x-x_0}-L\right|<\varepsilon$，然后易证 F 在 x_0 处可微且 $F'(x_0)=L$。

• 定义 11.9.2（原函数）：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$。称函数 F:X\to\mathbb R 是 f 的原函数，当且仅当 F 是可微函数且对于任意 x\in X 有 $F'(x)=f(x)$。

• 定理 11.9.3（微积分第二基本定理）：设 a,b\in\mathbb R 满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R 是黎曼可积函数。若 F:[a,b]\to\mathbb R 是 f 的原函数，那么 $\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$。

  证明：考虑任意 c,d\in [a,b] 且 $c<d$，根据命题 10.2.5，有 $F(d)-F(c)\leq \left(\sup\limits_{x\in[c,d]}F'(x)\right)(d-c)$，那么可得 $F(b)-F(a)\leq \overline\int_{[a,b]}f$，同理可得 $\underline\int_{[a,b]}f\leq F(b)-F(a)$，而 f 又是黎曼可积函数，所以 $\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$。

需要说明的是，微积分的两个基本定理对于定义域为任意有界区间都是成立的。

微积分的两个基本定理可以理解为，对于黎曼可积函数 $f$，只要 f 处处有极限（一般来说就是连续）、或者 f 有原函数，那么 F(x):=\int_{[a,x]}f 就是 f 的原函数。

注意闭区间上的可微函数的导数是有可能存在 “无限间断点”，从而有原函数的有界区间上的函数不一定黎曼可积。例如由 F(x):=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x^3}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases} 定义的函数 F:[-1,1]\to\mathbb R 是可微函数，但是其导数发散。

注意闭区间上的可微函数的导函数可能存在 “震荡间断点”，从而若 f 黎曼可积、F(x):=\int_{[a,x]}f 在 x_0 处可微，并不能说明 f 在 x_0 处的极限是 $F'(x_0)$。例如由 F(x):=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases} 定义的函数 F:[-1,1]\to\mathbb R 是可微函数，其导函数黎曼可积，但是在 0 处是震荡间断点。

根据微积分第二基本定理，只要找到黎曼可积函数 f 的一个原函数，就可以相对容易地计算 f 的积分。这将定积分与不定积分联系起来。

• 引理 11.9.4：设 a,b\in\mathbb R 满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R 是单调的黎曼可积函数。

  由 F(x):=\int_{[a,x]}f 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 f 在 x_0\in (a,b) 处连续，当且仅当 F 在 x_0 处可微。

  证明：不妨设 f 单调不降。设 F 在 x_0 处可微，而 f 在 x_0\in (a,b) 处不连续。那么存在 \varepsilon>0 使得对于任意 \delta>0 都存在 x\in [a,b] 使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，又由于 f 是单调不降的，那么对于任意 x\in (x_0,b] 都有 f(x)>f(x_0)+\varepsilon 或对于任意 x\in [a,x_0) 都有 $f(x)<f(x_0)-\varepsilon$。

  不妨设前者成立，那么对 $x\in(x_0,b]$，$\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}=\dfrac{\int_{(x_0,x]}f}{x-x_0}>f(x_0)+\varepsilon$；而对 $x\in[a,x_0)$，$\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}=\dfrac{\int_{[x,x_0)}f}{x-x_0}\leq f(x_0)$。从而 F 在 x_0 处不可微，矛盾。

接下来介绍一个微积分第二基本定理导出的结论。

• 引理 11.9.5：设 p 是实数，那么 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} 当 p>1 时绝对收敛，当 p\leq 1 时发散。

  证明：结合命题 11.6.3 和微积分第二基本定理。

11.10 基本定理的推论

• 定理 11.10.1（分部积分公式）：设 a,b\in\mathbb R 满足 $a<b$，F:[a,b]\to\mathbb R 和 G:[a,b]\to\mathbb R 都是可微函数，F',G' 都是黎曼可积函数。那么 FG',F'G 黎曼可积且 $\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G=F(b)G(b)-F(a)G(a)$。

  证明：F 是闭区间上的可微函数，从而是闭区间上的连续函数，从而 F 是黎曼可积的，从而 FG' 也黎曼可积。根据导数算律，可知 FG 也是可微的且 $(FG)'=FG'+F'G$，那么 (FG)' 也是黎曼可积的，根据微积分第二基本定理可知：

  
  F(b)G(b)-F(a)G(a)=\int_{[a,b]}(FG)'=\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G
  

• 引理 11.10.2：设 \alpha:[a,b]\to\mathbb R 是单调不降的可微函数，\alpha' 是黎曼可积函数，f:[a,b]\to\mathbb R 是逐段常值函数。那么 f\alpha' 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。

  证明：f 和 \alpha' 都是黎曼可积的，从而 f\alpha' 也是黎曼可积的。设任意 [a,b] 的划分 P 使得 f 是关于 P 逐段常值的，那么有 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，同时 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}c_J\alpha'=\sum_{J\in P}c_J\int_J \alpha'=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，其中最后一步用到了微积分第二基本定理。

• 命题 11.10.3：设 \alpha:[a,b]\to\mathbb R 是单调不降的可微函数，\alpha' 是黎曼可积函数，f:[a,b]\to\mathbb R 是关于 \alpha 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的函数。那么 f\alpha' 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。

  证明：由于 \alpha 是单调不降的，可以证明 \alpha' 是非负的。设 \varepsilon>0 是任意正实数，存在逐段常值函数 \overline f 使得 \overline f\geq f 且 $\int_{[a,b]}\overline f\text d\alpha<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon$，从而 $\int_{[a,b]}\overline f\alpha'<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon$。而 \overline f\geq f 和 \alpha' 非负说明 $\overline f\alpha'\geq f\alpha'$，从而利用积分的保序性可证 $\overline\int_{[a,b]}f\alpha'\leq \int_{[a,b]}f\text d\alpha$，对另一侧类似证明后可以得到 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\int_{[a,b]}f\text d\alpha$。

• 引理 11.10.4：设 \varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)] 是单调不降的连续函数，f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R 是逐段常值函数。那么 f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R 也是逐段常值函数，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

  证明：设 [\varphi(a),\varphi(b)] 的划分 P 使得 f 关于 P 是逐段常值的。考虑 $Q={{x\in [a,b]:\varphi(x)\in J}:J\in P}$，可以证明 Q 是 [a,b] 的划分，且 f\circ\varphi 是关于 Q 逐段常值的，且 P,Q 之间根据 \varphi 构成双射关系，且：

  
  \int_{[a,b]}f\circ\varphi\text d\varphi=\sum_{K\in Q}d_{K}\varphi[K]=\sum_{K\in Q}c_{\varphi(K)}|\varphi(K)|=\sum_{J\in P}c_J|J|=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f
  

• 命题 11.10.5：设 \varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)] 是单调不降的连续函数，f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R 是黎曼可积函数。那么 f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R 是关于 \varphi 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

命题 11.10.5 事实上和我们介绍黎曼-斯蒂尔杰斯积分时的 “伸缩” 理解一样，其证明是通过该理解在逐段常值函数上成立来证明的。

• 定理 11.10.6（换元公式）：设 \varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)] 是单调不降的可微函数，\varphi' 是黎曼可积函数，f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R 是黎曼可积函数。那么 (f\circ\varphi)\varphi':[a,b]\to\mathbb R 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

  证明：联合命题 11.10.3 和命题 11.10.5 可知。

当 f 连续时，我们也可以得到命题 11.10.6 的一个相似结论，此时不要求 \varphi 是单调不降的。

• 定义 11.10.7（有向黎曼积分）：设 $a,b\in\mathbb R$，f:[\min\{a,b\},\max\{a,b\}]\to\mathbb R 是黎曼可积函数。若 $a\leq b$，定义 $\int_{a}^bf:=\int_{[a,b]}f$；若 $a>b$，定义 $\int_{a}^b f:=-\int_{[b,a]} f$。

我们介绍的（以及接下来介绍的）很多有关黎曼积分的性质都可以推广到有向黎曼积分上，特别是微积分的两个基本定理和分部积分公式（这也导致了它们推导出的换元公式等性质在有向黎曼积分上也成立），但为了方便我们一般不特意写出。

• 定理 11.10.8（换元公式）：设 \varphi:[a,b]\to \mathbb R 是可微函数，\varphi' 是黎曼可积函数，f:\varphi([a,b])\to\mathbb R 是连续函数。那么 (f\circ\varphi)\varphi':[a,b]\to\mathbb R 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f$。

  证明：f 的定义域 \varphi([a,b]) 是有界闭区间且 f 连续，从而 f 是黎曼可积的且有原函数，设 F 是 f 的原函数。

  同理，由于 f\circ \varphi 是有界闭区间 [a,b] 上的连续函数，所以它黎曼可积，于是 (f\circ \varphi)\varphi' 也黎曼可积，而 F\circ \varphi 是其原函数，于是：

  
  \int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f
  

11.11 黎曼积分的应用

• 定理 11.11.1（泰勒公式-积分余项）：设 I\subseteq\mathbb R 是区间，$x_0\in I$，$n\in\mathbb N$，f:I\to\mathbb R 是 n+1 阶可微的函数，且 f^{(n+1)} 是黎曼可积函数。那么对于任意 $x\in I$，$f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt$。

  证明：法一：根据微积分第二基本定理：

  
  \begin{aligned}
  f(x)&=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(x_1)\text{d} x_1\\
  &=f(x_0)+\int_{x_0}^{x}\left(f'(x_0)+\int_{x_0}^{x_1}f''(x_2)\text{d} x_2\right)\text{d} x_1\\
  &=f(x_0)+\int_{x_0}^{x}\left(f'(x_0)+\int_{x_0}^{x_1}\left(\cdots\left(f^{(n)}(x_0)+\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}\right)\cdots\right)\text{d} x_2\right)\text{d} x_1\\
  \end{aligned}
  

  接着可以将常数外提：

  
  \begin{aligned}
  &\int_{x_0}^{x}\int_{x_0}^{x_1}\cdots\int_{x_0}^{x_{n-1}}f^{(n)}(x_0)\text{d} x_n\cdots\text{d} x_2\text{d} x_1\\
  =&\int_{0}^{x-x_0}\int_{0}^{h_1}\cdots\int_{0}^{h_{n-1}}f^{(n)}(x_0)\text{d} h_n\cdots\text{d} h_2\text{d} h_1\\
  =&\int_{0}^{x-x_0}\cdots\int_{0}^{h_{n-2}}f^{(n)}(x_0)h_{n-1}\text{d} h_{n-1}\cdots\text{d} h_1\\
  =&\int_{0}^{x-x_0}\cdots\int_{0}^{h_{n-3}}\frac{f^{(n)}(x_0)}{2}h_{n-2}^2\text{d} h_{n-2}\cdots\text{d} h_1\\
  =&\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x_0-x)^n
  \end{aligned}
  

  于是：

  
  f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\int_{x_0}^{x_1}\cdots\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}\cdots\text{d} x_2\text{d} x_1
  

  而利用分部积分，若 g 有原函数，我们可以证明：

  
  \begin{aligned}
  &\int_{a}^{b}\frac{(b-x)^{n}}{n!}\int_{a}^{x}g(y)\text{d} y\text{d} x\\
  =&-\int_{a}^{b}-\frac{(b-x)^{n}}{n!}\int_{a}^{x}g(y)\text{d} y\text{d} x\\
  =&\left.\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}\left(\int_{a}^{x}g(y)\text{d} y\right)\right|_{x=a}^{x=b}+\int_{a}^{b}\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}g(x)\text{d} x\\
  =&\int_{a}^{b}\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}g(x)\text{d} x
  \end{aligned}
  

  而 \int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}=f^{(n)}(x_n)-f^{(n)}(x_0) 是关于 x_n 的连续函数，从而 \int_{x_0}^{x_{n-1}}\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}\text{d} x_n 是关于 x_{n-1} 的可微函数从而连续，……。于是就可以从外往内拆积分号，将原式化简为：

  
  f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\text{d} t
  

  法二：对 n 归纳。假设 n-1 时命题成立。

  
  \begin{aligned}
  f(x)&=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}\text{d} t\\
  &=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)-\int_{x_0}^{x}-\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(t)\text{d} t\\
  &=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)-\left(\left.\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n)}(t)\right|_{t=x_0}^{t=x}-\int_{x_0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\text{d} t\right)\\
  &=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)+\frac{(x-x_0)^{n}}{n!}f^{(n)}(x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\text{d} t\\
  &=T_{n,x_0}f(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}\text{d} t
  \end{aligned}
  

  法三（若 f^{(n+1)} 连续）：要证 f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt 对任意 x,x_0 成立。可以把 x 固定，Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt 看成是关于 x_0 的函数 $g$，此时就转为证明 g 是常值的（注意已经有 $g(x)=f(x)$），只需证明 g' 恒为 0 即可：

  
  \begin{aligned}
  g(x_0)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt\\
  g'(x_0)&=f'(x_0)+(f''(x_0)(x-x_0)-f'(x_0))+\cdots+\left(\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n-\frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}\right)-\frac{f^{(n+1)(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n\\
  &=0
  \end{aligned}
  

积分余项的泰勒公式给出了函数多项式逼近余项的确切表达式。

• 定理 11.11.2（积分平均值定理）：设 $a,b\in\mathbb R\land a<b$，g:[a,b]\to\mathbb R 是黎曼可积函数，g 恒非负且 $\int_{[a,b]}g>0$，f:[a,b]\to\mathbb R 是连续函数，那么 fg 是黎曼可积函数。那么存在 x \in (a,b) 使得 $\int_{[a,b]}fg=f(x)\int_{[a,b]}g$。

  证明：排除掉 \int_{[a,b]}g=0 的简单情况，式子变为 $f(x)=\frac{\int_{[a,b]}fg}{\int_{[a,b]}g}$。

  f 存在最小值 A 和最大值 $B$，那么 $A=\frac{\int_{[a,b]}Ag}{\int_{[a,b]}g}\leq\frac{\int_{[a,b]}fg}{\int_{[a,b]}g}\leq\frac{\int_{[a,b]}Bg}{\int_{[a,b]}g}=B$，再根据连续函数的介值性可取得 $x\in[a,b]$。

  为取得 $x\in (a,b)$，发现 \int_{[a,b]}Ag\neq \int_{[a,b]}fg\neq\int_{[a,b]}Bg 时肯定可以。否则，不妨设 $\int_{[a,b]}Ag=\int_{[a,b]}fg$，那么任取 a<c<b 使得 $\int_{[c,b]}g>0$（容易证明一定存在），那么 f 在 [c,b] 上的最小值 A' 一定为 $A$，否则设 $A'>A$：

  
  \int_{[a,b]}fg=\int_{[a,c]}fg+\int_{[c,b]}fg\geq\int_{[a,c]}Ag+\int_{[c,b]}A'g=\int_{[a,c]}Ag+A'\int_{[c,b]}g>\int_{[a,c]}Ag+A\int_{[c,b]}g=\int_{[a,b]}Ag
  

  矛盾。那么根据连续函数的介值性可以取到 x\in [c,b] 且 $f(x)=A$。如果需要，类似地再把 b 端点排掉即可。

定理 11.11.2 告诉我们，\frac{\int_{[a,b]}fg}{\int_{[a,b]}g} 可以理解为某种意义上的加权平均，它的值在 f 的值域范围内。

在定理积分余项的泰勒公式中，根据积分平均值定理，存在 \xi\in(x,x_0) 使得积分余项 \int_{[x_0,x]}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text{d} t=f^{(n+1)}(\xi)\int_{[x_0,x]}\frac{1}{n!}(x-t)^n\text{d} t=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} 变为拉格朗日余项（这里不需要要求 f^{(n+1)} 连续，因为它满足介值性，而观察积分平均值定理，只要在知道 \int_{[a,b]}fg 黎曼可积的前提下，其实也只要求 f 满足介值性即可）。