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一、连续函数
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定义 13.1.1（连续函数）：设
(X,d_X),(Y,d_Y)都是度量空间，f:X\to Y是函数。设 $x_0\in X$。称
f在x_0处连续，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，都存在\delta>0使得对任意x\in X满足d_X(x,x_0)<\delta都有 $d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$。如果
f在X上的每一点处都连续，则称f是连续的。 -
定理 13.1.2：设
(X,d_X),(Y,d_Y)都是度量空间，f:X\to Y是函数。设 $x_0\in X$，那么下列命题等价：f在x_0处连续。- 对任何
X上收敛到x_0的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，(f(x_n))_{n=1}^{\infty}都收敛到 $f(x_0)$。 - 对任意含有
f(x_0)的开集 $V\subseteq Y$，都存在含有x_0的开集U\subseteq X使得 $f(U)\subseteq V$。
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定理 13.1.3：设
(X,d_X),(Y,d_Y)都是度量空间，f:X\to Y是函数。下列命题等价：f是连续的。- 对任何
x_0\in X和X上收敛到x_0的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，(f(x_n))_{n=1}^{\infty}都收敛到 $f(x_0)$。 - 对任意开集 $V\subseteq Y$，
f^{-1}(V)也是开集。 - 对任意闭集 $V\subseteq Y$，
f^{-1}(V)也是闭集。
连续函数不保开性和闭性，例如由 f(x):=(x,0) 定义的函数 f:\mathbb R\to\mathbb R^2 不保开性，由 f(x):=x 定义的函数 f:\mathbb Q\to\mathbb R 既不保闭性也不保开性。
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命题 13.1.4：设
(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)都是度量空间，f:X\to Y,g:Y\to Z是函数。若
f在x_0\in X处连续，g在f(x_0)处连续，g\circ f在x_0处连续。若
f连续，g连续，g\circ f连续。
二、连续性与乘积空间
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引理 13.2.1：设
(X,d_X)是度量空间，f:X\to\mathbb R,g:X\to\mathbb R是函数。设f\oplus g:X\to\mathbb R^2是它们的直和。\mathbb R上使用绝对值度量，\mathbb R^2上使用欧几里得度量。设 $x_0\in X$，那么
f,g都在x_0处连续当且仅当f\oplus g在x_0处连续。f,g都连续当且仅当f\oplus g连续。 -
命题 13.2.2：设
(X,d)是度量空间，f:X\to\mathbb R,g:X\to\mathbb R是函数。设 $x_0\in X$，
f,g都在x_0处连续。那么f+g,f-g,fg,\max(f,g),\min(f,g)都在x_0处连续。若 $c\in\mathbb R$，那么cf在x_0处连续。若g恒非零，那么\frac fg在x_0处连续。设
f,g连续。那么f+g,f-g,fg,\max(f,g),\min(f,g)都连续。若 $c\in\mathbb R$，那么cf连续。若g恒非零，那么\frac fg连续。证明：以
f+g为例，由连续函数的复合知x\mapsto (f(x),g(x))\mapsto f(x)+g(x)是连续的。
三、连续性与紧致性
- 定理 13.3.1：设
(X,d_X),(Y,d_Y)都是度量空间，f:X\to Y是连续函数。若X是紧致的，那么f(X)也是紧致的。
连续函数不保完备性。例如由 f(x):=\frac 1x 定义的函数 $f:[1,+\infty)\to (0,1]$。
- 推论 13.3.2：设
(X,d)是紧致度量空间，f:X\to\mathbb R是连续函数。那么f在某点取到最小值，也在某点取到最大值。 - 定义 13.3.3（一致连续性）：设
(X,d_X),(Y,d_Y)都是度量空间，f:X\to Y是函数。称f是一致连续的，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任意x_1,x_2\in X满足 $d_X(x_1,x_2)<\delta$，都有 $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$。 - 命题 13.3.4：设
(X,d)是紧致度量空间，f:X\to\mathbb R是连续函数。那么f是一致连续的。
四、连续性与连通性
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定义 13.4.1（连通）：设
(X,d)是度量空间。称X是不连通的，如果存在非空开集 $V,W\subseteq X$，使得V\cap W=\varnothing且 $V\cup W=X$。称X是连通的，如果X是非空的且不是不连通的。对于空集，我们不定义它的连通性。 -
引理 13.4.2：设
(X,d)是度量空间。X是不连通的，当且仅当存在非空真子集 $\varnothing \subsetneq V\subsetneq X$，使得V没有边界点。证明：注意到
V和X\setminus V拥有相同的边界点集合。 -
定理 13.4.3：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么
X是连通的当且仅当X是区间。证明：<=：
X的子集V没有边界点，V必须同时包含区间的左右端点，而V和X\setminus V不可能同时满足这个条件。=>：如果
X不是区间，那么存在x<z<y满足x,y\in X而 $z\not\in X$。取\{e\in X:e<z\}就是X的一个没有边界点的非空真子集。 -
定理 13.4.4：设
(X,d_X),(Y,d_Y)都是度量空间，f:X\to Y是连续函数。若X是连通的，那么f(X)也是连通的。证明：没有边界点意味着既开又闭，那么利用定理 13.1.3 说明
f(X)不连通则X不连通即可。也就是说，若f(X)=V\cup W不连通，那么对每个 $x_0\in X$，一定存在包含f(x_0)的开集都同属于V或同属于 $W$，从而一定存在包含x_0的开集都同属于f^{-1}(V)或同属于 $f^{-1}(W)$，从而f^{-1}(V)没有边界点。 -
推论 13.4.5：设
(X,d)是连通度量空间，f:X\to\mathbb R是连续函数。那么f(X)是区间。 -
命题 13.4.6：设
(X,d)是度量空间，(E_\alpha)_{\alpha\in I}是X的一簇连通子集。若\bigcap_{\alpha\in I}E_\alpha非空，那么\bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha}是连通的。证明：设
V是\bigcup_{\alpha\in I}E_\alpha的一个非空真子集，存在\alpha\in I使得V\cap E_\alpha是E_\alpha的非空真子集（否则对任意\alpha\in I必有V\cap E_{\alpha}=\varnothing或 $E_{\alpha}\subseteq V$，再结合所有E_{\alpha}的交非空即可引出矛盾），那么V\cap E_\alpha在E_{\alpha}中的边界点也是V在\bigcup_{\alpha\in I}E_\alpha中的边界点。 -
定义 13.4.7（路连通）：设
(X,d)是度量空间。称X是路连通的，当且仅当对任意 $x,y\in X$，都存在连续函数f:[0,1]\to X使得f(0)=x且 $f(1)=y$。 -
定理 13.4.8：设
(X,d)是度量空间。若X是路连通的，则X是连通的。证明：设
V是X的非空真子集。任取x\in V和 $y\in X\setminus V$，存在f:[0,1]\to X使得f(0)=x且 $f(1)=y$。取 $a=\sup{b\in [0,1]:f(b)\in V}$，那么f(b)是V的边界点，因为包含b的任意小开区间内都存在f值在V内和V外的。
//连通空间不一定路连通
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命题 13.4.9：设
(X,d)是度量空间，$E\subseteq X$。若E是连通的，那么\overline E是连通的。证明：对
\overline E的非空真子集 $V$，如果E\cap V是E的非空真子集，那么它在E中的边界点也是V在\overline E中的边界点。否则，\overline E\setminus E\setminus V都是V的边界点。 -
定义 13.4.10（连通分支）：设
(X,d)是度量空间。对于 $x,y\in X$，定义x\sim y当且仅当存在一个X的子集合包含 $x,y$。那么\sim是等价关系。将该等价关系划分为的每个等价类称为X的连通分支。证明：传递性使用命题 13.4.6。
五、拓扑空间
选读。