lcw-analyze/src/第5章 实数.md

回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb N$、整数系 \mathbb Z 和有理数系 $\mathbb Q$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。

实数无法用有理数来表示，但是却明确地处于有理数之间的某个 “空隙” 中：例如 $\sqrt 2$，你任意说一个有理数 $q$，我都能说 q 比 \sqrt2 大还是小，我只需比较 q^2 和 2 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 \sqrt[p]{q} 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 \pi 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从有理数定义实数的一个好方法：“取无限有理数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 $\sqrt 2$，无限地进行下去，我们就能用有理数无限地逼近它，虽然不会达到它。

这种 “取有理数序列的极限” 的运算，就像形式减法一样，不仅能在有理数上进行，在实数域上进行也是封闭的，所以下面的一些定义都会加上 ”形式“。而对于 “取无限实数序列的极限”，我们将在第 6 章再继续详谈。

我们接下来将详细阐述这种方法。我们先理解 “极限” 是什么：序列可能并不会达到目标（比如有理数序列最后怎么样也不可能达到 $\sqrt 2$），但如果序列的趋势是不断接近那个目标的，那么我们就说序列的极限就是那个目标。或者说，如果存在序列的这种不断接近目标的趋势，我们就把那个目标看成序列的极限。

我们再来理解怎么对 “趋势” 进行描述：一般来说，我们会设置一个阈值（范围）$B$，然后看序列是否存在一个后缀，使得这个后缀和目标的差距在 B 之内。然后我们说，如果对于任意小但是不为零的 $B$（这里 B 等于零只是代表该后缀和目标完全相同），都能找到这么一个后缀，那么该序列的趋势就是不断接近于目标的。

作为例子，我么可以定义 “趋于一致”：我们给序列赋予一个振荡度，可以暂时理解为序列的最大值和最小值的差。那么如果该序列的振荡度是趋向于 0 的，我们就说该序列的极限是所有数都相等的，即 “趋于一致” 的。

我们也可以定义 “收敛到 $L$”：我们给序列赋予一个差距值，可以暂时理解为序列中所有数与 L 的差值的最大值。那么如果该序列的差距值是趋向于 0 的，我们就说该序列的极限是所有数都等于 $L$，即 “收敛到 $L$”。

从上述两个定义中关于序列的 “极限” 的定义可以直观地看出，一个序列是 “趋于一致” 的当且仅当该序列 “收敛到某数 $L$”。这在第 6 章中有具体的体现，即柯西序列的定义和收敛序列的定义是等价的。

上述的理解 “极限” 的想法在第 5 章和第 6 章的很多定义上都适用。

除此之外，我还非常建议你把序列理解成二维的，即把 (n,a_n) 都标在平面上。这样 “趋于一致”、“收敛到 $L$” 和 “极限” 等名词都会更加形象，而且十分有助于你想本文中命题的证明。

由于定义实数需要较长的篇幅，我们将给出第 5 章和第 6 章的总体的概览：

在本章（第 5 章）中，我们将先定义形式柯西序列（因为历史遗留问题，真正的章节中没有加上 “形式” 二字），即 “趋于稳定” 的有理数序列，并定义形式柯西序列的形式极限就是实数（注意不能定义说 “收敛到某实数 $L$” 的有理数序列的极限就是实数，这将导致循环定义）。然后显然收敛到同一个实数的形式柯西序列不可能只有一个，所以我们还需定义序列的形式等价。同时，为了建起有理数和实数间的桥梁，我们还需把有理数通过预期的方式相容于实数中。

接着，我们将按照预期的结果，在形式柯西序列上定义实数的加法、乘法、负运算、减法、倒数、除法、正负性和序等。过程中，我们也需证明有理数的这些运算也能相容于实数中。

第 5 章的最后，我们将投入实数最基本的应用中——构造出实数的有理数次幂（如 $\sqrt 2$），这将用到实数的界和确界的概念以及确界原理。确界原理这体现了无限逼近这一思想方法的优点。

在第 6 章中，我们将会把取极限应用于实数序列上。这时我们才定义真正的柯西序列、序列等价和极限，而非形式的。我们会证明把极限应用于实数序列上也是正确且封闭的，即任意实数版的柯西序列也收敛，且收敛到实数上。接着，我们会完善极限这一定义在实数上的新运算，补充一些极限算律。

接下来，我们将介绍极限点（更广义的 “极限”）、上下极限和子序列。它们一方面是 “极限” 该概念的扩展和延伸，一方面是计算极限的有力工具：它们将导出许多很有用的结论。

最后，我们将构造出实数的实数次幂，以最终结束实数的构造和基本应用的补全。

5.1 柯西序列

实数的构造将依赖于柯西序列的概念。而在定义柯西序列之前，我们先来做一些铺垫。

• 定义 5.1.1（序列）：设 m 是整数。一个有理数的无限序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是一个从 \mathbb Z_{m..} 到 \mathbb Q 的映射，其中 n 映射到 $a_n$。

  而有限序列的概念我们也类似地在 3.5.3 中定义过了。

本章中，除特殊标明，我们所说的 “序列” 一般指的都是 “有理数序列”。

• 定义 5.1.2（\varepsilon 稳定性）：设有理数 $\varepsilon>0$，称一个序列 (a_n)_{n=N}^{\infty} 是 \varepsilon 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
• 定义 5.1.3（终极 \varepsilon 稳定性）：设有理数 $\varepsilon>0$，称一个序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是终极 \varepsilon 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 (a_n)_{n=N}^{\infty} 是 \varepsilon 稳定的。

接下来，让我们定义柯西序列。

• 定义 5.1.4（柯西序列）：称一个序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 \varepsilon 稳定的。

  更直接地，序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，存在 N\geqslant m 使得对于任意 j,k\geqslant N 有 $d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。

可以注意到，柯西序列可以直接定义，但定义 5.1.2 和 5.1.3 的目的是为了帮助你更好地理解柯西序列的内涵。

我们给出一个例子：

• 命题 5.1.5：由 a_n:=1/n 定义的序列 (a_n)_{n=1}^{\infty} 是柯西序列。

  证明：设 \varepsilon>0 是任意正有理数，那么我们要找到 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $j,k\geqslant N$，$|1/j-1/k|\leqslant \varepsilon$。

  注意到 $0<1/j,1/k\leqslant 1/N$，那么 $|1/j-1/k|<1/N$，故只需要 1/N\leqslant \varepsilon 即 N\geqslant1/\varepsilon 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。

我们现在建立另一个基本概念：有界序列。序列有界是非常好的性质，往后的许多证明都将用到。

• 定义 5.1.6（有界序列）：设有理数 $M\geqslant 0$。一个有限序列 (a_n)_{n=m}^N 是以 M 为界的，当且仅当对于任意 m\leqslant n\leqslant N 有 $|a_n|\leqslant M$。一个无限序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是以 M 为界的，当且仅当对于任意 n\geqslant m 有 $|a_n|\leqslant M$。

  称一个序列是有界的，当且仅当存在有理数 M\geqslant 0 使得该序列是以 M 为界的。

• 引理 5.1.7（有限序列是有界的）：任何有限（有理数）序列 (a_n)_{n=m}^N 都是有界的。

  证明：固定 m 而对 N 归纳。

• 引理 5.1.8（柯西序列是有界的）：任意柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 都是有界的。

  证明：任取有理数 $\varepsilon>0$，那么存在一个自然数 $N\geqslant m$，使得序列 (a_n)_{n=N}^{\infty} 是 \varepsilon 稳定的。

  考虑有限序列 $(a_n)_{n=m}^N$，根据引理 5.1.7 可知它是有界的，不妨设它是以 M 为界的。

  对于任意 $n\geqslant N$，由于 $|a_N|\leqslant M$，$|a_n-a_N|\leqslant \varepsilon$，那么 $|a_n|\leqslant M+\varepsilon$。

  于是可以证明，原序列是以 M+\varepsilon 为界的，那么原序列是有界的。

注意有界序列不一定是柯西序列，例如 $a_n:=(-1)^n$。

5.2 等价的柯西序列

我们的想法是要把实数定义为柯西序列的 “极限”，那么我们就必须先定义何时两个柯西序列给出同样的 “极限”。

• 定义 5.2.1（\varepsilon 接近序列）：设有理数 $\varepsilon>0$，设 (a_n)_{n=m}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m}^{\infty} 是两个序列，称序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是 \varepsilon\overline{\ } 接近于序列 (b_n)_{n=m}^{\infty} 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$，$d(a_n,b_n)\leqslant\varepsilon$。

• 定义 5.2.2（终极 \varepsilon 接近序列）：设有理数 $\varepsilon>0$，设 (a_n)_{n=m_a}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m_b}^{\infty} 是两个序列，并记 $m=\max(m_a,m_b)$。称序列 (a_n)_{n=m_a}^{\infty} 是终极 \varepsilon\overline{\ } 接近于序列 (b_n)_{n=m_b}^{\infty} 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 (a_n)_{n=N}^{\infty} 是 \varepsilon 接近于 (b_n)_{n=N}^{\infty} 的。

根据定义，若 (a_n)_{n=m_a}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m_b}^{\infty} 是终极 \varepsilon 接近的，那么对于任意 $N'\geqslant m$，都存在 N\geqslant N' 使得 (a_n)_{n=N}^{\infty} 和 (b_n)_{n=N}^{\infty} 是 \varepsilon 接近的。

• 定义 5.2.3（等价的序列）：称两个序列 (a_n)_{n=m_a}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m_b}^{\infty} 是等价的（记作 $(a_n){n=m_a}^{\infty}\sim (b_n){n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 \varepsilon 接近的。

  更直接地，序列 (a_n)_{n=m_a}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m_b}^{\infty} 是等价的（记 $m=\max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，存在 N\geqslant m 使得对于任意 n\geqslant N 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。

同样地，定义 5.2.1 和 5.2.2 也是为帮助你更好地理解序列等价的内涵所用。

• 命题 5.2.4（序列等价的基本性质）：序列等价满足自反性、对称性、传递性。

  证明：前两者易证，只证传递性。设序列 $(a_n){n=m_a}^{\infty},(b_n){n=m_b}^{\infty},(c_n){n=m_c}^{\infty}$，其中 (a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty} 且 $(b_n){n=m_b}^{\infty}\sim(c_n)_{n=m_c}^{\infty}$。设 $m=\max{m_a,m_b,m_c}$。

  设 \varepsilon>0 是任意正有理数，那么找到一个 N\geqslant m 使得 (a_n)_{n=N}^{\infty} 和 (c_n)_{n=N}^{\infty} 是 \varepsilon\overline{\ } 接近的即可。

  根据假设，存在 N_1\geqslant m 使得 (a_n)_{n=N_1}^{\infty} 和 (b_n)_{n=N_1}^{\infty} 是 \frac{\varepsilon}{2}\overline{\ } 接近的，存在 N_2\geqslant m 使得 (b_n)_{n=N_2}^{\infty} 和 (c_n)_{n=N_2}^{\infty} 也是 \frac{\varepsilon}{2}\overline{\ } 接近的。那么取 N=\max(N_1,N_2) 即可。

• 引理 5.2.5：设序列 $(a_n){n=m}^{\infty}$，那么对于任意 $m'\geqslant m$，$(a_n){n=m}^{\infty}\sim(a_n)_{n=m'}^{\infty}$。

我们给出一个例子：

• 命题 5.2.6：由 a_n:=1+10^{-n} 和 b_n:=1-10^{-n} 定义的序列 (a_n)_{n=1}^{\infty} 和 (b_n)_{n=1}^{\infty} 是等价的。

  证明：设 \varepsilon >0 是任意正有理数，那么我们要找到 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $n\geqslant N$，$|a_n-b_n|\leqslant \varepsilon$。

  注意到 $|a_n-b_n|=2\times 10^{-n}\leqslant 2\times 10^{-N}$，故只需要 $2\times 10^{-N}\leqslant\varepsilon$。我们还不曾定义对数，但我们可以找一个更宽松的合法解：可以用归纳证明对于任意正数 N 有 10^N\geqslant N 即 $10^{-N}\leqslant 1/N$，于是我们只需 2/N\leqslant \varepsilon 即 N\geqslant \frac{2}{\varepsilon} 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。

5.3 实数的构造

现在我们引入形式极限，然后用柯西序列的形式极限定义实数。

• 定义 5.3.1（实数）：对于任意柯西序列 $(a_n){n=m}^{\infty}$，都存在一个实数 $\operatorname{LIM}{n\to\infty}a_n$，称为 (a_n)_{n=m}^{\infty} 的形式极限。

  定义两个实数 \operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n 和 \operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n 是相等的，当且仅当 $(a_n){n=m_a}^{\infty} \sim (b_n){n=m_b}^{\infty}$。

  注意到，符号 \operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n 并未关注 $m$，这是因为根据引理 5.2.5，无论 m 是多少，\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n 总是相同的。那么不失一般性地，我们都认为 a 序列的下标从某个整数 m 开始。

  全体实数的集合记作 $\mathbb{R}$。

实数集的定义也不需要公理：先利用幂集公理得到所有有理数序列 $\bigcup_{m\in\mathbb Z}\mathbb{Q}^{\mathbb Z_{m..}}$，再通过分类公理得到所有柯西序列构成的集合，再像定义整数集那样，定义所有柯西序列定价类（一个实数是一个柯西序列等价类）构成的集合，即为实数集。

根据序列等价的基本性质，我们知道实数相等也满足自反性、对称性和传递性。

依照预期的结果，我们来定义实数的运算：

• 定义 5.3.2（实数的加法）：设实数 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$，$y=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$，定义它们的和为 $x+y:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(a_n+b_n)$。

  证明：类似命题 5.2.4 的证明（将 |(a_i+b_i)-(a_j+b_j)| 拆成 $|a_i-a_j|+|b_i-b_j|$），可以证明序列 (a_n+b_n)_{n=m}^{\infty} 也是柯西序列，故该定义是合法的。

• 命题 5.3.3（实数关于加法遵从代入公理）：设实数 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$，$x'=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a'n$，$y=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$，且 $x=x'$，那么 $x+y=x'+y$。

  证明：设 \varepsilon>0 是任意正有理数。根据假设，存在 N\geqslant m 使得对于任意 n\geqslant N 有 $d(a_n,a'_n)\leqslant\varepsilon$，那么也有 $d(a_n+b_n,a'_n+b_n)\leqslant\varepsilon$，证毕。

• 定义 5.3.4（实数的乘法）：设实数 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$，$y=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$，定义它们的乘积为 $xy:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(a_nb_n)$。

  证明：根据引理 5.1.8，(a_n)_{n=m}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m}^{\infty} 都是有界的，不妨设分别以有理数 M_a>0,M_b>0 为界。那么对于任意的 $n\geqslant 1$，$|a_n|\leqslant M_a,|b_n|\leqslant M_b$。

  设 \varepsilon>0 为任意正实数，我们要找到 N\geqslant m 使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \varepsilon$。

  根据命题 4.5.2，存在有理数 \delta_a 满足 $0<\delta_a<\frac{\varepsilon}{M_b}$，可得此时 $\varepsilon-\delta_aM_b>0$。

  根据命题 4.5.2，存在有理数 \delta_b 满足 $0<\delta_b<\frac{\varepsilon-\delta_a M_b}{M_a+\delta_a}$，可得此时 $\delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。

  根据假设， 存在 N_a\geqslant m 使得对于任意 $i,j\geqslant N_a$，$d(a_i,a_j)\leqslant \delta_a$；存在 N_b\geqslant m 使得对于任意 $i,j\geqslant N_b$，$d(b_i,b_j)\leqslant \delta_b$。

  取 $N=\max(N_a,N_b)$，那么对于任意 $i,j\geqslant N$，根据命题 4.3.5.9，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \delta_a|b_i|+\delta_b|a_i|+\delta_a\delta_b\leqslant \delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。故此 N 合法。

• 命题 5.3.5（实数关于乘法遵从代入公理）：设实数 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$，$x'=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a'n$，$y=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$，且 $x=x'$，那么 $xy=x'y$。

  证明：根据引理 5.1.8，(b_n)_{n=m}^{\infty} 是有界的，不妨设以 M>0 为界。

  设 \varepsilon>0 为任意正实数。根据假设，存在 N\geqslant m 使得对于任意 $n\geqslant N$，$d(a_n,a'_n)\leqslant \varepsilon/M$，那么 $d(a_nb_n,a'_nb_n)=d(a_n,a'_n)|b_n|\leqslant \varepsilon$，证毕。

我们还需将有理数嵌入到实数集合中，方法是把有理数 q 等同于实数 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}q$。容易验证，这个嵌入和我们之前定义的实数的相等、加法和乘法的概念是相容的（注意，这意味着，对于那些被我们等同于有理数的实数，它们已经满足命题 4.2.5 中所述的代数算律了）。

有理数嵌入实数之后，我们可以方便地补充更多的运算：

• 定义 5.3.6（实数的负运算）：定义实数的负运算为 $-x:=(-1)\times x$。
• 定义 5.3.7（实数的减法）：定义实数的减法为 $x-y:=x+(-y)$。

当然，利用柯西序列的变换来实现上述定义也是等价的，但不能自然地得到代入公理（而需要重新证明）。

现在让我们来定义倒数。类似地，一个直接的想法是定义 $(\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n)^{-1}:=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n^{-1}$。当然，我们还要保证 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty} a_n\neq 0$。

但这样定义还是会出现一些问题，如柯西序列 \langle 0,1,1,\cdots\rangle 的形式极限为 $1\neq 0$，但我们没法把该序列的第一个数 0 倒过来。

为避免这类问题，我们引入一个新的概念。

• 定义 5.3.8（远离零的序列）：称一个序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是远离零的，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$|a_n|\geqslant c$。

注意，这和 “对于一切 $n\geqslant m$，$|a_n|>0$” 不等价，如序列 a_n:=\frac{1}{n} 就不是远离零的序列。注意，两序列等价并不蕴含两序列关于 “远离零” 相同，如序列 \langle0,1,1,\cdots\rangle 和 $\langle1,1,\cdots\rangle$。

下面的引理说明，若实数 x 不等于 $0$，那么它所对应的柯西序列等价类中，一定存在一个远离零的柯西序列。

• 引理 5.3.9：设 x 是不为 0 的实数，那么存在一个远离零的柯西序列 $(a_n){n=1}^{\infty}$，使得 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$。

  证明：根据定义，存在柯西序列 (b_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。

  x 不等于 $0=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}0$，意味着存在有理数 $\varepsilon>0$，对于任意 $N\geqslant m$，都存在 $p\geqslant N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。

  任取有理数 $0<\delta<\varepsilon$，根据假设，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|b_i-b_j|\leqslant\delta$。再按照刚刚说的，存在 $p\geqslant N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。

  由于 $|b_p|>\varepsilon$，又由于对于任意 i\geqslant p 有 $|b_i-b_p|\leqslant \delta$，那么对于任意 $i\geqslant p$，$|b_i|>\varepsilon-\delta>0$。

  那么序列 (b_n)_{n=p}^{\infty} 是远离零的，证毕。

注意，若实数 x 不等于 $0$，并不意味着 x 对应的柯西序列等价类中，所有柯西序列都是远离零的。上面提到的序列 (0,1,1,\cdots) 就是一个很好的例子。

现在可以定义倒数了：

• 定义 5.3.10（实数的乘法逆元）：设 x 是不为 0 的实数，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$，那么我们定义倒数为 $x^{-1}:=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n^{-1}$。

  证明：首先 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是远离零的，这蕴含了对于任意 n\geqslant m 有 $a_n\neq 0$，那么存在序列 $(a_n^{-1})_{n=1}^{\infty}$，让我们来证明该序列为柯西序列。

  根据假设，存在有理数 $c>0$，使得对于任意 $n\geqslant m$，|a_n|\geqslant c 即 $|1/a_n|\leqslant 1/c$。

  设 \varepsilon>0 是任意正有理数，根据假设，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-a_j|\leqslant \varepsilon c^2$，那么 $\left|\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}\right|=\frac{|a_i-a_j|}{|a_i||a_j|}\leqslant \varepsilon$。证毕。

• 命题 5.3.11（实数关于乘法逆元遵从代入公理）：设实数 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$，其中 (a_n)_{n=m}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m}^{\infty} 都是远离零的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n^{-1}$。

  证明：一种证明方法是类似 5.3.10 的证明（将 \left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}\right| 转化为 $\frac{|a_n-b_n|}{|a_n||b_n|}$）。

  另一种证明方法是：根据 $\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$，然后两边同乘 $\left(\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n^{-1}\right)\left(\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n^{-1}\right)$，得到 $\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n^{-1}$。相当于利用了实数关于乘法的代入公理。

• 定义 5.3.12（实数的除法）：定义两个实数 x 和 y\neq 0 的除法为：$x/y:=xy^{-1}$。

可以证明，有理数的乘法逆元和除法运算和实数的是相容的。

• 命题 5.3.13（实数的代数算律）：命题 4.2.5 中提及的关于有理数的代数算律对于实数也成立。

  证明：将实数表示成 \operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n 的形式，然后不难证明。

我们现在关于实数已经有了全部四种基本的运算，它们满足全部常见的代数算律，下面我们转向实数的序的概念。

5.4 实数的次序

我们现在也想给实数定义正负。利用单个柯西序列中的元素来判断实数的正负性显然是不现实的（例如序列 $\langle1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots\rangle$）。我们需要利用上一节中提到的远离零的定义。

• 定义 5.4.1：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$。称其是正远离零的，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c$。称其是负远离零的，当且仅当存在有理数 $c<0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant c$。

• 定义 5.4.2：称一个实数 x 是正的，当且仅当存在正远离零的柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$。称一个实数 x 是负的，当且仅当存在负远离零的柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$。

• 命题 5.4.3（实数的三歧性）：设 x 是实数，那么三个命题 “$x=0$”、“x 是正的” 和 “x 是负的” 中恰有一个成立。

  证明：存在性：若 $x\neq 0$，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。那么存在有理数 $c>0$，使得对于任意 n\geqslant m 有 $|a_n|\geqslant c$。

  根据定义，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-a_j|<2c$，那么就不存在 $i,j\geqslant N$，使得 a_i>0 和 a_j<0 同时成立。所以要么 “对于任意 $n\geqslant N$，$a_n>0$，那么 $a_n\geqslant c$”，要么 “对于任意 $n\geqslant N$，$a_n<0$，那么 $a_n\leqslant -c$”。那么 (a_n)_{n=N}^{\infty} 要么是正远离零的，要么是负远离零的，证毕。

  唯一性：反证。若存在 “x 是正的” 和 “x 是负的” 同时成立，说明存在正远离零的柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 和负远离零的柯西序列 (b_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$。那么 $(a_n){n=m}^{\infty}\sim(b_n){n=m}^{\infty}$。

  根据定义，存在有理数 c_a>0 使得对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c_a$；存在有理数 c_b>0 使得对于任意 $n\geqslant m$，$b_n\leqslant -c_b$。根据定义，又存在 N\geqslant m 使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-b_i|<c_a+c_b$，而 |a_i-b_i| 显然大于等于 $c_a+c_b$，矛盾。

容易证明，有理数的正负性的概念和实数的是相容的。

有了正负性的定义和性质，我们又能重复一些有理数中出现过的定理和定义。

• 引理 5.4.4：设 x,y 为实数，那么 xy 为正的当且仅当 x,y 同为正的或 x,y 同为负的，xy 为负的，当且即当 x,y 一正一负。

• 定义 5.4.5（实数的序）：设 x 和 y 是实数。称 x>y 当且仅当 x-y 是正实数。称 x<y 当且仅当 x-y 是负实数。称 x\geqslant y 当且仅当 x>y 或 $x=y$。称 x\leqslant y 当且仅当 x<y 或 $x=y$。

• 命题 5.4.6（实数的序的基本性质）：命题 4.2.11 中提及的关于有理数的序的基本性质对于实数也成立。

• 定义 5.4.7（实数的绝对值）：根据实数的三歧性，定义实数 x 的绝对值 |x| 为：若 x 是正的，那么 $|x|:=x$；若 x 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 x 是 $0$，那么 $|x|:=0$。

• 定义 5.4.8（实数的距离）：定义两个实数 x 和 y 的距离为 $d(x,y):=|x-y|$。

• 命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。

容易证明，有理数的序和绝对值的概念和实数的是相容的。

在实数的序的基础上，我们补充一些有关实数的稠密性的性质。

• 命题 5.4.10（实数在相邻整数之间）：设 x 是实数，那么存在唯一的整数 n 使得 $n\leqslant x<n+1$，记 n 为 x 的整部 $n=[x]$。

  证明：唯一性反证，现证存在性。设柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。

  存在 N\geqslant m 使得对于任意 i,j\geqslant N 有 $|a_i-a_j|\leq\frac12$。那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_N-\frac12\leqslant a_n\leqslant a_N+\frac12$。

  取 $A=[a_N-\frac12]$，则 $0\leqslant (a_N-\frac12)-A<1$。记 c=1-((a_N-\frac{1}{2})-A) 为正有理数。

  那么对于任意 $n\geqslant N$，$A\leqslant a_n\leqslant A+2-c$。于是 $A\leqslant x\leqslant A+2-c<A+2$（因为排版的历史遗留问题，这里要用到推论 5.4.14，但并不会导致循环论证）。

  根据 A+1 和 x 的大小关系分类讨论，即可构造出 A\leqslant x<A+1 或 $A+1\leqslant x<A+2$。存在性证毕。

• 推论 5.4.11（阿基米德性质）：设 x 和 \varepsilon 是任意正实数，那么存在正整数 $M$，使得 $M\varepsilon>x$。

推论 5.4.11 描述的是，无论 x 多么大，无论正数 \varepsilon 多么小，只要把 \varepsilon 自身不断累加，所得之和总会在有限次大于 $x$。

• 命题 5.4.12：设 x 和 y 是实数且 $x<y$，那么存在有理数 z 满足 $x<z<y$。

  证明：设柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$，设柯西序列 (b_n)_{n=m}^{\infty} 使得 $x=\operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$。

  由于 $x\neq y$，那么存在有理数 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $N\geqslant m$，都存在 p\geqslant N 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。根据命题 4.5.2，存在有理数 \delta_a,\delta_b,z' 使得 $0<\delta_a<z'<\varepsilon-\delta_b<\varepsilon$。

  存在 N_a\geqslant m 使得对于任意 $i,j\geqslant N_a$，$|a_i-a_j|\leqslant \delta_a$。存在 N_b\geqslant m 使得对于任意 $i,j\geqslant N_b$，$|b_i-b_j|\leqslant \delta_b$。

  存在 p\geqslant \max(N_a,N_b) 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。那么对于任意 $i\geqslant p$，|a_i-a_p|\leqslant \delta_a 且 $|b_i-b_p|\leqslant \delta_b$。

  又由于 $x<y$，综合可知 $a_p+\varepsilon<b_p$，且对于任意 $i\geqslant p$，有 $a_i\leqslant a_p+\delta_a<a_p+z'<b_p-\delta_b\leqslant b_i$。

  取 $z=a_p+z'$，即可证明 $x<z<y$。

注意，命题 5.4.12 蕴含了 “设 x 和 y 是实数且 $x<y$，那么存在实数 z 满足 $x<z<y$”。

现在我们将柯西序列中元素的序和实数的序联系起来，给出一些性质，以便之后使用。

• 命题 5.4.13（非负实数集是闭的）：设 (a_n)_{n=m}^{\infty} 是一个非负有理数的柯西序列，那么 \operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n 也是非负的。

  证明：反证易得。

但需要注意，正有理数序列的形式极限不必是正的，它可以是零。我们将在第 12 章中看到对此事实的一个更好的解释：因为正实数集是开的，而非负实数集是闭的。

• 推论 5.4.14：设柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m}^{\infty} 满足对于任意 n\geqslant m 有 $a_n\geqslant b_n$，那么 $\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n\geqslant \operatorname{LIM}{n\to \infty}b_n$。

  证明：结合定义及命题 5.4.13 可知。

注意，因为正有理数序列的形式极限不必是正的，所以上述推论中的 \geqslant 换成 > 不一定成立。

而判定两个实数 x,y 满足 x<y 的正确方式应是：找到有理数 c>0 以及柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 和 (b_n)_{n=m}^{\infty} 使得 x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n 且 $y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，并满足对于任意 $n\geqslant m$，$b_n-a_n\geqslant c$。

• 命题 5.4.15：设实数 x 和柯西序列 (a_n)_{n=m}^{\infty} 满足对于任意 n\geqslant m 有 $a_n\leqslant x$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\leqslant x$。

  证明：考虑证明逆否命题：若 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n>x$，则存在 n\geqslant m 使得 $a_n>x$。

  根据命题 5.4.12，存在有理数 z 使得 $x<z<\operatorname{LIM}{n\to \infty}a_n$。若对于任意的 n\geqslant m 都有 $a_n\leqslant z$，那么根据推论 5.4.14 可知 $\operatorname{LIM}{n\to \infty}\leqslant z$，故存在 n\geqslant 1 使得 $a_n>z>x$，证毕。

对称地，将命题 5.4.15 中的 \leqslant 换成 $\geqslant$，同样成立。

5.5 界和确界

我们介绍两个关于实数的新概念——界和确界。

• 定义 5.5.1（上界）：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 M 是 E 的一个上界，当且仅当对于任意 x\in E 有 $x\leqslant M$。

我们可以注意到：有一些集合没有上界（如正实数集 $\mathbb R^+:={x\in \mathbb R:x>0}$），任何数都是 \varnothing 的上界。

• 定义 5.5.2（上确界）：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 M 是 E 的上确界，当且仅当 M 是 E 的上界，且 E 的任何上界 M' 都大于等于 $M$。

• 命题 5.5.3（确界原理）：设 E\subseteq \mathbb R 是非空集合，若 E 有上界，那么 E 的上确界存在且唯一。

  证明：唯一性：反证。设 E 有两个上确界 $M,M'$，那么根据定义有 M'\geqslant M 且 $M\geqslant M'$，即 $M=M'$。

  存在性：E 是非空集合，设 $x_0\in E$。E 存在上界，设 M 是 E 的上界。那么 $x_0\leqslant M$。

  设整数 $n\geqslant 1$，存在整数 K 使得 $M\leqslant \frac{K}{n}$，存在整数 L 使得 $\frac{L}{n}<x_0$，那么 $L<K$。

  存在唯一的整数 m_n 满足 L<m_n\leqslant K 使得 \frac{m_n}{n} 是 E 的上界而 \frac{m_n-1}{n} 不是（固定 L 而对 K 归纳）。

  注意到，设整数 $N\geqslant 1$，对于任意 $n,n'\ge N$，由于 \frac{m_n}{n} 是 E 的上界而 \frac{m_{n'}-1}{n'} 不是，那么有 $\frac{m_{n'}-1}{n'}<\frac{m_n}{n}$，即 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}<\frac{1}{n'}\leqslant\frac{1}{N}$，同理 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}>-\frac{1}{n}\geqslant- \frac{1}{N}$，即 $|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}|\leqslant\frac{1}{N}$。

  那么可以证明 (\frac{m_n}{n})_{n=1}^{\infty} 是一个柯西序列。令 $S=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)$，我们欲证明 S 就是 E 的上确界。

  先证明 S 是 E 的上界：对于任意 $x\in E$，我们知道对于任意 $n\geqslant 1$，$x\leqslant \frac{m_n}{n}$，那么根据命题 5.4.15 可知 $x\leqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)$。

  再证明 S 是 E 的上确界：对于任意 E 的上界 $y$，对于任意 $n\geqslant 1$，由于 \frac{m_n-1}{n} 不是 E 的上界，那么 $\frac{m_n-1}{n}<y$，那么根据命题 5.4.15 可知 $y\geqslant \operatorname{LIM}{n\to \infty}\frac{m_n-1}{n}=\operatorname{LIM}{n\to \infty}(m_n/n)=S$。

• 定义 5.5.4（sup）：设 $E\subseteq \mathbb R$。若 E 非空且存在上界，那么定义 \sup E 为 E 的上确界；若 E 非空且不存在上界，那么定义 $\sup E:=+\infty$；若 E 为空，那么定义 $\sup E:=-\infty$。

在这里，+\infty 和 -\infty 都是形式上的记号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。

我们举一个例子来说明定义上确界的作用：

• 命题 5.5.5：存在正实数 x 使得 $x^2=2$。

  证明：设集合 E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^2<2\} 是 \mathbb R 的子集。显然 E 存在上界。那么就存在上确界 $x:=\sup E$。我们来证明 $x^2=2$，即证不可能有 x^2<2 或 $x^2>2$。

  首先，因为 2 是 E 的上界（若 y>2 则 $y^2>4>2$），有 $x\leqslant 2$。

  假设 $x^2<2$。考虑证明存在实数 \varepsilon>0 使得 $(x+\varepsilon)^2<2$（那么 $x+\varepsilon\in E$，从而 x 不是 E 的上界，矛盾），而 $(x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2\leqslant x^2+5\varepsilon$，那么只需令 0<\varepsilon<\frac{2-x^2}{5} 即可。

  假设 $x^2>2$，考虑证明存在实数 \varepsilon>0 使得 $(x-\varepsilon)^2>2$（从而 x-\varepsilon 是 E 的更小上界，矛盾），而 $(x-\varepsilon)^2=x^2-2x\varepsilon+\varepsilon^2\geqslant x-3\varepsilon^2$，那么只需令 0<\varepsilon<\frac{x^2-2}{3} 即可。

类似地，我们也可以定义下界、下确界以及 $\inf E$。根据对称性，容易证明 $\sup E=-\inf(-E)$，其中 $-E:={-x:x\in E}$。

5.6 实数的有理数次幂

类似有理数，我们可以类似地定义实数的整数次幂，以及得到相似的关于整数次幂的性质：

• 定义 5.6.1（自然数次幂的指数运算）：设 x 是实数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。

• 定义 5.6.2（负数次幂的指数运算）：设 x 是一个非零的实数，那么对于任何负整数 $-n$，定义 $x^{-n}:=\frac{1}{x^n}$。

• 命题 5.6.3：命题 4.4.2、引理 4.4.4、引理 4.4.5 和命题 4.4.6 中提及的关于整数次幂的性质对于实数也成立。

  证明：审视上述命题的证明，发现它们依赖于有理数的代数算律和序的规则，而以前我们已经证明过了这些对于实数同样成立，故这些命题对于实数也成立。

可以看到，有理数的整数次幂的指数运算和实数的是相容的。

现在我们来定义实数的非整数次幂，先从 n 次根的概念开始。

• 定义 5.6.4：对于实数 x>0 和整数 $n\geqslant 1$，定义 x 的 n 次根为实数 $x^{\frac{1}{n}}:=\sup{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x}$。我们常把 x^{\frac{1}{2}} 记作 $\sqrt x$。

  证明：只需证明 E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x\} 非空和存在上界即可。容易发现一定有 $0\in E$。

  存在整数 N>0 使得 $x\leqslant N$，通过对 N 归纳可以证明存在正整数 Y 使得 $Y^n\geqslant N\geqslant x$。那么 Y 是 E 的上界（若 $y>Y$，则 $y^n>Y^n\geqslant x\implies y\not\in E$）。

• 引理 5.6.5：设实数 x>0,y\geqslant 0 和整数 $n\geqslant 1$。若 $y^n<x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y+\varepsilon)^n<x$；若 $y^n>x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y-\varepsilon)^n>x$。

  证明：两证明对称，证前面那个。根据 5.6.4 的证明，可知存在正整数 Y 使得 $y\leqslant Y$，那么对 n 归纳可以证明存在正整数 k 使得 $(y+\varepsilon)^n\leqslant y^n+k\varepsilon$。那么取 \varepsilon 使得 0<\varepsilon<\frac{x-y^n}{k} 即可。

• 引理 5.6.6：设实数 x,y>0 和整数 $n,m\geqslant 1$。

  1. $(x^{\frac{1}{n}})^n=x$。证明：设 $y=x^{\frac{1}{n}}$，类似命题 5.5.5 的证明，利用引理 5.6.5，可以证明不可能有 y^n<x 或 $y^n>x$。

  2. $y^n=x\implies y=x^{\frac{1}{n}}$。证明：利用序的性质及命题 5.6.3 易证。

     推论1：$y=(y^n)^{\frac{1}{n}}$。推论2（消去律）：$x^n=y^n\implies x=y$。

  3. $x^{\frac{1}{n}}>0$。证明：$0^n<x$，根据引理 5.6.5 可知 0 不是上界，故上确界大于 $0$。

  4. $x>y\iff x^{\frac1n}>y^{\frac1n}$。证明：根据命题 5.6.3 易证。

  5. 若 $x>1$，那么 x^{\frac1n} 是关于 n 的减函数；若 $x<1$，那么 x^{\frac1n} 是关于 n 的增函数；若 $x=1$，那么对于任意 $n\geqslant 1$，$x^{\frac1n}=1$。

     证明：只证第一条，即证 $x^{\frac1n}>x^{\frac1{n+1}}$。可以证明 $x^{\frac1{n+1}}>1$，那么可以对幂次归纳证明 $(x^{\frac1{n+1}})^n<(x^{\frac{1}{n+1}})^{n+1}=x$，于是 $x^{\frac{1}{n+1}}<x^{\frac1n}$。

  6. $(xy)^{\frac1n}=x^{\frac1n}y^{\frac1n}$。证明：它们的 n 次方相等。

  7. $(x^{\frac1n})^{\frac1m}=x^{\frac1{nm}}$。证明：它们的 nm 次方相等。推论：$(x^{\frac{1}{nm}})^m=x^{\frac{1}{n}}$。

可以证明，x^{\frac11} 和 x^1 是相容的。接下来我们定义实数的有理数次幂。

• 定义 5.6.7（有理数次幂的指数运算）：设实数 x>0 和有理数 $q=\frac{a}{b}$，其中 a 是整数且 b 是正整数，定义 $x^q:=(x^{\frac1b})^a$。

• 命题 5.6.8（实数关于有理数次求幂遵从代入公理）：设 x>0 是实数，a,a' 是整数，b,b' 是正整数，且满足 $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$，那么 $(x^{\frac1b})^a=(x^{\frac1{b'}})^{a'}$。

  证明：$ab'=a'b$。当 a>0 时，$a'>0$，有 $x^{\frac1{ab'}}=x^{\frac{1}{a'b}}$，将等式两边同时取 aa' 次幂，即证。当 a=0 和 a<0 时类似。

容易发现，有理数次幂和整数次幂及定义 5.6.4 是相容的。我们给出有理数次幂的一些基本性质：

• 引理 5.6.9：设实数 x,y>0 和有理数 $q,r$。

  1. $x^q>0$。证明：结合引理 5.6.6.3 和命题 5.6.3。

  2. x^{q+r}=x^qx^r 且 $(x^q)^r=x^{qr}$。证明：将 q,r 表示成分数的形式，然后等式两侧同时取幂，利用引理 5.6.6 消掉 x 的幂次中的分母，然后变成整数次幂的形式。

  3. $x^{-q}=\frac{1}{x^q}$。证明：方法同上。

  4. 若 $q>0$，$x>y\iff x^q>y^q$。证明：结合引理 5.6.6.4 和命题 5.6.3。

  5. 若 $x>1$，那么 $x^q<x^r\iff q<r$。若 $x<1$，那么 $x^q<x^r\iff q>r$。证明：将 q,r 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 $q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$，那么 $q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}$）。

而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。

由于历史遗留的排版问题，在这里补充一下与引理 5.6.5 有关的内容。

• 引理 5.6.10（伯努利不等式）：设实数 h\geq -1 和自然数 $n$，那么 $(1+h)^n\geq 1+nh$。

  证明：对 n 归纳。$(1+h)^{n+1}=(1+h)^n(1+h)\geq (1+nh)(1+h)=1+(n+1)h+nh^2\geq 1+(n+1)h$。

• 引理 5.6.11：设实数 h 和自然数 $n$，若 h\leq 0 或 $1-n\frac{h}{1+h}>0$，则 $(1+h)^n\leq \dfrac{1}{1-n\frac{h}{1+h}}$。

  证明：$(1+h)^n=\dfrac{1}{(\frac{1}{1+h})^n}=\dfrac{1}{(1-\frac{h}{1+h})^n}\leq \dfrac{1}{1-n\frac{h}{1+h}}$，其中最后一步成立的条件是 (1-\frac{h}{1+h})^n 和 1-n\frac{h}{1+h} 同号。

根据引理 5.6.10 和引理 5.6.11，便可实现引理 5.6.5 的证明中的构造性放缩。