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第 10 章 函数的微分

10.1 基本定义

• 定义 10.1.1（在一点处的可微性）：设 $X\subseteq \mathbb R$，x_0\in X 且是 X 的极限点（非孤立点），f:X\to\mathbb R 是函数。

  称 f 在 x_0 处可微且具有导数 $L$，记作 $f'(x_0):=L$，当且仅当 \lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} 收敛到 $L$。

  若极限不存在，或 $x_0\not\in X$，或 x_0 不是 X 的极限点，则称 f 在 x_0 处不可微。

• 命题 10.1.2（Newton 逼近）：设 $X\subseteq \mathbb R$，x_0\in X 且是 X 的极限点，f:X\to \mathbb R 是函数，L 是实数。

  那么 f 在 x_0 处可微且导数为 $L$，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 x\in X 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq\varepsilon|x-x_0|$。

  证明：根据定义可得。

• 命题 10.1.3（可微性蕴含连续性）：设 $X\subseteq \mathbb R$，x_0\in X 且是 X 的极限点，f:X\to\mathbb R 是函数。若 f 在 x_0 处可微，则 f 在 x_0 处连续。

  证明：设 f 在 x_0 处导数为 $L$。

  设 \varepsilon>0 是任意正实数。任取 $\varepsilon'>0$，根据命题 10.1.2，存在 $0<\delta\leq \frac \varepsilon {\varepsilon'+|L|}$，使得对于任意 x\in X 且 $|x-x_0|\leq \delta$，都有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq\varepsilon'|x-x_0|$，得到 $|f(x)-f(x_0)|\leq(\varepsilon'+|L|)|x-x_0|\leq (\varepsilon'+|L|)\delta\leq \varepsilon$。证毕。

//连续不一定可微。例如绝对值函数 f(x):=|x| 在 0 处连续但不可微。

//利用同样的思路，构造 f:[0,+\infty)\to \mathbb R 满足 $f(x):=\begin{cases}x&\text{if }\exists_{n\text{为正偶数}},x=\frac1n\-x&\text{if }\exists_{n为正奇数},x=\frac1n\0&\text{otherwise}\end{cases}$，那么 f 同样是在 0 处连续但不可微（斜率存在 0,-1,1 三种）的。这个构造给我们一种启发：先构造一个在序列上的反例 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，然后通过令 f(\frac1n):=a_n 把序列的反例放到函数啥上。

• 定义 10.1.4：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是函数。称 f 是可微的，当且仅当对于任意 x_0\in X 且是 X 的极限点，都有 f 在 x_0 处可微。

• 推论 10.1.5：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是函数。若 f 是可微的，则 f 是连续的。证明：略。

• 定理 10.1.6（微分算法）：设 $X\subseteq \mathbb R$，x_0\in X 且是 X 的极限点，f:X\to\mathbb R 和 g:X\to \mathbb R 是函数。

  1. 若 f 是常值函数，则 f 可微且 $f'(x_0)=0$。
  2. 若对于任意 x\in X 有 $f(x)=x$，则 f 可微且 $f'(x_0)=1$。
  3. 若 f,g 在 x_0 处均可微，则 f+g 也在 x_0 处可微，且 $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$。
  4. 若 f,g 在 x_0 处均可微，则 f-g 也在 x_0 处可微，且 $(f-g)'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)$。
  5. 设 c 是实数。若 f 在 x_0 处可微，则 cf 也在 x_0 处可微，且 $(cf)'(x_0)=cf'(x_0)$。
  6. 若 f,g 在 x_0 处均可微，则 fg 也在 x_0 处可微，且 $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$。
  7. 若 g 在 x_0 处可微，且对于任意 x\in X 有 $g(x)\neq 0$，则 \frac1g 也在 x_0 处可微，且 $\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。
  8. 若 f,g 在 x_0 处均可微，则 \frac fg 也在 x_0 处可微，且 $\left(\frac fg\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。

  证明：使用函数的极限算律即可。以 10.1.6.8 的证明为例：

  
  \begin{aligned}
  \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)&=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x-x_0}\\
  &=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{x-x_0}}{g(x)g(x_0)}\\
  &=\frac{\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{(f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0))-(f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0))}{x-x_0}}{g^2(x_0)}\\
  &=\frac{\left(\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)-\left(\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}{g^2(x_0)}\\
  &=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}
  \end{aligned}
  

  当然，正确的方向应该是从后往前推，这样才是正确使用极限算律的方向。

• 定理 10.1.7（链式法则）：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，x_0\in X 且是 X 的极限点，f:X\to Y 是在 x_0 处可微的函数，y_0:=f(x_0) 是 Y 的极限点，g:Y\to \mathbb R 是在 y_0 处可微的函数。那么函数 g\circ f:X\to \mathbb R 在 x_0 处可微，且 $(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)$。

  证明：设 k_1:=f'(x_0) 和 $k_2:=g'(y_0)$。设 \varepsilon>0 是任意正实数。

  存在 \varepsilon_1,\varepsilon_2>0 满足 $\varepsilon_1|k_2|+\varepsilon_2|k_1|+\varepsilon_1\varepsilon_2\leq \varepsilon$（见 5.3.4 的证明）。

  存在 \delta_2>0 满足，对于任意 y\in Y 且 $|y-y_0|\leq\delta_2$，记 $\Delta y=|y-y_0|,\Delta z=|g(y)-g(y_0)|$，有 $|\Delta z-k_2\Delta y|\leq\varepsilon_2\Delta y$。

  存在 \delta_1>0 满足，对于任意 x\in X 且 $|x-x_0|\leq \delta_1$，记 $\Delta x=|x-x_0|,\Delta y=|f(x)-f(x_0)|$，有 $|\Delta y-k_1\Delta x|\leq \varepsilon_1 \Delta x$。

  存在 \delta_3>0 满足，对于任意 x\in X 且 $|x-x_0|\leq\delta_3$，有 $|f(x)-f(x_0)|\leq \delta_2$。

  设 $\delta:=\min(\delta_1,\delta_3)$，那么 $\delta>0$。那么对于任意 x\in X 且 $|x-x_0|\leq \delta$，记 $\Delta x=|x-x_0|,\Delta y=|f(x)-f(x_0)|,\Delta z=|g(f(x))-g(f(x_0))|$，有 $\Delta x\leq \delta_1,\Delta y\leq \delta_2$，从而 |\Delta y-k_1\Delta x|\leq \varepsilon_1 \Delta x 且 $|\Delta z-k_2\Delta y|\leq\varepsilon_2\Delta y$，那么：

  
  \begin{aligned}
  |\Delta z-k_2\Delta y|&\leq\varepsilon_2\Delta y\\
  |\Delta z-k_2k_1\Delta x|&\leq \varepsilon_2\Delta y+|k_2|\varepsilon_1\Delta x\\
  &\leq \varepsilon_2(|k_1|\Delta x+\varepsilon_1\Delta x)+|k_2|\varepsilon_1
  \Delta x\\
  &=(\varepsilon_1|k_2|+\varepsilon_2|k_1|+\varepsilon_1\varepsilon_2)\Delta x\\
  &\leq \varepsilon\Delta x
  \end{aligned}
  

  证毕。

10.2 局部极值和导数

• 定义 10.2.1（局部极值）：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是函数，$x_0\in X$。

  称 f 在 x_0 处达到局部最大值，当且仅当存在 \delta>0 使得 f|_{X\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)} 在 x_0 处达到最大值。

  称 f 在 x_0 处达到局部最小值，当且仅当存在 \delta>0 使得 f|_{X\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)} 在 x_0 处达到最小值。

显然 f 的孤立点是同时达到局部最大值和局部最小值的。

• 命题 10.2.2（局部极值是稳定的）：设实数 a,b 且 $a<b$，f:(a,b)\to \mathbb R 是函数，$x_0\in (a,b)$。若 f 在 x_0 处可微，且 f 在 x_0 处达到局部最大值或局部最小值，那么 $f'(x_0)=0$。

  证明：

//注意，用闭区间 [a,b] 代替 $(a,b)$，该命题不一定成立。因为当区间的端点是局部极值时，其导数不一定为 $0$。

• 定理 10.2.7（罗尔定理）：设实数 a,b 且 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R 是连续函数，且 f|_{(a,b)} 可微。若 $f(a)=f(b)$，那么存在 x\in (a,b) 使得 $f'(x)=0$。

  证明：