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### 第 10 章 函数的微分
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#### 10.1 基本定义
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- **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处可微且具有导数 $L$，记作 $f'(x_0):=L$，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 收敛到 $L$。
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若极限不存在，或 $x_0\not\in X$，或 $x_0$ 不是 $X$ 的极限点，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可微。
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- **命题 10.1.2（Newton 逼近）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
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那么 $f$ 在 $x_0$ 处可微且导数为 $L$，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq\varepsilon|x-x_0|$。
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**证明**：根据定义可得。
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- **命题 10.1.3（可微性蕴含连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。
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**证明**：设 $f$ 在 $x_0$ 处导数为 $L$。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。任取 $\varepsilon'>0$，根据命题 10.1.2，存在 $0<\delta\leq \frac \varepsilon {\varepsilon'+|L|}$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq \delta$，都有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq\varepsilon'|x-x_0|$，得到 $|f(x)-f(x_0)|\leq(\varepsilon'+|L|)|x-x_0|\leq (\varepsilon'+|L|)\delta\leq \varepsilon$。证毕。
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//连续不一定可微。例如绝对值函数 $f(x):=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可微。
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//利用同样的思路，构造 $f:[0,+\infty)\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}x&\text{if }\exists_{n\text{为正偶数}},x=\frac1n\\-x&\text{if }\exists_{n为正奇数},x=\frac1n\\0&\text{otherwise}\end{cases}$，那么 $f$ 同样是在 $0$ 处连续但不可微（斜率存在 $0,-1,1$ 三种）的。这个构造给我们一种启发：先构造一个在序列上的反例 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，然后通过令 $f(\frac1n):=a_n$ 把序列的反例放到函数啥上。
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- **定义 10.1.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是可微的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，都有 $f$ 在 $x_0$ 处可微。
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- **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。**证明**：略。
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- **定理 10.1.6（微分算法）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$ 是函数。
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1. 若 $f$ 是常值函数，则 $f$ 可微且 $f'(x_0)=0$。
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2. 若对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)=x$，则 $f$ 可微且 $f'(x_0)=1$。
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3. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $f+g$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$。
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4. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $f-g$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(f-g)'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)$。
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5. 设 $c$ 是实数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $cf$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(cf)'(x_0)=cf'(x_0)$。
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6. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $fg$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$。
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7. 若 $g$ 在 $x_0$ 处可微，且对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\neq 0$，则 $\frac1g$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。
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8. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $\left(\frac fg\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。
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**证明**：使用函数的极限算律即可。以 10.1.6.8 的证明为例：
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$$
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\begin{aligned}
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\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)&=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x-x_0}\\
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&=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{x-x_0}}{g(x)g(x_0)}\\
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&=\frac{\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{(f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0))-(f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0))}{x-x_0}}{g^2(x_0)}\\
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&=\frac{\left(\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)-\left(\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}{g^2(x_0)}\\
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&=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}
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\end{aligned}
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$$
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当然，正确的方向应该是从后往前推，这样才是正确使用极限算律的方向。
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- **定理 10.1.7（链式法则）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to Y$ 是在 $x_0$ 处可微的函数，$y_0:=f(x_0)$ 是 $Y$ 的极限点，$g:Y\to \mathbb R$ 是在 $y_0$ 处可微的函数。那么函数 $g\circ f:X\to \mathbb R$ 在 $x_0$ 处可微，且 $(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)$。
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**证明**：设 $k_1:=f'(x_0)$ 和 $k_2:=g'(y_0)$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。
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存在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ 满足 $\varepsilon_1|k_2|+\varepsilon_2|k_1|+\varepsilon_1\varepsilon_2\leq \varepsilon$（见 5.3.4 的证明）。
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存在 $\delta_2>0$ 满足，对于任意 $y\in Y$ 且 $|y-y_0|\leq\delta_2$，记 $\Delta y=|y-y_0|,\Delta z=|g(y)-g(y_0)|$，有 $|\Delta z-k_2\Delta y|\leq\varepsilon_2\Delta y$。
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存在 $\delta_1>0$ 满足，对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq \delta_1$，记 $\Delta x=|x-x_0|,\Delta y=|f(x)-f(x_0)|$，有 $|\Delta y-k_1\Delta x|\leq \varepsilon_1 \Delta x$。
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存在 $\delta_3>0$ 满足，对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta_3$，有 $|f(x)-f(x_0)|\leq \delta_2$。
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设 $\delta:=\min(\delta_1,\delta_3)$，那么 $\delta>0$。那么对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq \delta$，记 $\Delta x=|x-x_0|,\Delta y=|f(x)-f(x_0)|,\Delta z=|g(f(x))-g(f(x_0))|$，有 $\Delta x\leq \delta_1,\Delta y\leq \delta_2$，从而 $|\Delta y-k_1\Delta x|\leq \varepsilon_1 \Delta x$ 且 $|\Delta z-k_2\Delta y|\leq\varepsilon_2\Delta y$，那么：
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$$
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\begin{aligned}
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|\Delta z-k_2\Delta y|&\leq\varepsilon_2\Delta y\\
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|\Delta z-k_2k_1\Delta x|&\leq \varepsilon_2\Delta y+|k_2|\varepsilon_1\Delta x\\
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&\leq \varepsilon_2(|k_1|\Delta x+\varepsilon_1\Delta x)+|k_2|\varepsilon_1
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\Delta x\\
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&=(\varepsilon_1|k_2|+\varepsilon_2|k_1|+\varepsilon_1\varepsilon_2)\Delta x\\
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&\leq \varepsilon\Delta x
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\end{aligned}
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$$
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证毕。
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#### 10.2 局部极值和导数
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- **定义 10.2.1（局部极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到局部最大值，当且仅当存在 $\delta>0$ 使得 $f|_{X\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}$ 在 $x_0$ 处达到最大值。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到局部最小值，当且仅当存在 $\delta>0$ 使得 $f|_{X\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}$ 在 $x_0$ 处达到最小值。
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显然 $f$ 的孤立点是同时达到局部最大值和局部最小值的。
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- **命题 10.2.2（局部极值是稳定的）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:(a,b)\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in (a,b)$。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，且 $f$ 在 $x_0$ 处达到局部最大值或局部最小值，那么 $f'(x_0)=0$。
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**证明**：
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//注意，用闭区间 $[a,b]$ 代替 $(a,b)$，该命题不一定成立。因为当区间的端点是局部极值时，其导数不一定为 $0$。
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- **定理 10.2.7（罗尔定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微。若 $f(a)=f(b)$，那么存在 $x\in (a,b)$ 使得 $f'(x)=0$。
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**证明**： |