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第 9 章 \mathbb R 上的连续函数

9.1 \mathbb R 的子集合

• 定义 9.1.1（区间）：设 $a,b\in \mathbb R^$。定义闭区间 $[a,b]:={x\in \mathbb R^:a\leq x\leq b}$；

  半开区间 $[a,b):={x\in \mathbb R^:a\leq x< b},(a,b]:={x\in \mathbb R^:a< x\leq b}$；

  开区间 $(a,b):={x\in \mathbb R^*:a<x<b}$。

  称 a 为这些区间的左端点，b 为这些区间的右端点。

  称没有端点是无限（+\infty 或 $-\infty$）的区间为有界区间，称一个端点是无限的区间为半无限区间，称两个端点都是无限的区间为双无限区间。

于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$，$\mathbb R^*=[-\infty,+\infty]$。

• 定义 9.1.2（附着点）：设 X\subseteq \mathbb R 和实数 $x$。

  对于实数 $\varepsilon>0$，称 x 是 \varepsilon 附着于 X 的，当且仅当存在 y\in X 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。

  称 x 是 X 的附着点，当且仅当对于任意 \varepsilon>0 都有 x 是 \varepsilon 附着于 X 的。

• 定义 9.1.3（闭包）：设 $X\subseteq \mathbb R$。定义 X 的闭包 $\overleftrightarrow{X}:={x\in \mathbb R:\text{$x$是$X$的附着点}}$。

• 引理 9.1.4（闭包的初等性质）：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$。那么

  • $X\subseteq \overleftrightarrow{X}$。
  • $\overleftrightarrow{X\cup Y}=\overleftrightarrow{X}\cup\overleftrightarrow{Y}$。
  • $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
  • $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。

  证明：略。

• 引理 9.1.5（区间的闭包）：设实数 a,b 满足 $a<b$。那么 [a,b],[a,b),(a,b],(a,b) 的闭包是 $[a,b]$；[a,+\infty),(a,+\infty) 的闭包是 $[a,\infty)$；(-\infty,a],(-\infty,a) 的闭包是 $(-\infty,a]$；(-\infty,+\infty) 的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。

  证明：略。

我们还可以看到，$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。

• 引理 9.1.6：设 X\subseteq \mathbb R 和实数 $x$。那么 x 是 X 的附着点，当且仅当，存在一个收敛到 x 的序列 (a_n)_{n=0}^{\infty} 满足对于任意 n\geq 0 有 $a_n\in X$。

  证明：利用选择公理，在 [x-\frac1n,x+\frac1n] 范围内任选一个 X 中的点作为 $a_n$。

• 定义 9.1.7：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 X 是闭的，当且仅当 $\overleftrightarrow{X}=X$。

• 推论 9.1.8：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 X 是闭的，当且仅当，对于任意 (a_n)_{n=0}^{\infty} 是由 X 的元素组成的收敛序列，有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\in X$。

  证明：根据引理 9.1.6 可知。

• 定义 9.1.9（极限点/聚点/孤立点）：设 X\subseteq \mathbb R 和实数 $x$。称 x 是 X 的极限点，当且仅当 x 是 X\setminus\{x\} 的附着点。称 x 是 X 的孤立点，当且仅当 x\in X 且 x 不是 X\setminus\{x\} 的附着点。

• 引理 9.1.10：X 的所有附着点恰由 X 的所有极限点和孤立点组成。证明：略。

引理 9.1.10 表明，我们能按照 x 是否为 X\setminus\{x\} 的附着点，将 X 的所有附着点 x 分为两类。

• 引理 9.1.11：设 I 是任意区间，那么 I 中的每个元素都是 I 的极限点。证明：略。

• 定义 9.1.12（有界集合）：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 X 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 X 是无界的，当且仅当 X 不是有界的。

• 定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 X 是闭的并且是有界的，当且仅当，对于任意 (a_n)_{n=0}^{\infty} 是由 X 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 X 中的某数 $L$。

  证明：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。

9.2 实值函数的代数

• 定义 9.2.1：设函数 f:X\to \mathbb R 和 $Y\subseteq X$。定义 $f|_Y$（称作 f 在 Y 上的限制）为定义域在 $Y$，值域在 \mathbb R 的函数，满足对于任意 y\in Y 有 $f|_Y(y):=f(y)$。

• 定义 9.2.2（函数的算术运算）：设函数 f:X\to\mathbb R 和 $g:X\to \mathbb R$。

  定义它们的和为函数 $f+g:X\to\mathbb R$，满足 $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$。

  定义它们的差为函数 $f-g:X\to\mathbb R$，满足 $(f-g)(x):=f(x)-g(x)$。

  设 c 是实数，定义函数 $cf:X\to\mathbb R$，满足 $(cf)(x):=cf(x)$。

  定义它们的积为函数 $fg:X\to\mathbb R$（或 $f\cdot g:X\to\mathbb R$），满足 $(fg)(x):=f(x)g(x)$。

  若对于任意 x\in X 有 $g(x)\neq 0$，定义它们的商为函数 $\frac fg:X\to\mathbb R$，满足 $\left(\frac fg\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$。

  定义函数 $\max(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$。

  定义函数 $\min(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x))$。

需注意函数乘法和函数复合的区分。

9.3 函数的极限值

• 定义 9.3.1：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 f:X\to \mathbb R 和实数 $L$。

  设实数 $\varepsilon>0$。称 f 是 \varepsilon 接近于 L 的，当且仅当对于任意 $x\in X$，$|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

  设实数 \varepsilon>0 和 X 的附着点 $x_0$。称 f 是在 x_0 附近 \varepsilon 接近于 L 的，当且仅当存在 $\delta>0$，使得 f|_{\{x\in X:|x-x_0|<\delta\}} 是 \varepsilon 接近于 L 的。

  设 E\subseteq X 和 E 的附着点 $x_0$。称 f 在 x_0 处沿着 E 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，f|_E 都是在 x_0 附近 \varepsilon 接近于 L 的。若 f 在 x_0 处沿着 E 不收敛到任何数 $L$，那么称 f 在 x_0 处沿着 E 发散，并让 \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x) 无定义。

  更直接地，\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L 当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 x\in E 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

//感性理解

• 命题 9.3.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，x_0 是 E 的附着点，f:X\to \mathbb R 是函数，L 是实数。

  那么 f 在 x_0 处沿着 E 收敛到 $L$，当且仅当，对于任意 (a_n)_{n=0}^{\infty} 是由 E 的元素组成的收敛到 x_0 的序列，(f(a_n))_{n=0}^{\infty} 都收敛到 $L$。

  证明：若 f 在 x_0 处沿着 E 收敛到 $L$。设 (a_n)_{n=0}^{\infty} 是任意由 E 的元素组成的收敛到 x_0 的序列。设 \varepsilon>0 是任意正实数。存在 $\delta>0$，使得对于任意 x\in E 且 |x-x_0|<\delta 有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。存在 $N\geq 0$，使得对于任意 n\geq N 都有 $|a_n-x_0|<\delta$，那么 $|f(a_n)-L|\leq\varepsilon$。

  若对于任意 (a_n)_{n=0}^{\infty} 是由 E 的元素组成的收敛到 x_0 的序列，(f(a_n))_{n=0}^{\infty} 都收敛到 $L$。反证，若 f 在 x_0 处沿着 E 不收敛到 $L$。那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，存在 x\in E 且 $|x-x_0|<\delta$，满足 $|f(x)-L|> \varepsilon$。那么根据选择公理，存在 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，都有 $a_n\in E$、|a_n-x_0|<\frac1n 和 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$。于是 (a_n)_{n=0}^{\infty} 收敛到 x_0 但 (f(a_n))_{n=0}^{\infty} 并不收敛到 $L$，矛盾。

• 推论 9.3.3（函数的极限是唯一的）：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，x_0 是 E 的附着点，f:X\to \mathbb R 是函数。那么 f 在 x_0 处沿着 E 至多收敛到一个实数 $L$。

  证明：根据命题 9.3.2 和序列极限的唯一性可知。

• 命题 9.3.4（函数的极限算律）：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，x_0 是 E 的附着点，f:X\to \mathbb R 和 g:X\to\mathbb R 都是函数。设 f 在 x_0 处沿着 E 收敛到实数 $L$，g 在 x_0 处沿着 E 收敛到实数 $M$。那么：

  
  \begin{aligned}
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f+g)(x)&=L+M\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f-g)(x)&=L-M\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\max(f,g)(x)&=\max(L,M)\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\min(f,g)(x)&=\min(L,M)\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(fg)(x)&=LM\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(cf)(x)&=cL(c\in\mathbb R)
  \end{aligned}
  

  最后，若 M\neq 0 且 g 在 E 上不取零值（对于任意 x\in E 有 $g(x)\neq 0$），那么：

  
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\left(\frac fg\right)(x)=\frac LM
  

  证明：通过命题 9.3.2 转化为序列上的问题。

• 命题 9.3.5（极限是局部的）：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，x_0 是 E 的附着点，f:X\to \mathbb R 是函数，L 是实数。

  设 $\delta>0$，那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0;x\in E\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}=L$。

  证明：略。

• 命题 9.3.6：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E'\subseteq E\subseteq X$，x_0 是 E' 的附着点（从而是 E 的附着点），f:X\to \mathbb R 是函数，L 是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0;x\in E'}f(x)=L$。

  证明：略。

9.4 连续函数

• 定义 9.4.1（连续）：设 X\subseteq\mathbb R 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。

  称 f 是在 x_0 处连续的，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)=f(x_0)$。

  称 f 是在 x_0 处间断的，当且仅当 f 不是在 x_0 处连续的。

  称 f 在 X 上是连续的（或简单地说是连续的），当且仅当对于任意 $x_0\in X$，f 都是在 x_0 处连续的。

//难道当 x_0\in X 时，若 \lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x) 存在，它可能不等于 f(x_0) 吗？

//连续的定义有没有更简单一些的理解方式？

注意定义域 X 很重要，例如：设由 f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases} 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，那么 f 在 0 处是间断的，但 f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)} 在 0 处是连续的，f|_{\{0\}} 在 0 处是连续的。

• 命题 9.4.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to\mathbb R 是函数，$x_0\in X$。那么下面三个命题是等价的：

  • f 在 x_0 处连续。
  • 对于任意 (a_n)_{n=0}^{\infty} 是由 X 的元素组成的收敛到 x_0 的序列，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)$。
  • 对于任意 \varepsilon>0 都存在 $\delta>0$，使得对于任意 x\in X 且 $|x-x_0|<\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。

  证明：根据定义可知。

• 命题 9.4.3（算术运算保持连续性）：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to\mathbb R 和 g:X\to\mathbb R 是函数，$x_0\in X$。

  若 f,g 在 x_0 处连续，则 f+g,f-g,\max(f,g),\min(f,g),fg 都在 x_0 处连续。

  若另有 g 在 X 上不取零值，则 \frac fg 也在 x_0 处连续。

• 命题 9.4.4（指数函数是连续的）：设实数 $a>0$，那么由 f(x):=a^x 定义的函数 f:\mathbb R\to\mathbb R 是连续的。

  证明：使用类似定义 6.7.1 中的证明方法。

• 命题 9.4.5（幂函数是连续的）：设实数 $p$，那么由 f(x):=x^p 定义的函数 f:(0,\mathbb R)\to \mathbb R 是连续的。

  证明：使用实数的实数次幂。

//9.4.4 和 9.4.5 的证明我没细想，但看到习题说要用挤压判别法之类的，感觉可能我想简单了，留给slc作为习题

• 命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）：由 f(x):=|x| 定义的函数 f:\mathbb R\to\mathbb R 是连续的。

  证明：$|x|=\max(x,-x)$。

• 命题 9.4.7（复合保持连续性）：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，f:X\to Y 和 g:Y\to \mathbb R 是函数，$x_0\in X$。若 f 在 x_0 处连续，g 在 f(x_0) 处连续，那么 g\circ f 在 x_0 处连续。

  证明：设 \varepsilon>0 为任意正实数。那么存在 \delta>0 使得对于任意 y\in Y 且 |y-f(x_0)|\leq \delta 满足 $|g(y)-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。存在 \omega>0 使得对于任意 x\in X 且 |x-x_0|\leq\omega 满足 $|f(x)-f(x_0)|\leq\delta$，则 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。证毕。

• 命题 9.4.8：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，f:X\to \mathbb R 是函数。若 f 是连续的，则 f|_E 也是连续的。

  证明：结合定义与命题 9.3.6。

9.5 左极限和右极限

• 定义 9.5.1（左极限和右极限）：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to\mathbb R 是函数，x_0 是实数。

  若 x_0 是 X\cap (x_0,+\infty) 的附着点，那么定义 f 在 x_0 处的右极限 $f(x_0+):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x)$。

  若 x_0 是 X\cap (-\infty,x_0) 的附着点，那么定义 f 在 x_0 处的左极限 $f(x_0-):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (-\infty,x_0)}f(x)$。

  当 x_0 不是 X\cap (x_0,+\infty) 的附着点，或 \lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x) 无定义，则 f(x_0+) 无定义。同理可知 f(x_0-) 何时无定义。

  有时将 f(x_0+) 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，将 f(x_0-) 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$。

• 命题 9.5.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to\mathbb R 是函数，x_0\in X 且 x_0 同是 X\cap (x_0,+\infty) 和 X\cap (-\infty,x_0) 的附着点。那么 f 在 x_0 处连续，当且仅当，f(x_0+) 和 f(x_0-) 都存在且都等于 $f(x_0)$。

  证明：略。

9.6 极值定理

• 定义 9.6.1（函数有界）：设 X\subseteq \mathbb R 和函数 $f:X\to \mathbb R$。

  称 f 是有上界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 x\in X 都有 $f(x)\leq M$。

  称 f 是有下界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 x\in X 都有 $f(x)\geq M$。

  称 f 是有界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 x\in X 都有 $|f(x)|\leq M$。

可以发现，f 是有界的，当且仅当 f(X) 是有界的。

• 引理 9.6.2：设实数 a,b 满足 $a<b$，函数 f:[a,b]\to\mathbb R 是连续的，那么 f 是有界函数。

  证明：反证，设 f 是无界的。

  根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意 n\geq 0 满足 x_n\in [a,b] 且 $f(x_n)>n$。

  根据定理 9.1.13，存在一个 (x_n)_{n=0}^{\infty} 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 (x_{n_i})_{i=0}^{\infty} 收敛到 [a,b] 中的某实数 $L$。

  根据连续的定义，(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty} 应收敛到 f(L) 是有界的。但根据 (x_n)_{n=0}^{\infty} 的定义可知 (f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty} 是无界的。矛盾。

• 定义 9.6.3（函数的极值）：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是函数，$x_0\in X$。

  称 f 在 x_0 处达到它的最大值，当且仅当对于任意 x\in X 有 $f(x)\leq f(x_0)$。

  称 f 在 x_0 处达到它的最小值，当且仅当对于任意 x\in X 有 $f(x)\geq f(x_0)$。

注意有界函数不一定有极值。例如由 f(x):=\frac{1}{x} 定义的函数 f:(0,+\infty)\to\mathbb R 有下界 $0$，但是不存在最小值。

• 命题 9.6.4（极值定理）：设实数 a,b 满足 $a<b$，函数 f:[a,b]\to \mathbb R 是连续的，那么 f 在某点 x_{\max}\in[a,b] 处达到它的最大值，在某点 x_{\min} 处达到它的最小值。

  证明：令 $L:=\sup({f(x):x\in[a,b]})$，那么对于任意 x\in [a,b] 有 $f(x)\leq L$。

  根据 \sup 的定义和选择公理，存在一个序列 (x_n)_{n=1}^{\infty} 使得对于任意 n\geq 1 满足 x_n\in [a,b] 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。

  根据定理 9.1.13，存在一个 (x_n)_{n=0}^{\infty} 的子序列 $(x_{n_i}){i=0}^{\infty}$，使得 (x_{n_i})_{i=0}^{\infty} 收敛到 [a,b] 中的某实数 $x{\max}$。

  又 (f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty} 收敛到 $L$，再根据连续的定义，可知 $f(x_{\max})=L$。

  同理可证 $x_{\min}$。

//习题9.6.1很有意思，我另外补充一道：构造函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$，它连续并有界，但没有最大值也没有最大值。一起留给slc作为习题。

9.7 介值定理

• 定理 9.7.1（介值定理）：设 a,b 是实数满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R 是连续函数，y 是介于 f(a) 和 f(b) 之间的实数。那么存在 c\in[a,b] 使得 $f(c)=y$。

  证明：不妨设 $f(a)\leq y\leq f(b)$。

  设 $E:={x\in [a,b]:f(x)\leq y}$。由于 E 非空且具有上界 $b$，故存在 c:=\sup(E) 满足 $c\in [a,b]$。

  考虑证明 $f(c)=y$。

  根据选择公理，存在一个序列 (x_n)_{n=1}^{\infty} 使得对于任意 n\geq 1 有 x_n\in E 且 $x_n\geq c-\frac1n$。那么 (x_n)_{n=1}^{\infty} 收敛到 $c$，从而 (f(x_n))_{n=1}^{\infty} 收敛到 $f(c)$。又因为对于任意 n\geq 1 有 $f(x_n)\leq y$，那么 $f(c)\leq y$。

  排除掉 c=b 的平凡情况，可以由 x_n:=\min(c+\frac1n,b) 定义序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，那么对于任意 n\geq 1 都有 x_n\in (c,b] 从而 $f(x_n)>y$，又由于 (x_n)_{n=1}^{\infty} 收敛到 $c$，于是 (f(x_n))_{n=1}^{\infty} 收敛到 $f(c)$，那么 $f(c)\geq y$。

  综上，可以得到 $f(c)=y$。

• 推论 9.7.2（连续函数的象）：设 a,b 是实数满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R 是连续函数。根据极值定理，f 存在最小值 y_{\min} 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。

  证明：存在 x_\min\in[a,b] 使得 $f(x_{\min})=y_{\min}$，存在 x_{\max}\in[a,b] 使得 $f(x_{\max})=y_{\max}$。

  不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，f|_{[x_\min,x_\max]} 是连续的，那么根据介值定理，对于任意 $y\in [y_\min,y_\max]$，存在 x\in[x_\min,x_\max] 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_\min,y_\max]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_\min,y_\max]=f([a,b])$。

9.8 单调函数

• 定义 9.8.1（单调函数）：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是函数。

  称 f 是单调增的，当且仅当对于任意 x,y\in X 满足 x<y 都有 $f(x)\leq f(y)$。

  称 f 是严格单调增的，当且仅当对于任意 x,y\in X 满足 x<y 都有 $f(x)<f(y)$。

  称 f 是单调减的，当且仅当对于任意 x,y\in X 满足 x<y 都有 $f(x)\geq f(y)$。

  称 f 是严格单调减的，当且仅当对于任意 x,y\in X 满足 x<y 都有 $f(x)>f(y)$。

  称 f 是单调的，当且仅当 f 是单调增的或是单调减的。

  称 f 是严格单调的，当且仅当 f 是严格单调增的或是严格单调减的。

• 引理 9.8.2：设实数 a,b 满足 $a<b$，函数 f:[a,b]\to \mathbb R 是单调增的，那么 f 在 a 处取到最小值，在 b 处取到最小值。证明：略。

• 命题 9.8.3：设实数 a,b 满足 $a<b$，函数 f:[a,b]\to \mathbb R 是连续且严格单调增的。那么 f 是 [a,b] 到 [f(a),f(b)] 的双射，且 f^{-1} 是也连续且严格单调增的。

  证明：利用介值定理，容易证明 f 是 [a,b] 到 [f(a),f(b)] 的双射，且 f^{-1} 是严格单调增的，现证 f^{-1} 是连续的。

  设 $y_0\in[f(a),f(b)]$，那么存在唯一的 x_0 使得 $f(x_0)=y_0$。

  设 \varepsilon>0 是任意正实数。我们需找到 $\delta>0$，使得对于任意 y\in [f(a),f(b)] 且 $|y-y_0|\leq \delta$，令 $x=f^{-1}(y)$，都有 $|x-x_0|\leq\varepsilon$。

  设 $\delta_l:=\begin{cases}f(x_0)-f(x_0-\varepsilon)&x_0-\varepsilon\geq a\+\infty&x_0-\varepsilon<a\end{cases}$，$\delta_r:=\begin{cases}f(x_0+\varepsilon)-f(x_0)&x_0+\varepsilon\leq b\+\infty&x_0+\varepsilon>b\end{cases}$，$\delta=\min(\delta_l,\delta_r)$，容易证明 \delta>0 且满足条件。

引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。

//习题

9.9 一致连续性

• 定义 9.9.1（一致连续）：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是函数。

  称 f 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x_0\in X$，对于任意 x\in X 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。

可以看出，一致连续的函数一定是连续的。

//这里给出一致连续的很多种感性理解，slc帮忙看看怎么理解更好：

//若某个函数 f:X\to \mathbb R 是连续的，那么 f 是一致连续的，等价于：对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf\bigg(\bigg{\sup\big({\delta\in \mathbb R^+:\forall_{x\in X,|x-x_0|\leq\delta},|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon}\big):x_0\in X\bigg}\bigg)>0$。

//或者对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf({|x-y|:x,y\in X\land |f(x)-f(y)|>\varepsilon})>0$。

//或者对于任意小的正 $\varepsilon$，一定不存在两个点，它们 x 值无限接近，且 y 值相差大过 $\varepsilon$。

//即，对于任意无限接近的两个自变量，它们对应的函数值也应是无限接近的。

//而连续指的是，对于某一个点，和另一个和它无限接近的点，它们对应的函数值是无限接近的。

//原文中的一句话是：考察 $f(x):=\frac1x$，当 x 不断接近 0 时，函数的连续性会变得越来越 “差”，故它不是 “一致连续” 的。

//也有人说，可以理解成，对于任意的 $\Delta y>0$，能找到一个高为 $\Delta y$、宽为 \Delta x 的矩形，使得该矩形能完美地“串在”该函数上，满足函数曲线始终从左右两侧穿入并穿出矩形。

//也有人说导数值有界，即斜率不能无限变大，这种说法可能会直观些，但得留到第10章看看对不对。

• 命题 9.9.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是函数。那么 f 是一致连续的，当且仅当，对于任意 (x_n)_{n=0}^{\infty} 和 (y_n)_{n=0}^{\infty} 是由 X 的元素组成的等价序列，都有 (f(x_n))_{n=0}^{\infty} 和 (f(y_n))_{n=0}^{\infty} 是等价的。

  证明：正推较容易，证反推。反证，若存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 x,x_0\in X 且 $|x-x_0|\leq\delta$，使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。那么根据选择公理，存在序列 (x_n)_{n=1}^{\infty} 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，|x_n-y_n|\leq\frac1n 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$，那么 (x_n)_{n=1}^{\infty} 和 (y_n)_{n=1}^{\infty} 等价，但 (f(x_n))_{n=1}^{\infty} 和 (f(y_n))_{n=1}^{\infty} 不等价。矛盾。

作为对照可以看到，若 f 是连续的，那么 f 把收敛序列映成收敛序列；而若 f 是一致连续的，那么 f 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。

• 命题 9.9.3：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是一致连续函数。若 (x_n)_{n=0}^{\infty} 是由 X 的元素组成的柯西序列，那么 (f(x_n))_{n=0}^{\infty} 也是柯西序列。

  证明：由定义可知。

• 推论 9.9.4：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是一致连续函数。若 x_0 是 X 的附着点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$。

  证明：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。

• 命题 9.9.5：设 $X\subseteq \mathbb R$，f:X\to \mathbb R 是一致连续函数。若 X 有界，则 f(X) 也有界。

  证明：反证。设 f(X) 是无界的。

  根据选择公理，存在一个序列 (x_n)_{n=0}^{\infty} 满足对于任意 $n\geq 0$，x_n\in X 且 $f(x_n)\geq n$。

  根据定理 6.6.6，存在一个子序列 (x_{n_i})_{i=0}^{\infty} 是收敛序列，从而根据命题 9.9.3 可知 (f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty} 也是收敛序列，但根据定义 (f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty} 是发散的。矛盾。

• 定理 9.9.6：设实数 a,b 满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R 是连续函数。那么 f 是一致连续函数。

  证明：反证。若 f 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 x,x_0\in [a,b] 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。

  根据选择公理，存在序列 (x_n)_{n=1}^{\infty} 和 (y_n)_{n=1}^{\infty} 满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in[a,b]$，|x_n-y_n|\leq\frac1n 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。

  根据定理 9.1.13，存在一个子序列 (x_{n_i})_{i=0}^{\infty} 收敛到 $x\in[a,b]$，那么 (y_{n_i})_{i=0}^{\infty} 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i})){i=0}^{\infty}=(f(y{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 (f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty} 和 (f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty} 不等价，矛盾。

• 引理 9.9.7（函数复合保持一致连续性）：设 $X,Y,Z\subseteq \mathbb R$，f:X\to Y 和 g:Y\to Z 都是一致连续函数。那么 g\circ f:X\to Z 也是一致连续的。

  证明：设 \varepsilon_1>0 是任意正实数。存在 \varepsilon_2>0 使得对于任意 y,y_0\in Y 且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在 \varepsilon_3>0 使得对于任意 x,x_0\in X 且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。

9.10 在无限处的极限

• 定义 9.10.1（无限附着点）：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 +\infty 是附着于 X 的，当且仅当 X 无上界。称 -\infty 是附着于 X 的，当且仅当 X 无下界。

• 定义 9.10.2（在无限处的极限）：设 X\subseteq \mathbb R 且 +\infty 是 X 的附着点，f:X\to \mathbb R 是函数。

  称当 x\to+\infty 时 f(x) 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to+\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 x\in X 且 $x>M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

  称当 x\to-\infty 时 f(x) 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to-\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 x\in X 且 $x<M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

• 引理 9.10.3：设序列 $(a_n){n=0}^{\infty}$，那么 \lim\limits_{n\to +\infty}a_n 存在当且仅当 \lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n 存在，且若二者都存在，则 $\lim\limits{n\to +\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n$。

  证明：根据定义可知。

由于在本书中我们不常使用无限处的极限，所以我们不对无限处的极限做深入拓展。