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### 第 9 章 $\mathbb R$ 上的连续函数
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#### 9.1 $\mathbb R$ 的子集合
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- **定义 9.1.1（区间）**：设 $a,b\in \mathbb R^*$。定义闭区间 $[a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x\leq b\}$；
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半开区间 $[a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x< b\},(a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a< x\leq b\}$；
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开区间 $(a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a<x<b\}$。
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称 $a$ 为这些区间的左端点，$b$ 为这些区间的右端点。
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称没有端点是无限（$+\infty$ 或 $-\infty$）的区间为有界区间，称一个端点是无限的区间为半无限区间，称两个端点都是无限的区间为双无限区间。
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于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$，$\mathbb R^*=[-\infty,+\infty]$。
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- **定义 9.1.2（附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。
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对于实数 $\varepsilon>0$，称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $X$ 的，当且仅当存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。
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称 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都有 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $X$ 的。
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- **定义 9.1.3（闭包）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。定义 $X$ 的闭包 $\overleftrightarrow{X}:=\{x\in \mathbb R:\text{$x$是$X$的附着点}\}$。
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- **引理 9.1.4（闭包的初等性质）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$。那么
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- $X\subseteq \overleftrightarrow{X}$。
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- $\overleftrightarrow{X\cup Y}=\overleftrightarrow{X}\cup\overleftrightarrow{Y}$。
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- $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
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- $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。
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**证明**：略。
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- **引理 9.1.5（区间的闭包）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$。那么 $[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ 的闭包是 $[a,b]$；$[a,+\infty),(a,+\infty)$ 的闭包是 $[a,\infty)$；$(-\infty,a],(-\infty,a)$ 的闭包是 $(-\infty,a]$；$(-\infty,+\infty)$ 的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。
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**证明**：略。
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我们还可以看到，$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。
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- **引理 9.1.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。那么 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当，存在一个收敛到 $x$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $a_n\in X$。
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**证明**：利用选择公理，在 $[x-\frac1n,x+\frac1n]$ 范围内任选一个 $X$ 中的点作为 $a_n$。
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- **定义 9.1.7**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是闭的，当且仅当 $\overleftrightarrow{X}=X$。
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- **推论 9.1.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛序列，有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\in X$。
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**证明**：根据引理 9.1.6 可知。
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- **定义 9.1.9（极限点/聚点/孤立点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的极限点，当且仅当 $x$ 是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。称 $x$ 是 $X$ 的孤立点，当且仅当 $x\in X$ 且 $x$ 不是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。
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- **引理 9.1.10**：$X$ 的所有附着点恰由 $X$ 的所有极限点和孤立点组成。**证明**：略。
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引理 9.1.10 表明，我们能按照 $x$ 是否为 $X\setminus\{x\}$ 的附着点，将 $X$ 的所有附着点 $x$ 分为两类。
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- **引理 9.1.11**：设 $I$ 是任意区间，那么 $I$ 中的每个元素都是 $I$ 的极限点。**证明**：略。
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- **定义 9.1.12（有界集合）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 $X$ 是无界的，当且仅当 $X$ 不是有界的。
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- **定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的并且是有界的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 $X$ 中的某数 $L$。
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**证明**：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。
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#### 9.2 实值函数的代数
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- **定义 9.2.1**：设函数 $f:X\to \mathbb R$ 和 $Y\subseteq X$。定义 $f|_Y$（称作 $f$ 在 $Y$ 上的限制）为定义域在 $Y$，值域在 $\mathbb R$ 的函数，满足对于任意 $y\in Y$ 有 $f|_Y(y):=f(y)$。
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- **定义 9.2.2（函数的算术运算）**：设函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$。
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定义它们的和为函数 $f+g:X\to\mathbb R$，满足 $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$。
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定义它们的差为函数 $f-g:X\to\mathbb R$，满足 $(f-g)(x):=f(x)-g(x)$。
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设 $c$ 是实数，定义函数 $cf:X\to\mathbb R$，满足 $(cf)(x):=cf(x)$。
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定义它们的积为函数 $fg:X\to\mathbb R$（或 $f\cdot g:X\to\mathbb R$），满足 $(fg)(x):=f(x)g(x)$。
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若对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\neq 0$，定义它们的商为函数 $\frac fg:X\to\mathbb R$，满足 $\left(\frac fg\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$。
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定义函数 $\max(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$。
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定义函数 $\min(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x))$。
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需注意函数乘法和函数复合的区分。
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#### 9.3 函数的极限值
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- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$。
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设实数 $\varepsilon>0$。称 $f$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $x\in X$，$|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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设实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 的附着点 $x_0$。称 $f$ 是在 $x_0$ 附近 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $\delta>0$，使得 $f|_{\{x\in X:|x-x_0|<\delta\}}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
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设 $E\subseteq X$ 和 $E$ 的附着点 $x_0$。称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，$f|_E$ 都是在 $x_0$ 附近 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)$ 无定义。
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更直接地，$\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$ 当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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//感性理解
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- **命题 9.3.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
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那么 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。
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**证明**：若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$。设 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是任意由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。存在 $N\geq 0$，使得对于任意 $n\geq N$ 都有 $|a_n-x_0|<\delta$，那么 $|f(a_n)-L|\leq\varepsilon$。
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若对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。反证，若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到 $L$。那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，存在 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，满足 $|f(x)-L|> \varepsilon$。那么根据选择公理，存在 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，都有 $a_n\in E$、$|a_n-x_0|<\frac1n$ 和 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$。于是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$ 但 $(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 并不收敛到 $L$，矛盾。
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- **推论 9.3.3（函数的极限是唯一的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 至多收敛到一个实数 $L$。
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**证明**：根据命题 9.3.2 和序列极限的唯一性可知。
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- **命题 9.3.4（函数的极限算律）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 都是函数。设 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到实数 $L$，$g$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到实数 $M$。那么：
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$$
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\begin{aligned}
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f+g)(x)&=L+M\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f-g)(x)&=L-M\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\max(f,g)(x)&=\max(L,M)\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\min(f,g)(x)&=\min(L,M)\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(fg)(x)&=LM\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(cf)(x)&=cL(c\in\mathbb R)
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\end{aligned}
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$$
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最后，若 $M\neq 0$ 且 $g$ 在 $E$ 上不取零值（对于任意 $x\in E$ 有 $g(x)\neq 0$），那么：
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$$
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\left(\frac fg\right)(x)=\frac LM
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$$
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**证明**：通过命题 9.3.2 转化为序列上的问题。
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- **命题 9.3.5（极限是局部的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
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设 $\delta>0$，那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0;x\in E\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}=L$。
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**证明**：略。
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- **命题 9.3.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E'\subseteq E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E'$ 的附着点（从而是 $E$ 的附着点），$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0;x\in E'}f(x)=L$。
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**证明**：略。
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#### 9.4 连续函数
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- **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。
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称 $f$ 是在 $x_0$ 处连续的，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)=f(x_0)$。
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称 $f$ 是在 $x_0$ 处间断的，当且仅当 $f$ 不是在 $x_0$ 处连续的。
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称 $f$ 在 $X$ 上是连续的（或简单地说是连续的），当且仅当对于任意 $x_0\in X$，$f$ 都是在 $x_0$ 处连续的。
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//难道当 $x_0\in X$ 时，若 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$ 存在，它可能不等于 $f(x_0)$ 吗？
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//连续的定义有没有更简单一些的理解方式？
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注意定义域 $X$ 很重要，例如：设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，那么 $f$ 在 $0$ 处是间断的，但 $f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}$ 在 $0$ 处是连续的，$f|_{\{0\}}$ 在 $0$ 处是连续的。
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- **命题 9.4.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。那么下面三个命题是等价的：
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- $f$ 在 $x_0$ 处连续。
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- 对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)$。
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- 对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|<\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。
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**证明**：根据定义可知。
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- **命题 9.4.3（算术运算保持连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。
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若 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f+g,f-g,\max(f,g),\min(f,g),fg$ 都在 $x_0$ 处连续。
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若另有 $g$ 在 $X$ 上不取零值，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处连续。
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- **命题 9.4.4（指数函数是连续的）**：设实数 $a>0$，那么由 $f(x):=a^x$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。
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**证明**：使用类似定义 6.7.1 中的证明方法。
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- **命题 9.4.5（幂函数是连续的）**：设实数 $p$，那么由 $f(x):=x^p$ 定义的函数 $f:(0,\mathbb R)\to \mathbb R$ 是连续的。
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**证明**：使用实数的实数次幂。
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//9.4.4 和 9.4.5 的证明我没细想，但看到习题说要用挤压判别法之类的，感觉可能我想简单了，留给slc作为习题
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- **命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）**：由 $f(x):=|x|$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。
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**证明**：$|x|=\max(x,-x)$。
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- **命题 9.4.7（复合保持连续性）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，$g$ 在 $f(x_0)$ 处连续，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $y\in Y$ 且 $|y-f(x_0)|\leq \delta$ 满足 $|g(y)-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。存在 $\omega>0$ 使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\omega$ 满足 $|f(x)-f(x_0)|\leq\delta$，则 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。证毕。
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- **命题 9.4.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是连续的，则 $f|_E$ 也是连续的。
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**证明**：结合定义与命题 9.3.6。
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#### 9.5 左极限和右极限
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- **定义 9.5.1（左极限和右极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是实数。
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若 $x_0$ 是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限 $f(x_0+):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x)$。
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若 $x_0$ 是 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0-):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (-\infty,x_0)}f(x)$。
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当 $x_0$ 不是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，或 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x)$ 无定义，则 $f(x_0+)$ 无定义。同理可知 $f(x_0-)$ 何时无定义。
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有时将 $f(x_0+)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，将 $f(x_0-)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$。
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- **命题 9.5.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$ 且 $x_0$ 同是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 和 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点。那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当，$f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 都存在且都等于 $f(x_0)$。
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**证明**：略。
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#### 9.6 极值定理
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- **定义 9.6.1（函数有界）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$。
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称 $f$ 是有上界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $f(x)\leq M$。
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称 $f$ 是有下界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $f(x)\geq M$。
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称 $f$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $|f(x)|\leq M$。
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可以发现，$f$ 是有界的，当且仅当 $f(X)$ 是有界的。
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- **引理 9.6.2**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续的，那么 $f$ 是有界函数。
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**证明**：反证，设 $f$ 是无界的。
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根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in [a,b]$ 且 $f(x_n)>n$。
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根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $[a,b]$ 中的某实数 $L$。
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根据连续的定义，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$ 是有界的。但根据 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的定义可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是无界的。矛盾。
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- **定义 9.6.3（函数的极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最大值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq f(x_0)$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最小值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\geq f(x_0)$。
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注意有界函数不一定有极值。例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 有下界 $0$，但是不存在最小值。
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- **命题 9.6.4（极值定理）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续的，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in[a,b]$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
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**证明**：令 $L:=\sup(\{f(x):x\in[a,b]\})$，那么对于任意 $x\in [a,b]$ 有 $f(x)\leq L$。
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根据 $\sup$ 的定义和选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in [a,b]$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。
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根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $[a,b]$ 中的某实数 $x_{\max}$。
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又 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$，再根据连续的定义，可知 $f(x_{\max})=L$。
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同理可证 $x_{\min}$。
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//习题9.6.1很有意思，我另外补充一道：构造函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$，它连续并有界，但没有最大值也没有最大值。一起留给slc作为习题。
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#### 9.7 介值定理
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- **定理 9.7.1（介值定理）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，$y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数。那么存在 $c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=y$。
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**证明**：不妨设 $f(a)\leq y\leq f(b)$。
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设 $E:=\{x\in [a,b]:f(x)\leq y\}$。由于 $E$ 非空且具有上界 $b$，故存在 $c:=\sup(E)$ 满足 $c\in [a,b]$。
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考虑证明 $f(c)=y$。
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根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 有 $x_n\in E$ 且 $x_n\geq c-\frac1n$。那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $c$，从而 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $f(c)$。又因为对于任意 $n\geq 1$ 有 $f(x_n)\leq y$，那么 $f(c)\leq y$。
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排除掉 $c=b$ 的平凡情况，可以由 $x_n:=\min(c+\frac1n,b)$ 定义序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，那么对于任意 $n\geq 1$ 都有 $x_n\in (c,b]$ 从而 $f(x_n)>y$，又由于 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $c$，于是 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $f(c)$，那么 $f(c)\geq y$。
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综上，可以得到 $f(c)=y$。
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- **推论 9.7.2（连续函数的象）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理，$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
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**证明**：存在 $x_\min\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\min})=y_{\min}$，存在 $x_{\max}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\max})=y_{\max}$。
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不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，$f|_{[x_\min,x_\max]}$ 是连续的，那么根据介值定理，对于任意 $y\in [y_\min,y_\max]$，存在 $x\in[x_\min,x_\max]$ 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_\min,y_\max]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_\min,y_\max]=f([a,b])$。
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#### 9.8 单调函数
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- **定义 9.8.1（单调函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
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称 $f$ 是单调增的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\leq f(y)$。
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称 $f$ 是严格单调增的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)<f(y)$。
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称 $f$ 是单调减的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\geq f(y)$。
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称 $f$ 是严格单调减的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)>f(y)$。
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称 $f$ 是单调的，当且仅当 $f$ 是单调增的或是单调减的。
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称 $f$ 是严格单调的，当且仅当 $f$ 是严格单调增的或是严格单调减的。
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- **引理 9.8.2**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是单调增的，那么 $f$ 在 $a$ 处取到最小值，在 $b$ 处取到最小值。**证明**：略。
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- **命题 9.8.3**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是也连续且严格单调增的。
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**证明**：利用介值定理，容易证明 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是严格单调增的，现证 $f^{-1}$ 是连续的。
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设 $y_0\in[f(a),f(b)]$，那么存在唯一的 $x_0$ 使得 $f(x_0)=y_0$。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。我们需找到 $\delta>0$，使得对于任意 $y\in [f(a),f(b)]$ 且 $|y-y_0|\leq \delta$，令 $x=f^{-1}(y)$，都有 $|x-x_0|\leq\varepsilon$。
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设 $\delta_l:=\begin{cases}f(x_0)-f(x_0-\varepsilon)&x_0-\varepsilon\geq a\\+\infty&x_0-\varepsilon<a\end{cases}$，$\delta_r:=\begin{cases}f(x_0+\varepsilon)-f(x_0)&x_0+\varepsilon\leq b\\+\infty&x_0+\varepsilon>b\end{cases}$，$\delta=\min(\delta_l,\delta_r)$，容易证明 $\delta>0$ 且满足条件。
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引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。
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//习题
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#### 9.9 一致连续性
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- **定义 9.9.1（一致连续）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
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称 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x_0\in X$，对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。
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可以看出，一致连续的函数一定是连续的。
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//这里给出一致连续的很多种感性理解，slc帮忙看看怎么理解更好：
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//若某个函数 $f:X\to \mathbb R$ 是连续的，那么 $f$ 是一致连续的，等价于：对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf\bigg(\bigg\{\sup\big(\{\delta\in \mathbb R^+:\forall_{x\in X,|x-x_0|\leq\delta},|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon\}\big):x_0\in X\bigg\}\bigg)>0$。
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//或者对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf(\{|x-y|:x,y\in X\land |f(x)-f(y)|>\varepsilon\})>0$。
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//或者对于任意小的正 $\varepsilon$，一定不存在两个点，它们 $x$ 值无限接近，且 $y$ 值相差大过 $\varepsilon$。
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//即，对于任意无限接近的两个自变量，它们对应的函数值也应是无限接近的。
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//而连续指的是，对于某一个点，和另一个和它无限接近的点，它们对应的函数值是无限接近的。
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//原文中的一句话是：考察 $f(x):=\frac1x$，当 $x$ 不断接近 $0$ 时，函数的连续性会变得越来越 “差”，故它不是 “一致连续” 的。
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//也有人说，可以理解成，对于任意的 $\Delta y>0$，能找到一个高为 $\Delta y$、宽为 $\Delta x$ 的矩形，使得该矩形能完美地“串在”该函数上，满足函数曲线始终从左右两侧穿入并穿出矩形。
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//也有人说导数值有界，即斜率不能无限变大，这种说法可能会直观些，但得留到第10章看看对不对。
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- **命题 9.9.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的等价序列，都有 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
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**证明**：正推较容易，证反推。反证，若存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。那么根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$，那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 等价，但 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=1}^{\infty}$ 不等价。矛盾。
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作为对照可以看到，若 $f$ 是连续的，那么 $f$ 把收敛序列映成收敛序列；而若 $f$ 是一致连续的，那么 $f$ 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。
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- **命题 9.9.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，那么 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。
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**证明**：由定义可知。
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- **推论 9.9.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$。
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**证明**：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。
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- **命题 9.9.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $X$ 有界，则 $f(X)$ 也有界。
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**证明**：反证。设 $f(X)$ 是无界的。
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根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$，$x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq n$。
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根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 是收敛序列，从而根据命题 9.9.3 可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 也是收敛序列，但根据定义 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是发散的。矛盾。
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- **定理 9.9.6**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 是一致连续函数。
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**证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in [a,b]$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。
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根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in[a,b]$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。
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根据定理 9.1.13，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $x\in[a,b]$，那么 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 不等价，矛盾。
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- **引理 9.9.7（函数复合保持一致连续性）**：设 $X,Y,Z\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 都是一致连续函数。那么 $g\circ f:X\to Z$ 也是一致连续的。
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**证明**：设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数。存在 $\varepsilon_2>0$ 使得对于任意 $y,y_0\in Y$ 且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在 $\varepsilon_3>0$ 使得对于任意 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。
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#### 9.10 在无限处的极限
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- **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。
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- **定义 9.10.2（在无限处的极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 且 $+\infty$ 是 $X$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
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称当 $x\to+\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to+\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x>M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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称当 $x\to-\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to-\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x<M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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- **引理 9.10.3**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$，那么 $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n$ 存在当且仅当 $\lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n$ 存在，且若二者都存在，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n$。
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**证明**：根据定义可知。
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由于在本书中我们不常使用无限处的极限，所以我们不对无限处的极限做深入拓展。
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