szTom/LADRSolutions
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/szdytom/LADRSolutions.git synced 2025-10-19 16:30:16 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

3B 28

Browse Source 
Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>
This commit is contained in:
方而静 2025-08-13 22:57:25 +08:00
parent 018639e412
commit 72cddc4bf8
Signed by: szTom
GPG Key ID: 072D999D60C6473C
2 changed files with 17 additions and 3 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

2
sections/2C.typ
View File

@ -258,7 +258,7 @@
#note[可以验证，上面结论等号成立，当且仅当存在 $i,j in {1, dots, m}$（$i != j$），使得 $w = lambda v_i + mu v_j$，其中 $lambda, mu in FF$，满足 $lambda + mu = -1$。]
#exercise_sol(type: "proof")[
#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-Poly-space-basis>)[
设 $m$ 是正整数，$p_0, dots, p_m in Poly(FF)$，其中 $p_k$ 的次数为 $k$，证明： $p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
][
我们首先论证：对于任意自然数 $m$，$p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。我们关于 $m$ 使用数学归纳法。

18
sections/3B.typ
View File

@ -1,5 +1,5 @@
#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref, math_numbering
#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted
#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref, math_numbering, note
#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted, Poly
#exercise_sol(type: "answer")[
给出一例：满足 $dim null T = 3$ 且 $dim range T = 2$ 的线性映射 $T$。
@ -543,3 +543,17 @@
#tab 即 $null P inter range P = {0}$。因此，根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得 $V = null P plus.circle range P$。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $D in LinearMap(Poly(RR))$，满足对于任意非常数多项式 $p in Poly(RR)$，都有 $deg D p = (deg p) - 1$。证明：$D$ 是满射。
#note[上面的记号 $D$ 是用来让你想起微分映射#footnote[注意，微分映射是满足题设条件的映射，但并非满足题设条件的映射就一定是微分映射。]，它将多项式 $p$ 映射到其导数 $p'$。]
][
对于 $k in NN^+$，令 $p_k in Poly(RR)$ 为 $z -> z^k$，以及 $q_(k - 1) = D p_k$。于是 $deg p_k = k$，故 $deg q_k = deg q_(k + 1) - 1 = k$。设 $r in Poly(RR)$，使得 $deg r = m$，故 $r in Poly_m (RR)$。
#tab 根据#exercise_ref(<E-Poly-space-basis>)，$q_0, dots, q_m$ 是 $Poly_m (RR)$ 的一组基。故存在 $a_0, dots, a_m in RR$，使得
$ r = sum_(k = 0)^m a_k q_k = sum_(k = 0)^m a_k D p(k + 1) = D (sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1)) $
#tab 这说明 $r$ 可以被 $sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1) in Poly(RR)$ 映射到，因此 $D$ 是满射。
]