szTom/LADRSolutions
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2C p18

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方而静 2025-07-17 00:27:26 +08:00
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sections/2C.typ
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@ -404,6 +404,8 @@
设 $V_1, dots, V_m$ 都是 $V$ 的有限维子空间，证明：$V_1 + dots.c + V_m$ 是有限维的，且
$ dim(V_1 + dots.c + V_m) <= dim V_1 + dots.c + dim V_m $
#note[以上不等式取等，当且仅当 $V_1 + dots.c + V_m$ 是直和，这将在原书3.94中得到证明。]
][
我们关于 $m$ 使用数学归纳法。
@ -422,3 +424,11 @@
#tab 综上所述，$V_1 + dots.c + V_m$ 是有限维的，且 $dim(V_1 + dots.c + V_m) <= dim V_1 + dots.c + dim V_m$。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $V$ 是有限维向量空间，$dim V = n >= 1$。证明：存在 $V$ 的一维子空间 $V_1, dots, V_n$，使得
$ V = V_1 plus.circle dots.c plus.circle V_n $
][
设 $v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 的一组基。我们可以取 $V_k = span(v_k)$，其中 $k in {1, dots, n}$。注意到 $dim V_k = 1$，因此 $V_1, dots, V_n$ 都是 $V$ 的一维子空间。根据基的判定准则（原书2.28）和直和的定义（原书1.41），我们立即得到 $V = V_1 plus.circle dots.c plus.circle V_n$。
]