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sections/2B.typ

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 #note[对于 (g)，值得一提的是，上面证明的核心部分表明，多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文（定理4.7），然而在第四版中被删除了。]
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+#exercise_sol(type: "answer")[
+	+ 设 $U$ 为 $RR^5$ 的子空间，定义为
+		$ U = {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) in RR^5 : x_1 = 3x_2 and x_3 = 7x_4} $
+		求 $U$ 的一个基；
+
+	+ 将 (a) 中的基扩充为 $RR^5$ 的一个基；
+	+ 求 $RR^5$ 的一个子空间 $W$，使得 $RR^5 = U plus.circle W$。
+][
+	对于 (a)，令
+
+	$ u_1 = (3, 1, 0, 0, 0), quad u_2 = (0, 0, 7, 1, 0), quad u_3 = (0, 0, 0, 0, 1) $
+
+	#tab 下面说明 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的一个基。设 $a_1, a_2, a_3 in RR$，$v = (3x, x, 7y, y, z) in U$，满足
+
+	$ v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 $
+
+	#tab 求解 $a_1, a_2, a_3$，得到唯一的一组解是
+
+	$ cases(
+		a_1 = x,
+		a_2 = y,
+		a_3 = z
+	) $
+
+	#tab 这表明 $U$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, u_2, u_3$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书定理2.28），向量组 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的基。
+
+	#tab 对于 (b)，令
+
+	$ u_4 = (1, 0, 0, 0, 0), quad u_5 = (0, 0, 1, 0, 0) $
+
+	#tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in RR$，$v = (x_1, dots x_5) in RR^5$，满足
+
+	$ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $
+
+	#tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是
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+	$ cases(
+		a_1 = x_2,
+		a_2 = x_4,
+		a_3 = x_5,
+		a_4 = x_1 - 3 x_2,
+		a_5 = x_3 - 7 x_4
+	) $
+
+	#tab 这表明 $RR^5$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, dots, u_5$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则，向量组 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的基。
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+	#tab 对于 (c)，令
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+	$ w = span(u_4, u_5) $
+
+	#tab 我们首先说明，$RR^5 = U + W$。由于向量组 $u_1, dots, u_5$ 张成 $RR^5$，因此任意向量 $v in RR^5$ 都可以被表示为 
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+	$ v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + a_4 u_4 + a_5 u_5 $
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+	#tab 注意到 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 in U$，且 $a_4 u_4 + a_5 u_5 in W$，故 $RR^5 = U + W$。
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+	#tab 设 $v in U inter W$。则存在标量 $a_1, dots, a_5$，满足
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+	$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 = v = a_4 u_4 + a_5 u_5 $
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+	#tab 于是
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+	$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
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+	#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。
+]