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efc3f90e5e
GPG Key ID:
072D999D60C6473C
@ -134,8 +134,8 @@
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#tab 因此，这样的 $lambda$ 不存在。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-add-assoc>)[
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证明：$(x+y)+z=x+(y+z)$ 对所有 $x,y,z in FF^n$ 成立。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-ffn-add-assoc>)[
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证明：$(x + y) + z = x + (y + z)$ 对所有 $x,y,z in FF^n$ 成立。
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#note[沿用原书记号1.6与记号1.10，即 $FF$ 表示 $RR$ 或 $CC$，$n$ 表示某一固定的正整数。下文不再赘述。]
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@ -160,7 +160,7 @@
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&= a(b x) $
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]
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-mul-unit>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-ffn-mul-scalar-id>)[
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证明：$1 x=x$ 对所有 $x in FF^n$ 成立。
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根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，则有
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@ -171,7 +171,7 @@
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&= x $
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]
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-distri-2v1s>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-ffn-distributivity-vector-add>)[
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证明：$lambda (x+y) = lambda x + lambda y$ 对所有 $lambda in FF$ 和 $x,y in FF^n$ 成立。
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根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，$y = (y_1, dots, y_n)$，则有
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@ -182,7 +182,7 @@
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&= lambda x + lambda y $
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]
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-distri-1v2s>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-ffn-distributivity-scalar-add>)[
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证明：$(a+b)x = a x + b x$ 对所有 $a,b in FF$ 和 $x in FF^n$ 成立。
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根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，则有
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@ -200,13 +200,13 @@
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/ 可交换性: \
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原书定理1.14
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/ 可结合性: \
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@1A-ffn-add-assoc
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@E-ffn-add-assoc
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/ 加法单位元: \
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原书记号1.15定义了 $0$，其性质容易验证
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/ 加法逆元: \
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原书定义1.17
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/ 乘法单位元: \
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@1A-ffn-mul-unit
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@E-ffn-mul-scalar-id
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/ 分配性质: \
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@1A-ffn-distri-2v1s 和@1A-ffn-distri-1v2s
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@E-ffn-distributivity-vector-add 和@E-ffn-distributivity-scalar-add
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]
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@ -9,7 +9,7 @@
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根据定义 $v + (-v) = 0$，由可交换性，得 $(-v) + v = 0$，即 $v$ 是 $-v$ 的加法逆元。由加法逆元的唯一性（原书定理1.27），得 $-(-v) = v$。
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]
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#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: <1B-vec-zero-product-property>)[
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#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: <E-vector-trivial-annihilation>)[
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设 $a in FF$，$v in V$ 且 $a v=0$，证明：$a=0$ 或 $v=0$。
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][
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我们使用反证法，假设 $a != 0$ 且 $v != 0$，同时 $a v = 0$。由于 $a != 0$ 故存在 $a^(-1) in FF$（$a^(-1) != 0$），使得 $a^(-1) a = 1$。因此有
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@ -304,7 +304,7 @@
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#tab 综上所述，$h$ 不是 $RR^RR$ 上的周期函数。这表明 $RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合并不符合子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求，因此其不是 $RR^RR$ 的子空间。
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]
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <1C-inter-of-subspace-is-subspace>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-inter-of-subspace-is-subspace>)[
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设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，证明：交集 $V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。
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][
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记 $S=V_1 inter V_2$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
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@ -334,12 +334,12 @@
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当 $n=1$ 时，$S=V_1$，显然是 $V$ 的子空间。
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/ 第 $k+1$ 步: \
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假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_k$ 是 $V$ 的子空间。又因为 $V_(k+1)$ 是 $V$ 的子空间，由@1C-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$(V_1 inter dots inter V_k) inter V_(k+1)$ 也是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n=k+1$ 时，结论也成立。
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假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_k$ 是 $V$ 的子空间。又因为 $V_(k+1)$ 是 $V$ 的子空间，由@E-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$(V_1 inter dots inter V_k) inter V_(k+1)$ 也是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n=k+1$ 时，结论也成立。
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#tab 综上所述，$V$ 的任意一族子空间的交集是 $V$ 的子空间。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <1C-when-union-of-two-subspaces-is-subspace>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-union-of-two-subspaces-is-subspace>)[
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证明：$V$ 的两个子空间的并集是 $V$ 的子空间，当且仅当其中一个子空间是另一个的子集。
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][
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设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间。我们首先说明充分性。不妨设 $V_1 subset.eq V_2$，则 $V_1 union V_2 = V_2$ 是 $V$ 的子空间。
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@ -354,13 +354,13 @@
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#exercise_sol(type: "proof", label: "hard")[
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证明：$V$ 的三个子空间的并集是 $V$ 的子空间，当且仅当其中一个包含另外两个。
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#note[令人惊讶的是，这道习题比@1C-when-union-of-two-subspaces-is-subspace 难不少，也许是因为如果我们把 $FF$ 换成只包含两个元素的域，这道习题的结论就不成立了。]
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#note[令人惊讶的是，这道习题比@E-when-union-of-two-subspaces-is-subspace 难不少，也许是因为如果我们把 $FF$ 换成只包含两个元素的域，这道习题的结论就不成立了。]
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][
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设 $V_1, V_2, V_3$ 都是 $V$ 的子空间。我们首先说明充分性。不妨设 $V_1 subset.eq V_3$ 且 $V_2 subset.eq V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_3$ 是 $V$ 的子空间。
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#tab 下面说明必要性。使用反证法，假设 $V_1 union V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间，以及任意一个 $V_j$ 都不包含另外两个。
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#tab 我们首先说明，任意一个 $V_j$ 都不是另外两个的并集的子集。否则，不妨设 $V_1 subset.eq V_2 union V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间。应用@1C-when-union-of-two-subspaces-is-subspace，可以推出 $V_2 subset.eq V_3$ 或 $V_3 subset.eq V_2$，这说明 $V_2$ 或 $V_3$ 包含另外两个，矛盾，故假设不成立。因此，
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#tab 我们首先说明，任意一个 $V_j$ 都不是另外两个的并集的子集。否则，不妨设 $V_1 subset.eq V_2 union V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间。应用@E-when-union-of-two-subspaces-is-subspace，可以推出 $V_2 subset.eq V_3$ 或 $V_3 subset.eq V_2$，这说明 $V_2$ 或 $V_3$ 包含另外两个，矛盾，故假设不成立。因此，
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$ V_1 subset.eq.not V_2 union V_3 wide and wide V_2 union V_3 subset.eq.not V_1 $
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@ -96,11 +96,11 @@
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#tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。
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]
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-1-or-2-vecs-are-indep>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-1-or-2-vectors-indep>)[
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+ 证明：向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关，当且仅当组中的该向量不是 $0$；
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+ 证明：向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关，当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
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设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref(<1B-vec-zero-product-property>)，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。
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设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref(<E-vector-trivial-annihilation>)，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。
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#tab 然后说明必要性，如果 $v = 0$，则我们有
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@ -177,7 +177,7 @@
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+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的；
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+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。
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][
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利用@2A-when-1-or-2-vecs-are-indep 中的结论，我们只需注意到，
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利用@E-when-1-or-2-vectors-indep 中的结论，我们只需注意到，
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$ (1 + i) / (1 - i) = ii $
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@ -313,7 +313,7 @@
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#tab 根据张成空间的定义（原书定义2.4），这表明 $w in span(v_1, dots, v_m)$。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-vecs-append-remains-indep>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-vector-list-append-remains-indep>)[
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设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的线性无关向量组，且 $w in V$。证明：
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$ v_1, dots, v_m, w "线性无关" quad <==> quad w in.not span(v_1, dots, v_m) $
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@ -470,7 +470,7 @@
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#tab 因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$Poly_4(FF)$ 上的张成组的长度不少于 $5$。因此，由四个多项式构成的向量组不可能张成 $Poly_4(FF)$。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-is-V-inf-dim>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-inf-dim-space-seq-characterization>)[
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证明：$V$ 是无限维的，当且仅当 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。
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首先说明充分性：现在假设 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。反证假设 $V$ 是有限维的，即存在一个向量组 $u_1, dots, u_ell$ 张成 $V$。根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），必然有向量组 $v_1, dots, v_(ell + 1)$ 线性相关，这与条件矛盾。因此，$V$ 是无限维的。
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@ -478,10 +478,10 @@
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#tab 然后说明必要性：现在假设 $V$ 是无限维的。我们现在构造题目所要求的序列 $v_1, v_2, dots$ 如下
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/ 第 $1$ 步: \
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任取 $v_1 in V$，使得 $v_1 != 0$。根据@2A-when-1-or-2-vecs-are-indep 中的结论，向量组 $v_1$ 是线性无关的。
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任取 $v_1 in V$，使得 $v_1 != 0$。根据@E-when-1-or-2-vectors-indep 中的结论，向量组 $v_1$ 是线性无关的。
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/ 第 $k$ 步: \
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由于 $V$ 是无限维的，存在一个向量 $v_k in V$，使得 $v_k in.not span(v_1, dots, v_(k-1))$。根据@2A-when-vecs-append-remains-indep 中的结论，向量组 $v_1, dots, v_k$ 线性无关。
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由于 $V$ 是无限维的，存在一个向量 $v_k in V$，使得 $v_k in.not span(v_1, dots, v_(k-1))$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep 中的结论，向量组 $v_1, dots, v_k$ 线性无关。
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#tab 所以，$V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。必要性得证。
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@ -501,7 +501,7 @@
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#tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。
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#tab 所以，根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论，$FF^infinity$ 是无限维的。
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#tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization 中的结论，$FF^infinity$ 是无限维的。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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@ -571,7 +571,7 @@
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#tab 对于 $k in {1, dots, m}$，我们代入 $x = 1/k$ 即可说明 $a_k = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $f_1, dots, f_m$ 是线性无关的。
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#tab 所以，根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论，#fun-notation 是无限维的。
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#tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization 中的结论，#fun-notation 是无限维的。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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@ -590,7 +590,7 @@
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#let b1 = math.bold("1")
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$ b1:& FF -> FF \ &z |-> 1 $
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#tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@2A-when-vecs-append-remains-indep 中的结论，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。
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#tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep 中的结论，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。
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#tab 综上所述，$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。
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